回転不変性技術による信号パラメータの推定

回転不変技術による信号パラメータの推定（ESPRIT）は、背景雑音中の正弦波の混合のパラメータを決定する技術です。この技術は、最初は周波数推定のために提案されました。 ^{[1]しかし、日常技術に}フェーズドアレイシステムが導入されたことで、到来角の推定にも使用されるようになりました。^[2]

インスタンス では、システムの(複素数値) 出力信号 (測定値) 、は、 (複素数値) 入力信号、と、 のように関連付けられます。ここで、はシステムによって追加されたノイズを表します。重みが の形式を持ち、その位相が何らかのラジアル周波数の整数倍である場合、ESPRIT の 1 次元形式を適用できます。この周波数は、システムの入力のインデックス、つまり のみに依存します。ESPRIT の目的は、出力と入力信号の数 が与えられた場合に、を推定することです。ラジアル周波数が実際の目的であるため、は と表されます。 ${\textstyle t}$${\textstyle M}$${\textstyle y_{m}[t]}$${\textstyle m=1,\ldots ,M}$${\textstyle K}$${\textstyle x_{k}[t]}$${\textstyle k=1,\ldots ,K}$$${\displaystyle y_{m}[t]=\sum _{k=1}^{K}a_{m,k}x_{k}[t]+n_{m}[t],}$$${\textstyle n_{m}[t]}$${\textstyle a_{m,k}=e^{-j(m-1)\omega _{k}}}$ ${\displaystyle \omega _{k}}$${\textstyle k}$${\displaystyle \omega _{k}}$${\textstyle y_{m}[t]}$${\textstyle K}$${\textstyle a_{m,k}}$${\textstyle a_{m}(\omega _{k})}$

重みを、インスタンス での出力信号をと並べると、となります。さらに、重みベクトルをヴァンデルモンド行列 に、インスタンス での入力をベクトル に入れると、次のように書くことができます。インスタンス での複数の測定値と、表記 、およびを使用すると、モデル方程式は次のようになります。${\textstyle a_{m}(\omega _{k})}$${\displaystyle \mathbf {a} (\omega _{k})=[\,1\,\ e^{-j\omega _{k}}\,\ e^{-j2\omega _{k}}\,\ ...\,\ e^{-j(M-1)\omega _{k}}\,]^{\top }}$${\textstyle M}$${\textstyle t}$${\displaystyle \mathbf {y} [t]=[\,y_{1}[t]\,\ y_{2}[t]\,\ ...\,\ y_{M}[t]\,]^{\top }}$$${\displaystyle \mathbf {y} [t]=\sum _{k=1}^{K}\mathbf {a} (\omega _{k})x_{k}[t]+\mathbf {n} [t],}$$${\displaystyle \mathbf {n} [t]=[\,n_{1}[t]\,\ n_{2}[t]\,\ ...\,\ n_{M}[t]\,]^{\top }}$${\displaystyle \mathbf {a} (\omega _{1}),\ \mathbf {a} (\omega _{2}),\ ...,\ \mathbf {a} (\omega _{K})}$ ${\displaystyle \mathbf {A} =[\,\mathbf {a} (\omega _{1})\,\ \mathbf {a} (\omega _{2})\,\ ...\,\ \mathbf {a} (\omega _{K})\,]}$${\displaystyle K}$${\textstyle t}$${\displaystyle \mathbf {x} [t]=[\,x_{1}[t]\,\ ...\,\ x_{k}[t]\,]^{\top }}$$${\displaystyle \mathbf {y} [t]=\mathbf {A} \,\mathbf {x} [t]+\mathbf {n} [t].}$$${\textstyle t=1,2,\dots ,T}$${\textstyle \mathbf {Y} =[\,\mathbf {y} [1]\,\ \mathbf {y} [2]\,\ \dots \,\ \mathbf {y} [T]\,]}$${\textstyle \mathbf {X} =[\,\mathbf {x} [1]\,\ \mathbf {x} [2]\,\ \dots \,\ \mathbf {x} [T]\,]}$${\textstyle \mathbf {N} =[\,\mathbf {n} [1]\,\ \mathbf {n} [2]\,\ \dots \,\ \mathbf {n} [T]\,]}$$${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {A} \mathbf {X} +\mathbf {N} .}$$

重みベクトルには、隣接するエントリが関連しているという特性があります。ベクトル全体に対して、方程式は 2 つの選択行列 および を導入します。ここで、はサイズの単位行列であり、はゼロのベクトルです。 ${\textstyle \mathbf {a} (\omega _{k})}$$${\displaystyle [\mathbf {a} (\omega _{k})]_{m+1}=e^{-j\omega _{k}}[\mathbf {a} (\omega _{k})]_{m}}$$${\displaystyle \mathbf {a} (\omega _{k})}$${\displaystyle \mathbf {J} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=[\mathbf {I} _{M-1}\quad \mathbf {0} ]}$${\displaystyle \mathbf {J} _{2}=[\mathbf {0} \quad \mathbf {I} _{M-1}]}$${\displaystyle \mathbf {I} _{M-1}}$${\textstyle (M-1)}$${\displaystyle \mathbf {0} }$

ベクトルには、最後の[最初の]要素を除くのすべての要素が含まれます。したがって、および上記の関係は、ESPRIT に必要な最初の主要な観察です。 2 番目の主要な観察は、出力信号から計算できる信号サブスペースに関するものです。 ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}\mathbf {a} (\omega _{k})}$ ${\displaystyle [\mathbf {J} _{2}\mathbf {a} (\omega _{k})]}$${\displaystyle \mathbf {a} (\omega _{k})}$${\displaystyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {a} (\omega _{k})=e^{-j\omega _{k}}\mathbf {J} _{1}\mathbf {a} (\omega _{k})}$$${\displaystyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} _{1}\mathbf {A} \mathbf {H} ,\quad {\text{where}}\quad {\mathbf {H} }:={\begin{bmatrix}e^{-j\omega _{1}}&\\&e^{-j\omega _{2}}\\&&\ddots \\&&&e^{-j\omega _{K}}\end{bmatrix}}.}$$

の特異値分解(SVD) はとがユニタリ行列であり、 がサイズの対角行列であり、特異値を最大 (左上) から降順で保持する行列である場合に与えられます。演算子は複素共役転置 (エルミート転置) を表します。 ${\textstyle \mathbf {Y} }$$${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{\dagger }}$$${\textstyle \mathbf {U} \in \mathbb {C} ^{M\times M}}$${\textstyle \mathbf {V} \in \mathbb {C} ^{T\times T}}$${\textstyle \mathbf {\Sigma } }$${\textstyle M\times T}$${\textstyle \dagger }$

と仮定します。入力信号があることに注目してください。ノイズがなければ、非ゼロの特異値のみが存在することになります。最大の特異値はこれらの入力信号に由来し、その他の特異値はノイズに由来すると想定されます。 の SVD の行列はサブ行列に分割でき、サブ行列の一部は信号サブスペースに対応し、一部はノイズサブスペースに対応します。ここで、 とにはそれぞれ と の最初の列が含まれ、 は最大の特異値を含む対角行列です。 ${\textstyle T\geq M}$${\textstyle K}$${\textstyle K}$${\textstyle K}$${\textstyle \mathbf {Y} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {U} ={\begin{bmatrix}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }&\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\end{bmatrix}},&&\mathbf {\Sigma } ={\begin{bmatrix}\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }&\mathbf {0} &\mathbf {0} \\\mathbf {0} &\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }&\mathbf {0} \end{bmatrix}},&&\mathbf {V} ={\begin{bmatrix}\mathbf {V} _{\mathrm {S} }&\mathbf {V} _{\mathrm {N} }&\mathbf {V} _{\mathrm {0} }\end{bmatrix}}\end{aligned}},}$$${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{M\times K}}$${\textstyle \mathbf {V} _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{N\times K}}$${\textstyle K}$${\textstyle \mathbf {U} }$${\textstyle \mathbf {V} }$${\textstyle \mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{K\times K}}$${\textstyle K}$

したがって、SVD は次のように記述できます。ここで、、、は入力信号の への寄与を表します。を信号部分空間と呼びます。対照的に、、、、はノイズの への寄与を表します。 $${\displaystyle \mathbf {Y} =\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }\mathbf {V} _{\mathrm {S} }^{\dagger }+\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }\mathbf {V} _{\mathrm {N} }^{\dagger },}$$${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$${\textstyle \mathbf {V} _{\mathrm {S} }}$${\textstyle \mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }}$${\textstyle x_{k}[t]}$${\textstyle \mathbf {Y} }$${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {N} }}$${\textstyle \mathbf {V} _{\mathrm {N} }}$${\textstyle \mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }}$${\textstyle n_{m}[t]}$${\textstyle \mathbf {Y} }$

したがって、システム モデルから、およびと書くことができます。また、前者から、 と書くことができます。ここでです。以降の説明では、このような可逆行列が存在することだけが重要であり、その実際の内容は重要ではありません。 ${\textstyle \mathbf {A} \mathbf {X} =\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }\mathbf {V} _{\mathrm {S} }^{\dagger }}$${\textstyle \mathbf {N} =\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }\mathbf {V} _{\mathrm {N} }^{\dagger }}$$${\displaystyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }=\mathbf {A} \mathbf {F} ,}$$${\displaystyle {\mathbf {F} }=\mathbf {X} \mathbf {V} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }^{-1}}$${\textstyle \mathbf {F} }$

注:信号サブスペースは、測定値の自己相関行列のスペクトル分解から抽出することもできます。これは次のように推定されます。$${\displaystyle \mathbf {R} _{\mathrm {YY} }={\frac {1}{T}}\sum _{t=1}^{T}\mathbf {y} [t]\mathbf {y} [t]^{\dagger }={\frac {1}{T}}\mathbf {Y} \mathbf {Y} ^{\dagger }={\frac {1}{T}}\mathbf {U} {\mathbf {\Sigma } \mathbf {\Sigma } ^{\dagger }}\mathbf {U} ^{\dagger }={\frac {1}{T}}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {S} }^{2}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }^{\dagger }+{\frac {1}{T}}\mathbf {U} _{\mathrm {N} }\mathbf {\Sigma } _{\mathrm {N} }^{2}\mathbf {U} _{\mathrm {N} }^{\dagger }.}$$

これまでに、および という2 つの式を確立しました。ここで、および は切断された信号サブスペースを表し、上記の式は固有値分解の形をしており、対角行列の固有値の位相を使用して動径周波数を推定します。 ${\textstyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} _{1}\mathbf {A} \mathbf {H} }$${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }=\mathbf {A} \mathbf {F} }$$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {J} _{2}\mathbf {A} =\mathbf {J} _{1}\mathbf {A} \mathbf {H} \implies \mathbf {J} _{2}(\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {F} ^{-1})=\mathbf {J} _{1}(\mathbf {U} _{\mathrm {S} }\mathbf {F} ^{-1})\mathbf {H} \implies \mathbf {S} _{2}=\mathbf {S} _{1}\mathbf {P} ,\end{aligned}}}$$${\displaystyle \mathbf {S} _{1}=\mathbf {J} _{1}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$${\displaystyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {J} _{2}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$$${\displaystyle \mathbf {P} =\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {H} \mathbf {F} .}$$${\displaystyle \mathbf {H} }$

したがって、関係式を解くと、の固有値が求められます。ここで、であり、動径周波数は、固有値の位相（引数）として推定されます。 ${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {S} _{1}\mathbf {P} }$${\textstyle \lambda _{1},\ \lambda _{2},\ \ldots ,\ \lambda _{K}}$${\displaystyle \mathbf {P} }$${\displaystyle \lambda _{k}=\alpha _{k}\mathrm {e} ^{j\omega _{k}}}$${\displaystyle \omega _{1},\ \omega _{2},\ \ldots ,\ \omega _{K}}$

注意:一般に、は逆変換できません。最小二乗推定値を使用できます。 代替案としては、合計最小二乗推定値があります。 ${\displaystyle \mathbf {S} _{1}}$${\displaystyle {\mathbf {P} }=(\mathbf {S} _{1}^{\dagger }{\mathbf {S} _{1}})^{-1}\mathbf {S} _{1}^{\dagger }{\mathbf {S} _{2}}}$

入力:測定値、入力信号の数(まだわかっていない場合は推定値)。 ${\textstyle \mathbf {Y} :=[\,\mathbf {y} [1]\,\ \mathbf {y} [2]\,\ \dots \,\ \mathbf {y} [T]\,]}$${\textstyle K}$

1. の特異値分解 (SVD) を計算し、信号サブスペースを の最初の列として抽出します。${\textstyle \mathbf {Y} =\mathbf {U} \mathbf {\Sigma } \mathbf {V} ^{\dagger }}$${\textstyle \mathbf {U} _{\mathrm {S} }\in \mathbb {C} ^{M\times K}}$${\textstyle K}$${\textstyle \mathbf {U} }$
2. およびを計算します。ここで、および です。${\textstyle \mathbf {S} _{1}=\mathbf {J} _{1}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$${\textstyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {J} _{2}\mathbf {U} _{\mathrm {S} }}$${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=[\mathbf {I} _{M-1}\quad \mathbf {0} ]}$${\displaystyle \mathbf {J} _{2}=[\mathbf {0} \quad \mathbf {I} _{M-1}]}$
3. を解きます（上記の注釈を参照）。${\textstyle \mathbf {P} }$${\textstyle \mathbf {S} _{2}=\mathbf {S} _{1}\mathbf {P} }$
4. の固有値を計算します。${\textstyle \lambda _{1},\lambda _{2},\ldots ,\lambda _{K}}$${\textstyle \mathbf {P} }$
5. 固有値の位相は、動径周波数、つまりを提供します。${\textstyle \lambda _{k}=\alpha _{k}\mathrm {e} ^{j\omega _{k}}}$${\textstyle \omega _{k}}$${\textstyle \omega _{k}=\arg \lambda _{k}}$

上の導出では、選択行列および が使用されました。ただし、回転不変性、つまり、またはその一般化 (以下を参照) が成立する限り、任意の適切な行列およびを使用できます。したがって、行列およびには の任意の行を含めることができます。 ${\displaystyle \mathbf {J} _{1}=[\mathbf {I} _{M-1}\quad \mathbf {0} ]}$${\displaystyle \mathbf {J} _{2}=[\mathbf {0} \quad \mathbf {I} _{M-1}]}$${\textstyle \mathbf {J} _{1}}$${\displaystyle \mathbf {J} _{2}}$${\textstyle (}$${\displaystyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {a} (\omega _{k})=e^{-j\omega _{k}}\mathbf {J} _{1}\mathbf {a} (\omega _{k})}$${\textstyle )}$${\textstyle \mathbf {J} _{1}\mathbf {A} }$${\textstyle \mathbf {J} _{2}\mathbf {A} }$${\textstyle \mathbf {A} }$

導出に使用した回転不変性は一般化できる。これまで、行列は、その主対角線上に求められている複素指数を格納する対角行列として定義されてきた。しかし、他の構造を示すこともある。^[3]たとえば、上三角行列である可能性がある。この場合、はの三角化を構成する。 ${\displaystyle \mathbf {H} }$${\displaystyle \mathbf {H} }$${\textstyle \mathbf {P} =\mathbf {F} ^{-1}\mathbf {H} \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {P} }$

• 複数の信号分類
• 一般化された関数ペンシル法
• 独立成分分析

• Paulraj, A.; Roy, ​​R.; Kailath, T. (1985)、「回転不変性技術による信号パラメータの推定 - Esprit」、第 19 回アシロマ回路・システム・コンピュータ会議、pp. 83–89、doi :10.1109/ACSSC.1985.671426、ISBN 978-0-8186-0729-5、S2CID  2293566。
• Roy, ​​R.; Kailath, T. (1989). 「Esprit - 回転不変技術による信号パラメータの推定」(PDF) . IEEE Transactions on Acoustics, Speech, and Signal Processing . 37 (7): 984–995. doi :10.1109/29.32276. S2CID 14254482. 2020-09-26 に オリジナル(PDF)からアーカイブ。2011-07-25に取得。。
• Ibrahim, AM; Marei, MI; Mekhamer, SF; Mansour, MM (2011)。「フレキシブルAC送電システム補償送電線の回転不変性技術による信号パラメータの全最小二乗推定を用いた人工ニューラルネットワークベースの保護アプローチ」。電力部品およびシステム。39 (1): 64–79。doi : 10.1080 /15325008.2010.513363。S2CID 109581436  。
• Haardt, M., Zoltowski, MD, Mathews, CP, & Nossek, J. (1995 年 5 月)。効率的な 2D パラメータ推定のための 2D ユニタリ ESPRIT。icassp (pp. 2096-2099)。IEEE。