安定した理論

モデル理論という数学の分野では、理論が複雑性に関する特定の組み合わせの制約を満たす場合、その理論は安定している と呼ばれます。安定した理論は、モーリーの圏論定理 の証明に根ざしており、サハロン・シェラの分類理論の一部として広く研究されました。分類理論は、理論のモデルが適切に分類できるか、モデルが多すぎて合理的な分類が期待できないかの二分法を示しました。このプログラムの最初のステップは、理論が安定していない場合は、そのモデルが多すぎて分類できないことを示すことでした。

1970 年代から 1990 年代にかけて、安定理論は純粋モデル理論の主要な主題であったため、その研究は現代のモデル理論^[1]を形成し、それらを分析するための豊富なフレームワークとツールセットが存在します。モデル理論の主な方向性は「新安定性理論」であり、これは安定性理論の概念を単純理論やNIP理論などのより広いコンテキストに一般化しようとするものです。

モデル理論の共通の目標は、モデル内の（パラメータ）定義可能集合のブール代数の複雑さを解析することによって、一階理論を研究することです。同様に、これらのブール代数のストーン双対（型空間）の複雑さを解析することもできます。安定性は、これらの型空間の複雑さを、それらの基数を制限することによって制限します。型は理論のモデル内の要素の可能な動作を表すため、型の数を制限すると、これらのモデルの複雑さが制限されます。^[2]

安定性理論は、マイケル・モーリーが 1965 年に圏論的理論に関するŁoś予想を証明したことにそのルーツがある。この証明では、型空間の位相的複雑性を制限することによって定義される、完全に超越的な理論という概念が鍵となった。しかし、モーリーは (可算理論の場合) この位相的制限は基数制限 (現在-安定性と呼ばれる強い安定性形式) と同等であることを示し、この同等性を大いに活用した。モーリーの圏論定理を非可算理論に一般化する過程で、フレデリック・ロウボトムは基数 に対する -安定理論を導入することで -安定性を一般化し、最終的にシェラーは安定理論を導入した。^[3]${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$

安定性理論は、シェラの分類理論プログラムの過程でさらに発展した。このプログラムの主な目的は、一階理論のモデルが、基数不変量のツリーを使用して同型性までうまく分類できるか（たとえば、固定体上のベクトル空間の次元による分類を一般化する）、または非常に複雑であるため合理的な分類が不可能であるかの二分法を示すことであった。^[4]この分類理論からの具体的な結果の中には、理論の可能なスペクトル関数に関する定理があり、基数のモデルの数を の関数として数える。^[a]シェラのアプローチは、理論の一連の「分割線」を特定することであった。分割線は、それとその否定の両方が強い構造的結果をもたらす理論の特性であり、一方は理論のモデルがカオス的であることを示唆し、もう一方は正の構造理論を生み出すはずである。安定性は分類理論プログラムにおける最初の分岐線であり、安定性の失敗はあらゆる合理的な分類を排除することが示されたため、それ以降の研究はすべて理論が安定していると仮定できるようになった。したがって、分類理論の多くは、安定した理論と、超安定理論などのさらなる分岐線によって与えられる安定した理論のさまざまなサブセットを分析することに関係していた。^[3]${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$

シェラが開発した安定理論の重要な特徴の 1 つは、非フォーク独立性と呼ばれる独立性の一般概念を認めることです。これは、ベクトル空間からの線型独立性と体論からの代数独立性を一般化したものです。非フォーク独立性は任意の理論では意味をなしており、安定理論を超えて重要なツールであり続けますが、安定理論では特に優れた幾何学的および組み合わせ的特性を持っています。線型独立性と同様に、これにより、独立集合と、追加の仮定の下で明確に定義されたこれらの独立集合の最大インスタンスの基数としての局所次元の定義が可能になります。これらの局所次元は、同型性までの基数不変量を分類するモデルを生み出します。^[4]

T を完全な一階理論 とします。

与えられた無限基数 に対して、Tのモデルにおける基数 の任意の集合Aに対して、 A上の完全型の集合S(A)も基数 を持つ場合、 Tは-安定である。これはS(A)の基数がとれる最小値であるが、最大で になることもある。 の場合、 T は-安定ではなく-安定であると言うのが一般的である。^[5]${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle 2^{\kappa}}$${\displaystyle \kappa =\アレフ _{0}}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \aleph_{0}}$

Tが安定であるとは、ある無限基数に対して -安定であることを意味する。^[6]${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$

理論が同時に-安定となる基数に対する制限は安定性スペクトルによって記述され、^[7]は超安定理論のさらに穏やかなサブセットを厳選する。 ${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$

安定理論の一般的な代替定義は、順序特性を持たないというものである。理論が順序特性を持つのは、あるモデルMにおいて、式と 2 つの無限組の列があり、が上の無限半グラフを定義する場合、つまりMにおいて が真である場合である。^[8]これは、あるモデルMにおいて、式と 2 つの無限組の列があり、 がA上の無限線形順序を定義する場合、つまりMにおいて が真である場合と同等である。^{[9] [b] [c]}${\displaystyle \phi ({\bar {x}},{\bar {y}})}$${\displaystyle A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )}$${\displaystyle B=({\bar {b}}_{j}:j\in \mathbb {N} )}$${\displaystyle \phi}$${\displaystyle A\times B}$${\displaystyle \phi ({\bar {a}}_{i},{\bar {b}}_{j})}$ ${\displaystyle \iff i\leq j}$${\displaystyle \psi ({\bar {x}},{\bar {y}})}$${\displaystyle A=({\bar {a}}_{i}:i\in \mathbb {N} )}$${\displaystyle \psi}$${\displaystyle \psi ({\bar {a}}_{i},{\bar {a}}_{j})}$ ${\displaystyle \iff i\leq j}$

安定性の特徴付けは他にも数多くある。モーリーの完全超越理論と同様に、安定性の濃度制限は、カントル・ベンディクソン階数で型空間の位相的複雑性を限定することと同等である。^[12]もう1つの特徴付けは、対称性など、安定理論における非フォーク独立性が持つ特性によるものである。これは、これらの特性のいくつかを満たす抽象独立関係を持つ理論は安定でなければならず、独立関係は非フォーク独立性でなければならないという意味で安定性を特徴付ける。^[13]

これらの定義は、抽象的な独立関係を介したものを除き、与えられた理論Tにおいて単一の式が安定であるとはどういうことかを定義するために使用することができる。そして、すべての式がTにおいて安定であれば、 T は安定であると定義することができる。^[14]結果を安定した式に局所化することで、これらの結果を不安定な理論における安定した式に適用できるようになり、単一の式へのこの局所化は、安定した理論の場合であってもしばしば有用である。^[15]

不安定な理論として、端点のない稠密な線型順序の理論DLOを考えてみましょう。すると、原子順序関係は順序特性を持ちます。あるいは、集合A上の未実現の 1 型は、 Aの順序付けにおけるカット（2 つの集合が空でないことと、下側の集合に最大元がないという要件のない、一般化されたデデキントカット）に対応します。[16] また、任意の濃度の稠密な順序には-^個のカットが存在する。^[17]${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle 2^{\kappa}}$

もう一つの不安定理論はラドーグラフの理論であり、原子のエッジ関係は秩序特性を持つ。^[18]

安定した理論として、を許容する特性pの代数的閉体の理論を考える。すると、Kが のモデルであれば、集合上の型の数え上げは、 K内のAによって生成された体k上の型の数え上げと同値になる。 k上のn型の空間から多項式環内の素イデアルの空間への（連続）一対一写像が存在する。このようなイデアルは有限生成なので、 は多数しか存在しないため、すべての無限 に対して -安定である。^[19]${\displaystyle ACF_{p}}$ ${\displaystyle p=0}$${\displaystyle ACF_{p}}$${\displaystyle A\subset K}$ ${\displaystyle k[X_{1},\dots,X_{n}]}$${\displaystyle |k|+\aleph _{0}}$${\displaystyle ACF_{p}}$${\displaystyle \kappa}$${\displaystyle \kappa}$

安定した理論のさらなる例をいくつか以下に示します。

• 環上の任意の加群の理論（特に、ベクトル空間またはアーベル群の理論）。^[20]

• 非可換自由群の理論。^[21]

• 特性pの微分閉体の理論。のとき、理論は-安定である。^[22]${\displaystyle p=0}$${\displaystyle \omega}$

• 任意のどこにも稠密でないグラフクラスの理論。^{[23]これらには、}有界拡張を持つグラフクラスが含まれ、これには平面グラフと有界次数の任意のグラフクラスが含まれます。

幾何安定性理論は、モデル内の局所的幾何の詳細な分析と、それらの特性が全体的構造にどのように影響するかを扱っています。この一連の結果は、後に安定性理論のさまざまな応用、たとえばディオファントス幾何学の鍵となりました。この理論は、1970 年代後半にボリス ジルバーによる全圏的理論の分析から始まり、最終的にそれらが有限に公理化できないことが示されたと通常考えられています。全圏的理論のすべてのモデルは、強極小集合によって制御されます (つまり、その上で素かつ極小です)。この強極小集合は、独立性と次元の概念を与える (モデル理論的な) 代数的閉包によって決定されるマトロイド構造^[d]を持ちます。この設定で、幾何安定性理論は、強極小集合の構造にどのような可能性があるかという局所的な質問と、強極小集合がモデル全体をどのように制御するかという局所から全体への質問をします。^[24]

2 番目の質問は、ジルバーのはしご定理によって回答され、完全圏論のあらゆるモデルは、強極小集合上の「定義可能なファイバー束」のようなものの有限のシーケンスによって構築されることを示しています。 ^[25]最初の質問に対して、ジルバーの三分法予想は、強極小集合の幾何学は、構造を持たない集合の幾何学に似ているか、集合が本質的にベクトル空間の構造、または代数的に閉じた体の構造を持っている必要があるというものでした。最初の 2 つのケースは、局所モジュラーと呼ばれます。^{[26]この予想は、2 つの中心テーマを示しています。第 1 に、（局所）モジュラー性は、}代数幾何学の場合のように、組み合わせ的または線形の振る舞いを非線形の幾何学的複雑さから分離するのに役立つということです。^[27]第 2 に、複雑な組み合わせ幾何学は、必然的に代数的対象に由来します。^[28]これは、入射によって定義される抽象射影平面の座標環を見つけるという古典的な問題に似ており、さらに、定義可能な群の乗法から要素間の特定の組み合わせ依存関係が必ず生じることを示す群構成定理がある。^[29]交差理論など、強極小集合における代数幾何学の一部の類似物を開発することにより、ジルバーは、非可算カテゴリカル理論に対する三分法予想の弱い形式を証明した。^[30]エフード・フルショフスキーは、フルショフスキー構成を開発して完全な予想を反証したが、後に「ザリスキ幾何学」の設定で追加の仮説によって証明された。^[31]

シェラの分類プログラムの概念、例えば正規型、フォーク、直交性などは、これらの考え方を、特に超安定理論において、より一般化することを可能にした。ここでは、正規型によって定義される集合は、強極小集合の役割を果たしており、その局所的幾何学は代数的依存性ではなくフォーク依存性によって決定される。完全なカテゴリ理論のモデルを制御する単一の強極小集合の代わりに、正規型によって定義されるそのような局所的幾何学が多数存在する可能性があり、直交性はこれらの型が相互作用を持たない場合を説明する。^[32]

安定理論はモデル理論の基礎ですが、このセクションでは安定理論の他の数学分野への応用をリストします。このリストは完全性ではなく、むしろ幅広さを目指しています。

• 標数0の微分閉体の理論は-安定であるため、微分代数における安定性理論の応用は数多くある。例えば、そのような体の微分閉包（代数閉包の類似体）の存在と一意性は、-安定理論における素数モデルの一般的な結果を用いて、それぞれレノア・ブラムとシェラによって証明された。^[33]${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \omega}$

• ディオファントス幾何学では、エフード・フルショフスキーは幾何学的安定性理論を用いて、あらゆる特性を持つ関数体に対するモーデル＝ラング予想を証明した。これは、曲線上の有理点の数え方に関するファルティングスの定理と、曲線上の捩れ点の数え方に関するマニン＝マンフォード予想を一般化したものだ。[ 34 ]証明の要点は^、微分体におけるジルバーの三分法を用いて、算術的に定義された特定の群が局所的にモジュラーであることを示したことであった。^[35]

• オンライン機械学習では、概念クラスのリトルストーン次元は学習可能性を特徴付ける複雑性の尺度であり、PAC学習のVC次元に類似している。概念クラスのリトルストーン次元を制限することは、二分木を含む安定性の組み合わせ的特徴付けと同等である。^{[36]この同等性は、例えば、概念クラスのオンライン学習可能性が}差分プライバシーPAC学習可能性と同等であることを証明するために使用されている。^[37]

• 関数解析において、ジャン＝ルイ・クリヴィンとベルナール・モーリーはバナッハ空間の安定性の概念を定義した。これは、量指定子のない論理式は順序特性を持たない（一階述語論理ではなく連続論理において）と述べることと同等である。そして彼らは、すべての安定したバナッハ空間は、何らかの に対してℓ ^pのほぼ等長的な埋め込みを許容することを示した。^{[38]これは、関数解析と連続論理における安定性の間のより広範な相互作用の一部である。たとえば、関数解析における}アレクサンダー・グロタンディークの初期の成果は、安定性理論の基本的な結果と同等と解釈することができる。^[39]${\displaystyle p\in [1,\infty )}$

• 可算な（おそらく有限な）構造が超同質的であるのは、すべての有限部分自己同型が完全な構造の自己同型に拡張される場合である。グレゴリー・チャーリンとアリスター・ラクランは、すべての有限構造を含む安定した超同質構造の一般的な分類理論を提供した。特に、彼らの結果は、任意の固定された有限関係言語に対して、有限同質構造が、数値不変量によってパラメータ化されたメンバーと有限多数の散発的例を持つ有限多数の無限族に分類されることを示している。さらに、すべての散発的例は、より豊富な言語の無限族の一部となり、新しい散発的例は常に、より豊富な言語に現れる。^[40]

• 算術的組合せ論において、フルショフスキーは近似部分群の構造に関する結果を証明し、例えば多項式増加群に関するグロモフの定理の強化版を示唆した。これは安定理論を直接使用しなかったが、重要な洞察は安定群理論の基本的な結果を一般化してこの設定に適用できることであった。^[41]これは近似部分群を分類するブリューヤール・グリーン・タオの定理に直接つながった。 ^[42]

導入後約20年間、安定性は純粋モデル理論の主な主題でした。^[43]現代の純粋モデル理論の中心的な方向性は、「新安定性」または「分類理論」と呼ばれることもあり、^[e]安定理論のために開発された概念と技術をより広い理論クラスに一般化することであり、これはモデル理論の最近の応用の多くに影響を与えています。^[44]

このようなより広いクラスの2つの注目すべき例は、単純理論とNIP理論です。これらは安定理論の直交一般化であり、理論が単純かつNIPであるためには、理論が安定している必要があります。^[43]大まかに言えば、NIP理論は安定理論の優れた組み合わせ的動作を維持し、単純理論は非フォーク独立性の優れた幾何学的動作を維持します。^[45]特に、単純理論は非フォーク独立性が対称的であることによって特徴付けられますが、^{[46] NIPは有限[47]}または無限^[48]集合で実現される型の数を制限することによって特徴付けられます。

一般化のもう一つの方向性は、抽象的な基本クラスのような完全な一階理論の設定を超えて分類理論を要約することです。^[49]

• 安定性スペクトル
• 理論のスペクトル
• モーリーの圏定理
• NIP理論

• 安定性を強調したモデル理論的理論の分類マップ
• 非モデル理論家向けに安定性と分類理論を論じた2冊の書評: 安定性理論と分類理論の基礎
• 非モデル理論家のための（幾何学的）安定性理論の概要