電気工学の概念
瞬時位相と周波数は、 信号処理 において時間変動関数の表現と解析の文脈で 重要な概念である。 [1] 複素数値 関数 s ( t )の 瞬時位相 （ 局所位相 または単に 位相 とも呼ばれる ）は 、実数値関数である。
φ （ t ） = 引数 { s （ t ） } 、
{\displaystyle \varphi (t)=\arg\{s(t)\},}
ここで、 arg は 複素引数関数 です 。 瞬間周波数は 、瞬間位相の
時間的変化率 です。
実数値 関数 s ( t )の場合 、関数の 解析的表現 sa ( t )から次のように決定される。 [ 2 ]
φ （ t ）
= 引数 {
s
1つの
（ t ） }
= 引数 { s （ t ） + じ
s ^
（ t ） } 、
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\arg\{s(t)+j{\hat {s}}(t)\},\end{aligned}}}
ここで s ( t )の ヒルベルト変換 を表します 。
s ^
（ t ）
{\displaystyle {\hat {s}}(t)}
φ ( t ) がその 主値 、区間 (− π , π ] または [0, 2 π ) のいずれかに制限されている場合 、それは ラップされた 位相と呼ばれます。それ以外の場合は、 s a ( t ) が t の連続関数である と仮定すると、引数 t の連続関数であるアンラップ された位相 と呼ばれます。特に断りがない限り、連続形式が推論されます。
瞬間位相と時間。関数には、振幅ゼロ交差を示す、時刻 21 と 59 の 2 つの 180° の真の不連続点があります。時刻 19、37、および 91 の 360°「不連続点」は、位相ラッピングのアーティファクトです。 周波数変調波形の瞬間位相: MSK (最小シフト キーイング)。360° の「ラップされた」プロットは、垂直方向にさらに 2 回複製され、ラップされていないプロットのように見えますが、垂直軸の 3x360° のみが使用されます。
例
例1
s （ t ） = あ コス （ ω t + θ ） 、
{\displaystyle s(t)=A\cos(\omega t+\theta ),}
ここで ω >0である。
s
1つの
（ t ）
= あ
e
じ （ ω t + θ ）
、
φ （ t ）
= ω t + θ 。
{\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j(\omega t+\theta )},\\\varphi (t)&=\omega t+\theta .\end{aligned}}}
この単純な正弦波の例では、定数 θは一般に 位相 または 位相オフセット とも呼ばれます 。 φ ( t ) は時間の関数ですが、 θ は そうではありません。次の例では、実数値正弦波の位相オフセットは、参照 (sin または cos) が指定されていないと不明確になることもわかります。 φ ( t ) は明確に定義されています。
例2
s （ t ） = あ 罪 （ ω t ） = あ コス
（
ω t −
π 2
）
、
{\displaystyle s(t)=A\sin(\omega t)=A\cos \left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right),}
ここで ω >0である。
s
1つの
（ t ）
= あ
e
じ
（
ω t −
π 2
）
、
φ （ t ）
= ω t −
π 2
。
{\displaystyle {\begin{aligned}s_{\mathrm {a} }(t)&=Ae^{j\left(\omega t-{\frac {\pi }{2}}\right)},\\\varphi (t)&=\omega t-{\frac {\pi }{2}}.\end{aligned}}}
どちらの例でも、 s ( t ) の極大値は、 N が整数値の場合、 φ ( t ) = 2 π N に対応します。これは、コンピュータービジョンの分野で応用されています。
瞬間角周波数 は次のように定義されます。
ω （ t ） =
d φ （ t ）
d t
、
{\displaystyle \omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}},}
瞬間 （通常）周波数 は次のように定義されます。
ふ （ t ） =
1
2 π
ω （ t ） =
1
2 π
d φ （ t ）
d t
{\displaystyle f(t)={\frac {1}{2\pi }}\omega (t)={\frac {1}{2\pi }}{\frac {d\varphi (t)}{dt}}}
ここで、 φ ( t ) は ラップされていない位相 でなければなりません。 そうでない場合、 φ ( t ) がラップされると、 φ ( t )の不連続により、 f ( t ) に ディラックデルタ インパルス が発生します 。
常に位相をアンラップする逆の操作は次のとおりです。
φ （ t ）
=
∫
− ∞
t
ω （ τ ） d τ = 2 π
∫
− ∞
t
ふ （ τ ） d τ
=
∫
− ∞
0
ω （ τ ） d τ +
∫
0
t
ω （ τ ） d τ
= φ （ 0 ） +
∫
0
t
ω （ τ ） d τ 。
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\int _{-\infty }^{t}\omega (\tau )\,d\tau =2\pi \int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\int _{-\infty }^{0}\omega (\tau )\,d\tau +\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau .\end{aligned}}}
この瞬間周波数 ω ( t ) は 、位相アンラッピングを考慮せずに
、 複素引数 の代わりに sa ( t )の 実部と虚部 から直接導出できます。
φ
(
t
)
=
arg
{
s
a
(
t
)
}
=
atan2
(
I
m
[
s
a
(
t
)
]
,
R
e
[
s
a
(
t
)
]
)
+
2
m
1
π
=
arctan
(
I
m
[
s
a
(
t
)
]
R
e
[
s
a
(
t
)
]
)
+
m
2
π
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\operatorname {atan2} ({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)],{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])+2m_{1}\pi \\[4pt]&=\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)+m_{2}\pi \end{aligned}}}
2 m 1 π と m 2 π は 位相をアンラップするために必要な π の整数倍です。時間 tの値では整数 m 2 は変化しませんが、 φ ( t )
の導関数は次のようになります。
ω
(
t
)
=
d
φ
(
t
)
d
t
=
d
d
t
arctan
(
I
m
[
s
a
(
t
)
]
R
e
[
s
a
(
t
)
]
)
=
1
1
+
(
I
m
[
s
a
(
t
)
]
R
e
[
s
a
(
t
)
]
)
2
d
d
t
(
I
m
[
s
a
(
t
)
]
R
e
[
s
a
(
t
)
]
)
=
R
e
[
s
a
(
t
)
]
d
I
m
[
s
a
(
t
)
]
d
t
−
I
m
[
s
a
(
t
)
]
d
R
e
[
s
a
(
t
)
]
d
t
(
R
e
[
s
a
(
t
)
]
)
2
+
(
I
m
[
s
a
(
t
)
]
)
2
=
1
|
s
a
(
t
)
|
2
(
R
e
[
s
a
(
t
)
]
d
I
m
[
s
a
(
t
)
]
d
t
−
I
m
[
s
a
(
t
)
]
d
R
e
[
s
a
(
t
)
]
d
t
)
=
1
(
s
(
t
)
)
2
+
(
s
^
(
t
)
)
2
(
s
(
t
)
d
s
^
(
t
)
d
t
−
s
^
(
t
)
d
s
(
t
)
d
t
)
{\displaystyle {\begin{aligned}\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}}{({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}+({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}}}\\[3pt]&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{(s(t))^{2}+\left({\hat {s}}(t)\right)^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds(t)}{dt}}\right)\end{aligned}}}
離散時間関数の場合、これは再帰として記述できます。
φ
[
n
]
=
φ
[
n
−
1
]
+
ω
[
n
]
=
φ
[
n
−
1
]
+
arg
{
s
a
[
n
]
}
−
arg
{
s
a
[
n
−
1
]
}
⏟
Δ
φ
[
n
]
=
φ
[
n
−
1
]
+
arg
{
s
a
[
n
]
s
a
[
n
−
1
]
}
{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi [n]&=\varphi [n-1]+\omega [n]\\&=\varphi [n-1]+\underbrace {\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }[n-1]\}} _{\Delta \varphi [n]}\\&=\varphi [n-1]+\arg \left\{{\frac {s_{\mathrm {a} }[n]}{s_{\mathrm {a} }[n-1]}}\right\}\\\end{aligned}}}
Δ φ [ n ] ≤ − πの場合は 2 π を加算し 、 Δ φ [ n ] > πの場合は 2 π を 減算することで不連続性を取り除くことができます。これにより、 φ [ n ] が無制限に蓄積され、アンラップされた瞬間位相が生成されます。 2 π を法とする演算を複素乗算に
置き換える同等の定式化は次のとおりです。
φ
[
n
]
=
φ
[
n
−
1
]
+
arg
{
s
a
[
n
]
s
a
∗
[
n
−
1
]
}
,
{\displaystyle \varphi [n]=\varphi [n-1]+\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\},}
ここでアスタリスクは複素共役を表す。離散時間瞬時周波数（単位はサンプル当たりのラジアン）は、単にそのサンプルの位相の進み具合である。
ω
[
n
]
=
arg
{
s
a
[
n
]
s
a
∗
[
n
−
1
]
}
.
{\displaystyle \omega [n]=\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\}.}
複雑な表現 いくつかのアプリケーションでは、例えばいくつかの瞬間の位相の値を平均化する場合、各値を複素数またはベクトル表現に変換すると便利な場合があります。 [3]
e
i
φ
(
t
)
=
s
a
(
t
)
|
s
a
(
t
)
|
=
cos
(
φ
(
t
)
)
+
i
sin
(
φ
(
t
)
)
.
{\displaystyle e^{i\varphi (t)}={\frac {s_{\mathrm {a} }(t)}{|s_{\mathrm {a} }(t)|}}=\cos(\varphi (t))+i\sin(\varphi (t)).}
この表現は、位相において 2 π の倍数を区別しないという点でラップ位相表現に似ていますが、連続的であるためアンラップ位相表現に似ています。ベクトル平均位相は 、ラップアラウンドを気にせずに複素数の合計の引数
として 取得できます。
参照
参考文献
^ Sejdic, E.; Djurovic, I.; Stankovic, L. (2008 年 8 月) 。 「瞬時周波数推定器としての Scalogram の定量的パフォーマンス分析」。IEEE Transactions on Signal Processing。56 ( 8): 3837–3845。Bibcode : 2008ITSP ...56.3837S。doi :10.1109/TSP.2008.924856。ISSN 1053-587X。S2CID 16396084 。 ^ Blackledge, Jonathan M. (2006). デジタル信号処理: 数学的および計算的方法、ソフトウェア開発とアプリケーション (第 2 版). Woodhead Publishing. p. 134. ISBN 1904275265 。 ^ Wang, S. ( 2014). 「品質向上型ガイド位相アンラッピング法とMRIへの応用」。 電磁気学研究の進歩 。145 :273–286。doi : 10.2528 /PIER14021005 。
さらに読む コーエン、レオン (1995)。 時間周波数分析 。プレンティス ホール。 Granlund、Knutsson (1995)。 コンピュータビジョンのための信号処理 。Kluwer Academic Publishers。 
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\arg\{s(t)+j{\hat {s}}(t)\},\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1e6cc5d63de82e6f1472f9fbf5e297ebd5f3971d)
_phase;_one_360%C2%B0_plot_stacked_3_times_vertically.jpg/500px-Instantaneous_(wrapped)_phase;_one_360%C2%B0_plot_stacked_3_times_vertically.jpg)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\int _{-\infty }^{t}\omega (\tau )\,d\tau =2\pi \int _{-\infty }^{t}f(\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\int _{-\infty }^{0}\omega (\tau )\,d\tau +\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau \\[5pt]&=\varphi (0)+\int _{0}^{t}\omega (\tau )\,d\tau .\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/1671fff20760295511e8add79993d1a63d6140ae)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi (t)&=\arg\{s_{\mathrm {a} }(t)\}\\[4pt]&=\operatorname {atan2} ({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)],{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])+2m_{1}\pi \\[4pt]&=\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)+m_{2}\pi \end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/797a081afe54f44fc9fa554c38dac9a25a3e0c27)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\omega (t)={\frac {d\varphi (t)}{dt}}&={\frac {d}{dt}}\arctan \left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{1+\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)^{2}}}{\frac {d}{dt}}\left({\frac {{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}}\right)\\[3pt]&={\frac {{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}}{({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}+({\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)])^{2}}}\\[3pt]&={\frac {1}{|s_{\mathrm {a} }(t)|^{2}}}\left({\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}-{\mathcal {Im}}[s_{\mathrm {a} }(t)]{\frac {d{\mathcal {Re}}[s_{\mathrm {a} }(t)]}{dt}}\right)\\[3pt]&={\frac {1}{(s(t))^{2}+\left({\hat {s}}(t)\right)^{2}}}\left(s(t){\frac {d{\hat {s}}(t)}{dt}}-{\hat {s}}(t){\frac {ds(t)}{dt}}\right)\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48cfab601a4b91ac04a4188d84b4f70cc1ee2d1b)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\varphi [n]&=\varphi [n-1]+\omega [n]\\&=\varphi [n-1]+\underbrace {\arg\{s_{ \mathrm {a} }[n]\}-\arg\{s_{\mathrm {a} }[n-1]\}} _{\Delta \varphi [n]}\\&=\varphi [n -1]+\arg \left\{{\frac {s_{\mathrm {a} }[n]}{s_{\mathrm {a} }[n-1]}}\right\}\\\end {整列}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6159d33436ccb7592da0ff96c5d70b576607fab5)
![{\displaystyle \varphi [n]=\varphi [n-1]+\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1 ]\},}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/78cc0af6d6ddb8c78b48d8c29782e1bfc96e1408)
![{\displaystyle \omega [n]=\arg\{s_{\mathrm {a} }[n]\,s_{\mathrm {a} }^{*}[n-1]\}.}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/b2b76d282efe50cf9d7948942f5b44b226ad0129)
