反射（数学）

数学において、鏡映（reflectionとも綴る）^[1]は、ユークリッド空間からその空間自体への写像であり、超平面を固定点の集合とする等長写像である。この集合は鏡映の軸（次元 2 の場合）または鏡映の平面（次元 3 の場合）と呼ばれる。鏡映による図形の像は、鏡映の軸または平面におけるその鏡像である。例えば、垂直軸に関する鏡映（垂直鏡映）に対する小文字のラテン文字pの鏡像はqのように見える。水平軸に関する鏡映（水平鏡映）によるその像はbのように見える。鏡映は反転である。つまり、2 回連続して適用すると、すべての点が元の位置に戻り、すべての幾何学的オブジェクトが元の状態に戻る。

反射という用語は、ユークリッド空間からその空間自体へのより大きなクラスの写像、つまり反転である非恒等長写像に使用されることがあります。このような等長写像には、アフィン部分空間である固定点の集合 (「鏡」) がありますが、超平面よりも小さい可能性があります。たとえば、点を通る反射は、固定点が 1 つだけの反転等長写像です。その下の文字pのイメージはdのように見えます。この操作は中心反転(Coxeter 1969、§7.2)としても知られており、ユークリッド空間を対称空間として示しています。ユークリッドベクトル空間では、原点にある点における反射はベクトルの否定と同じです。他の例としては、3 次元空間での直線における反射があります。ただし、通常、「反射」という用語を無条件で使用すると、超平面における反射を意味します。

数学者の中には「反転」を「反射」の同義語として使う人もいます。^{[2] [3] [4]}

平面（または 3 次元）幾何学において、点の反射を求めるには、点から反射に使用する線（平面）に垂線を下ろし、反対側に同じ距離だけ延長します。図形の反射を求めるには、図形内の各点を反射します。

コンパスと定規を使用して点P を線ABに反射させるには、次の手順に従います (図を参照)。

• ステップ 1 (赤):中心がPで半径が固定の円を描き、直線AB上に点A′とB′を作成します。点A′と B′ はPから等距離になります。
• ステップ 2 (緑): A′ と B′ を中心とし、半径 r の円を作成します。PとQは、これら2つの円の交点になります。

点Q は、線分AB を通る点Pの反射です。

反射行列は、行列式が−1 、固有値が−1 , 1, 1, ..., 1である直交行列です。このような 2 つの行列の積は、回転を表す特殊な直交行列です。すべての回転は、原点を通る超平面で偶数回反射した結果であり、不適切な回転はすべて、奇数回反射した結果です。したがって、反射によって直交群が生成され、この結果はカルタン・ディウドネの定理として知られています。

同様に、ユークリッド空間のすべての等長変換からなるユークリッド群は、アフィン超平面の反射によって生成されます。一般に、アフィン超平面の反射によって生成される群は反射群として知られています。このようにして生成される有限群は、コクセター群の例です。

2次元における原点を通る任意の直線の反射は、次の式で表すことができます。

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2{\frac {v\cdot l}{l\cdot l}}lv,}$

ここで、 は反射されるベクトル、 は反射が行われる直線上の任意のベクトル、は とのドット積を表します。上記の式は次のようにも書けます。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle l}$${\displaystyle v\cdot l}$${\displaystyle v}$${\displaystyle l}$

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{l}(v)=2\operatorname {Proj} _{l}(v)-v,}$

つまり、 をで反射すると、をに投影したものの2 倍からベクトルを引いたものに等しいということです。直線上の反射の固有値は 1、および -1 です。 ${\displaystyle v}$${\displaystyle l}$${\displaystyle v}$${\displaystyle l}$${\displaystyle v}$

ユークリッド空間のベクトルが与えられたとき、原点を通る超平面における反射の式は次のように与えられる。 ${\displaystyle v}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$${\displaystyle a}$

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=v-2{\frac {v\cdot a}{a\cdot a}}a,}$

ここで はとのドット積を表します。上の式の2番目の項はの へのベクトル射影の2倍であることに注意してください。簡単に確認できます。 ${\displaystyle v\cdot a}$${\displaystyle v}$${\displaystyle a}$${\displaystyle v}$${\displaystyle a}$

• Ref _a ( v ) = − v、が に平行である場合、および${\displaystyle v}$${\displaystyle a}$
• がaに垂直である場合、_a ( v ) = v を参照。${\displaystyle v}$

幾何積を用いると、式は次のようになる。

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a}(v)=-{\frac {ava}{a^{2}}}.}$

これらの鏡映は原点を固定したユークリッド空間の等長写像なので、直交行列で表すことができます。上記の鏡映に対応する直交行列は行列

${\displaystyle R=I-2{\frac {aa^{T}}{a^{T}a}},}$

ここで は単位行列、はaの転置行列である。その要素は以下の通りである。 ${\displaystyle I}$${\displaystyle n\times n}$ ${\displaystyle a^{T}}$

${\displaystyle R_{ij}=\delta _{ij}-2{\frac {a_{i}a_{j}}{\left\|a\right\|^{2}}},}$

ここでδ _ijはクロネッカーのデルタです。

原点を通らない アフィン超平面における反射の式は${\displaystyle v\cdot a=c}$

${\displaystyle \operatorname {Ref} _{a,c}(v)=v-2{\frac {v\cdot ac}{a\cdot a}}a.}$

• 加法逆数
• 座標回転と反射
• 世帯主の変革
• 逆幾何学
• 回転面
• 反射マッピング
• 反省グループ
• 反射対称性

• コクセター、ハロルド・スコット・マクドナルド（1969年）、幾何学入門（第2版）、ニューヨーク：ジョン・ワイリー＆サンズ、ISBN 978-0-471-50458-0、MR  0123930
• ポポフ、VL（2001）[1994]、「反射」、数学百科事典、EMSプレス
• Weisstein、Eric W.「Reflection」。MathWorld。

• 結び目を切る時のラインの反射
• Roger Germundsson 著「2D 反射の理解」および「3D 反射の理解」、Wolfram デモンストレーション プロジェクト。