情報場理論

${\displaystyle s(x)}$場所にあるフィールド値です${\displaystyle x\in \Omega }$空間の中で${\displaystyle \Omega }$未知の信号場に関する事前知識${\displaystyle s}$確率分布に符号化されている$\displaystyle {\mathcal {P}}(s)}$.データ${\displaystyle d}$追加情報を提供します${\displaystyle s}$可能性を通じて ${\displaystyle {\mathcal {P}}(d|s)}$それは事後確率に組み込まれる$${\displaystyle {\mathcal {P}}(s|d)={\frac {{\mathcal {P}}(d|s)\,{\mathcal {P}}(s)}{{\mathcal {P}}(d)}}}$$ベイズの定理によれば。^{[ 4 ]}

IFTでは、ベイズの定理は通常、統計場理論の言葉で書き直され、$${\displaystyle {\mathcal {P}}(s|d)={\frac {{\mathcal {P}}(d,s)}{{\mathcal {P}}(d)}}\equiv {\frac {e^{-{\mathcal {H}}(d,s)}}{{\mathcal {Z}}(d)}},}$$情報ハミルトニアンを以下のように定義する$${\displaystyle {\mathcal {H}}(d,s)\equiv -\ln {\mathcal {P}}(d,s)=-\ln {\mathcal {P}}(d|s)-\ln {\mathcal {P}}(s)\equiv {\mathcal {H}}(d|s)+{\mathcal {H}}(s),}$$データと信号の同時確率の負の対数であり、分割関数は$$\displaystyle {\mathcal {Z}}(d)\equiv {\mathcal {P}}(d)=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {P}}(d,s).}$$このベイズの定理の再定式化により、統計場理論や量子場理論を扱うために開発された数理物理学の手法を用いることが可能になる。

場は無限の自由度を持つため、場の配置空間における確率の定義には微妙な点があります。物理場を関数空間の要素として定義すると、後者にはルベーグ測度が定義されないため、確率密度を定義できないという問題が生じます。しかし、物理場はほとんどの場所で連続かつ滑らかであるため、関数空間のほとんどの要素よりもはるかに規則性があります。したがって、より一般的ではないものの、十分に柔軟な構成を用いることで、場の無限の自由度を扱うことができます。

実用的なアプローチとしては、離散化対象の場をピクセル単位で捉えることが挙げられる。各ピクセルは単一の場値を持ち、その値はピクセル体積内で一定であると仮定される。連続場に関するすべての記述は、ピクセル表現に変換する必要がある。このようにして、確率密度を明確に定義できる有限次元の場空間を扱うことができる。

この記述が適切な場の理論となるためには、さらにピクセル解像度が${\displaystyle \Delta x}$離散化された場の期待値は常に洗練される可能性があるが、 $s_{\Delta x}}$有限値に収束する：$${\displaystyle \langle f(s)\rangle _{(s|d)}\equiv \lim _{\Delta x\rightarrow 0}\int ds_{\Delta x}f(s_{\Delta x})\,{\mathcal {P}}(s_{\Delta x})。}$$

この限界が存在する場合、場の配置空間積分または経路積分について議論することができる。$${\displaystyle \langle f(s)\rangle _{(s|d)}\equiv \int {\mathcal {D}}s\,f(s)\,{\mathcal {P}}(s).}$$解像度に関係なく、数値的に評価される可能性がある。

場の最も単純な事前分布は、平均値がゼロのガウス確率分布である。$${\displaystyle {\mathcal {P}}(s)={\mathcal {G}}(s,S)\equiv {\frac {1}{\sqrt {|2\pi S|}}}e^{-{\frac {1}{2}}\,s^{\dagger }S^{-1}\,s}.}$$分母の行列式は連続体極限では定義が不明確になる可能性がある${\displaystyle \Delta x\rightarrow 0}$しかし、IFTが整合性を保つために必要なのは、この行列式が任意の有限解像度フィールド表現に対して推定できることだけである。 ${\displaystyle \Delta x>0}$そして、これにより収束する期待値の計算が可能になる。

ガウス確率分布では、場の2点相関関数を指定する必要があります。$${\displaystyle S\equiv \langle s\,s^{\dagger }\rangle _{(s)}}$$係数付き$${\displaystyle S_{xy}\equiv \langle s(x)\,{\overline {s(y)}}\rangle _{(s)}}$$連続場のスカラー積$${\displaystyle a^{\dagger }b\equiv \int _{\Omega }dx\,{\overline {a(x)}}\,b(x),}$$逆信号場共分散に関して${\displaystyle S^{-1}}$構築される、つまり$\displaystyle (S^{-1}S)_{xy}\equiv \int _{\Omega }dz\,(S^{-1})_{xz}S_{zy}=\mathbb {1} _{xy}\equiv \delta (xy).}$

対応する事前情報ハミルトニアンは次のように表される。$${\displaystyle {\mathcal {H}}(s)=-\ln {\mathcal {G}}(s,S)={\frac {1}{2}}\,s^{\dagger }S^{-1}\,s+{\frac {1}{2}}\,\ln |2\pi S|.}$$

測定データ${\displaystyle d}$尤度で生成されました${\displaystyle {\mathcal {P}}(d|s)}$測定器が線形である場合、次の形式の測定方程式が成り立つ。$${\displaystyle d=R\,s+n}$$与えることができる、${\displaystyle R}$は機器の応答であり、データが平均的に信号にどのように反応するかを記述するものであり、${\displaystyle n}$ノイズとは、単にデータ間の差のことです。${\displaystyle d}$線形信号応答${\displaystyle R\,s}$応答は、無限次元の信号ベクトルを有限次元のデータ空間に変換します。コンポーネントで表すと次のようになります。${\displaystyle d_{i}=\int _{\Omega }dx\,R_{ix}\,s_{x}+n_{i},}$

また、信号ベクトルとデータベクトルに対して、ベクトル成分表記法も導入された。

ノイズが信号に依存しないゼロ平均ガウス統計に従う場合、共分散${\displaystyle N}$、${\displaystyle {\mathcal {P}}(n|s)={\mathcal {G}}(n,N),}$すると尤度もガウス分布になる。$${\displaystyle {\mathcal {P}}(d|s)={\mathcal {G}}(dR\,s,N),}$$そして尤度情報ハミルトニアンは$${\displaystyle {\mathcal {H}}(d|s)=-\ln {\mathcal {G}}(dR\,s,N)={\frac {1}{2}}\,(dR\,s)^{\dagger }N^{-1}\,(dR\,s)+{\frac {1}{2}}\,\ln |2\pi N|.}$$ガウス信号と信号に依存しないノイズの影響を受けるガウス信号の線形測定は、自由なIFTにつながる。

上記で説明したガウスシナリオの結合情報ハミルトニアンは次のとおりです。$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {H}}(d,s)&={\mathcal {H}}(d|s)+{\mathcal {H}}(s)\\&{\widehat {=}}{\frac {1}{2}}\,(dR\,s)^{\dagger }N^{-1}\,(dR\,s)+{\frac {1}{2}}\,s^{\dagger }S^{-1}\,s\\&{\widehat {=}}{\frac {1}{2}}\,\left[s^{\dagger }\underbrace {(S^{-1}+R^{\dagger }N^{-1}R)} _{D^{-1}}\,ss^{\dagger }\underbrace {R^{\dagger }N^{-1}d} _{j}-\underbrace {d^{\dagger }N^{-1}R} _{j^{\dagger }}\,s\right]\\&\equiv {\frac {1}{2}}\,\left[s^{\dagger }D^{-1}ss^{\dagger }jj^{\dagger }s\right]\\&={\frac {1}{2}}\,\left[s^{\dagger }D^{-1}ss^{\dagger }D^{-1}\underbrace {D\,j} _{m}-\underbrace {j^{\dagger }D} _{m^{\dagger }}\,D^{-1}s\right]\\&{\widehat {=}}{\frac {1}{2}}\,(sm)^{\dagger }D^{-1}(sm),\end{aligned}}}$$どこ${\displaystyle {\widehat {=}}}$は無関係な定数を除いて等号を表し、この場合、それは に依存しない式を意味します。${\displaystyle s}$このことから、事後分布は平均が のガウス分布でなければならないことが明らかである。${\displaystyle m}$ および分散${\displaystyle D}$、$${\displaystyle {\mathcal {P}}(s|d)\propto e^{-{\mathcal {H}}(d,s)}\propto e^{-{\frac {1}{2}}\,(s-m)^{\dagger }D^{-1}(s-m)}\propto {\mathcal {G}}(s-m,D)}$$両方の分布が正規化されているため、右辺と左辺の等式が成り立つ。${\displaystyle \int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {P}}(s|d)=1=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {G}}(s-m,D)}$。

事後平均$${\displaystyle m=D\,j=(S^{-1}+R^{\dagger }N^{-1}R)^{-1}R^{\dagger }N^{-1}d}$$これは一般化ウィーナーフィルター解および不確実性共分散 としても知られています$${\displaystyle D=(S^{-1}+R^{\dagger }N^{-1}R)^{-1}}$$ウィーナー分散として。

IFTでは、${\displaystyle j=R^{\dagger }N^{-1}d}$は情報源と呼ばれ、分野（知識）を刺激するソース用語として機能し、${\displaystyle D}$情報伝播器は、情報をある場所から別の場所に伝播します。$${\displaystyle m_{x}=\int _{\Omega }dy\,D_{xy}j_{y}.}$$

自由理論を導く前提条件のいずれかが破られると、IFTは相互作用理論となり、信号場において2次以上の項が含まれるようになる。これは、信号またはノイズがガウス統計に従わない場合、応答が非線形である場合、ノイズが信号に依存する場合、または応答や共分散が不確実な場合に発生する。

この場合、情報ハミルトニアンはテイラー・フレシェ級数に展開できる可能性がある。

$${\displaystyle {\mathcal {H}}(d,\,s)=\underbrace {{\frac {1}{2}}s^{\dagger }D^{-1}s-j^{\dagger }s+{\mathcal {H}}_{0}} _{={\mathcal {H}}_{\text{free}}(d,\,s)}+\underbrace {\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\Lambda _{x_{1}...x_{n}}^{(n)}s_{x_{1}}...s_{x_{n}}} _{={\mathcal {H}}_{\text{int}}(d,\,s)},}$$どこ${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{free}}(d,\,s)}$ は自由ハミルトニアンであり、それだけでガウス事後分布が得られる。${\displaystyle {\mathcal {H}}_{\text{int}}(d,\,s)}$は相互作用するハミルトニアンであり、非ガウス補正を符号化している。1次および2次のテイラー係数は、しばしば（負の）情報源と同一視される。${\displaystyle -j}$ 情報伝播者${\displaystyle D}$それぞれ。係数が高いほど${\displaystyle \Lambda _{x_{1}...x_{n}}^{(n)}}$非線形自己相互作用に関連している。

古典分野${\displaystyle s_{\text{cl}}}$情報ハミルトニアンを最小化する、$${\displaystyle \left.{\frac {\partial {\mathcal {H}}(d,s)}{\partial s}}\right|_{s=s_{\text{cl}}}=0,}$$ したがって、事後確率を最大化する。$${\displaystyle \left.{\frac {\partial {\mathcal {P}}(s|d)}{\partial s}}\right|_{s=s_{\text{cl}}}=\left.{\frac {\partial }{\partial s}}\,{\frac {e^{-{\mathcal {H}}(d,s)}}{{\mathcal {Z}}(d)}}\right|_{s=s_{\text{cl}}}=-{\mathcal {P}}(d,s)\,\underbrace {\left.{\frac {\partial {\mathcal {H}}(d,s)}{\partial s}}\right|_{s=s_{\text{cl}}}} _{=0}=0}$$古典分野 ${\displaystyle s_{\text{cl}}}$したがって、これは場推論問題における最大事後確率推定量である。

ウィーナーフィルターの問題では、2点相関が必要となる。${\displaystyle S\equiv \langle s\,s^{\dagger }\rangle _{(s)}}$既知のフィールドの 。 が未知の場合は、フィールド自体とともに推論する必要があります。これには、ハイパープライアーの指定が必要です。${\displaystyle {\mathcal {P}}(S)}$多くの場合、統計的均一性（並進不変性）が仮定でき、これは次のことを意味します。${\displaystyle S}$フーリエ空間では対角である（ ${\displaystyle \Omega =\mathbb {R} ^{u}}$であること ${\displaystyle u}$（次元デカルト空間）。この場合、フーリエ空間パワースペクトルのみ${\displaystyle P_{s}({\vec {k}})}$推測する必要がある。統計的等方性をさらに仮定すると、このスペクトルは長さのみに依存する。${\displaystyle k=|{\vec {k}}|}$フーリエベクトルの${\displaystyle {\vec {k}}}$そして、スペクトルは一次元のみである。${\displaystyle P_{s}(k)}$を決定する必要がある。事前場の共分散は、フーリエ空間座標では次のようになる。${\displaystyle S_{{\vec {k}}{\vec {q}}}=(2\pi )^{u}\delta ({\vec {k}}-{\vec {q}})\,P_{s}(k)}$。

以前の${\displaystyle P_{s}(k)}$はフラットであり、データとスペクトルの同時確率は$${\displaystyle {\begin{aligned}{\mathcal {P}}(d,P_{s})&=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {P}}(d,s,P_{s})\\&=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {P}}(d|s,P_{s})\,{\mathcal {P}}(s|P_{s})\,{\mathcal {P}}(P_{s})\\&\propto \int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {G}}(d-Rs,N)\,{\mathcal {G}}(s,S)\\&\propto {\frac {1}{|S|^{\frac {1}{2}}}}\int {\mathcal {D}}s\,\exp \left[-{\frac {1}{2}}\left(s^{\dagger }D^{-1}s-j^{\dagger }s-s^{\dagger }j\right)\right]\\&\propto {\frac {|D|^{\frac {1}{2}}}{|S|^{\frac {1}{2}}}}\exp \left[{\frac {1}{2}}j^{\dagger }D\,j\right],\end{aligned}}}$$情報伝播子の表記法${\displaystyle D=(S^{-1}+R^{\dagger }N^{-1}R)^{-1}}$情報源${\displaystyle j=R^{\dagger }N^{-1}d}$ウィーナーフィルター問題の式が再び使用された。対応する情報ハミルトニアンは$${\displaystyle {\mathcal {H}}(d,P_{s})\;{\widehat {=}}\;{\frac {1}{2}}\left[\ln |S\,D^{-1}|-j^{\dagger }D\,j\right]={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[\ln \left(S\,D^{-1}\right)-j\,j^{\dagger }D\right],}$$どこ${\displaystyle {\widehat {=}}}$無関係な定数を除いて等しいことを表す（ここでは、${\displaystyle P_{s}}$) に関してこれを最小限に抑える${\displaystyle P_{s}}$最大事後パワースペクトル推定値を得るために、$${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\partial {\mathcal {H}}(d,P_{s})}{\partial P_{s}(k)}}&={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[D\,S^{-1}\,{\frac {\partial \left(S\,D^{-1}\right)}{\partial P_{s}(k)}}-j\,j^{\dagger }{\frac {\partial D}{\partial P_{s}(k)}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[D\,S^{-1}\,{\frac {\partial \left(1+S\,R^{\dagger }N^{-1}R\right)}{\partial P_{s}(k)}}+j\,j^{\dagger }D\,{\frac {\partial D^{-1}}{\partial P_{s}(k)}}\,D\right]\\&={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[D\,S^{-1}\,{\frac {\partial S}{\partial P_{s}(k)}}R^{\dagger }N^{-1}R+m\,m^{\dagger }\,{\frac {\partial S^{-1}}{\partial P_{s}(k)}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left[\left(R^{\dagger }N^{-1}R\,D\,S^{-1}-S^{-1}m\,m^{\dagger }\,S^{-1}\right)\,{\frac {\partial S}{\partial P_{s}(k)}}\right]\\&={\frac {1}{2}}\int \left({\frac {dq}{2\pi }}\right)^{u}\int \left({\frac {dq'}{2\pi }}\right)^{u}\left(\left(D^{-1}-S^{-1}\right)\,D\,S^{-1}-S^{-1}m\,m^{\dagger }\,S^{-1}\right)_{{\vec {q}}{\vec {q}}'}\,{\frac {\partial (2\pi )^{u}\delta ({\vec {q}}-{\vec {q}}')\,P_{s}(q)}{\partial P_{s}(k)}}\\&={\frac {1}{2}}\int \left({\frac {dq}{2\pi }}\right)^{u}\left(S^{-1}-S^{-1}D\,S^{-1}-S^{-1}m\,m^{\dagger }\,S^{-1}\right)_{{\vec {q}}{\vec {q}}}\,\delta (k-q)\\&={\frac {1}{2}}\mathrm {Tr} \left\{S^{-1}\left[S-\left(D+m\,m^{\dagger }\right)\right]\,S^{-1}\mathbb {P} _{k}\right\}\\&={\frac {\mathrm {Tr} \left[\mathbb {P} _{k}\right]}{2\,P_{s}(k)}}-{\frac {\mathrm {Tr} \left[\left(D+m\,m^{\dagger }\right)\,\mathbb {P} _{k}\right]}{2\,\left[P_{s}(k)\right]^{2}}}=0,\end{aligned}}}$$ウィーナーフィルターの平均${\displaystyle m=D\,j}$そしてスペクトルバンドプロジェクター${\displaystyle (\mathbb {P} _{k})_{{\vec {q}}{\vec {q}}'}\equiv (2\pi )^{u}\delta ({\vec {q}}-{\vec {q}}')\,\delta (|{\vec {q}}|-k)}$が導入された。後者は${\displaystyle S^{-1}}$、 以来 ${\displaystyle (S^{-1})_{{\vec {k}}{\vec {q}}}=(2\pi )^{u}\delta ({\vec {k}}-{\vec {q}})\,[P_{s}(k)]^{-1}}$はフーリエ空間で対角行列となる。したがって、パワースペクトルの最大事後確率推定量は次のようになる。$${\displaystyle P_{s}(k)={\frac {\mathrm {Tr} \left[\left(m\,m^{\dagger }+D\right)\,\mathbb {P} _{k}\right]}{\mathrm {Tr} \left[\mathbb {P} _{k}\right]}}.}$$反復計算する必要がある。${\displaystyle m=D\,j}$そして${\displaystyle D=(S^{-1}+R^{\dagger }N^{-1}R)^{-1}}$両方に依存する${\displaystyle P_{s}}$彼ら自身。経験ベイズアプローチでは、推定された ${\displaystyle P_{s}}$は所与のものとして扱われる。結果として、信号場の事後平均推定値は対応する ${\displaystyle m}$およびそれに対応する不確実性${\displaystyle D}$ 経験ベイズ近似において。

結果として得られる非線形フィルタはクリティカルフィルタと呼ばれる。^{[ 5 ]}パワースペクトル推定式の一般化は次のようになる。$${\displaystyle P_{s}(k)={\frac {\mathrm {Tr} \left[\left(m\,m^{\dagger }+\delta \,D\right)\,\mathbb {P} _{k}\right]}{\mathrm {Tr} \left[\mathbb {P} _{k}\right]}}}$$知覚閾値を示す${\displaystyle \delta <1}$つまり、信号再構成を行う前に、フーリエ帯域におけるデータ分散が、期待されるノイズレベルを一定の閾値以上超える必要があるということである。${\displaystyle m}$この帯域では、がゼロ以外になります。データの分散がこの閾値をわずかに超えると、信号の再構成は有限の励起レベルにジャンプし、熱力学系の一次相転移に似ています。フィルターの場合、 ${\displaystyle \delta =1}$信号の知覚は、データの分散がノイズレベルを超えるとすぐに連続的に開始されます。不連続な知覚が消失するのは、 ${\displaystyle \delta =1}$これは、熱力学系が臨界点を通過する過程 に似ている。そのため、臨界フィルターという名前が付けられている。

クリティカルフィルタ、その非線形測定への拡張、および非フラットスペクトル事前分布の導入により、IFTを現実世界の信号推論問題に適用することが可能になった。これらの問題では、通常、信号の共分散は事前に不明である。

相互作用係数が${\displaystyle \Lambda ^{(n)}}$情報ハミルトニアンのテイラー・フレシェ展開 において$${\displaystyle {\mathcal {H}}(d,\,s)=\underbrace {{\frac {1}{2}}s^{\dagger }D^{-1}s-j^{\dagger }s+{\mathcal {H}}_{0}} _{={\mathcal {H}}_{\text{free}}(d,\,s)}+\underbrace {\sum _{n=3}^{\infty }{\frac {1}{n!}}\Lambda _{x_{1}...x_{n}}^{(n)}s_{x_{1}}...s_{x_{n}}} _{={\mathcal {H}}_{\text{int}}(d,\,s)},}$$が小さい場合、対数分配関数、またはヘルムホルツ自由エネルギー、 $${\displaystyle \ln {\mathcal {Z}}(d)=\ln \int {\mathcal {D}}s\,e^{-{\mathcal {H}}(d,s)}=\sum _{c\in C}c}$$これらの係数に関して漸近的に展開することができる。自由ハミルトニアンは平均を指定する。${\displaystyle m=D\,j}$および分散${\displaystyle D}$ガウス分布の${\displaystyle {\mathcal {G}}(s-m,D)}$展開が積分される範囲。これにより、集合全体にわたる和が得られる。${\displaystyle C}$すべての接続されたファインマン図から。ヘルムホルツ自由エネルギーから、場の任意の接続されたモーメントは、次のように計算できます。$${\displaystyle \langle s_{x_{1}}\ldots s_{x_{n}}\rangle _{(s|d)}^{\text{c}}={\frac {\partial ^{n}\ln {\mathcal {Z}}}{\partial j_{x_{1}}\ldots \partial j_{x_{n}}}}.}$$このような図式展開が収束するために必要な小さな展開パラメータが存在する状況は、ほぼガウス型の信号場によって与えられ、場の統計の非ガウス性によって相互作用係数が小さくなる。${\displaystyle \Lambda ^{(n)}}$例えば、宇宙マイクロ波背景放射の統計はほぼガウス分布であり、初期宇宙のインフレーション期に生じたと考えられるわずかな非ガウス分布が存在する。

IFT問題で安定した数値計算を行うためには、最小化することで事後平均場を与える場汎関数が必要となる。これは、場の有効作用またはギブズ自由エネルギーによって与えられる。ギブズ自由エネルギー${\displaystyle G}$ヘルムホルツ自由エネルギーからルジャンドル変換によって構築できる。IFTでは、内部情報エネルギーの差によって与えられる。$${\displaystyle U=\langle {\mathcal {H}}(d,s)\rangle _{{\mathcal {P}}'(s|d')}}$$そしてシャノンエントロピー$${\displaystyle {\mathcal {S}}=-\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {P}}'(s|d')\,\ln {\mathcal {P}}'(s|d')}$$温度${\displaystyle T=1}$ガウス事後近似${\displaystyle {\mathcal {P}}'(s|d')={\mathcal {G}}(s-m,D)}$近似データとともに使用されます${\displaystyle d'=(m,D)}$場の平均値と分散を含む。^{[ 6 ]}

ギブズ自由エネルギーは$${\displaystyle {\begin{aligned}G(m,D)&=U(m,D)-T\,{\mathcal {S}}(m,D)\\&=\langle {\mathcal {H}}(d,s)+\ln {\mathcal {P}}'(s|d')\rangle _{{\mathcal {P}}'(s|d')}\\&=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {P}}'(s|d')\,\ln {\frac {{\mathcal {P}}'(s|d')}{{\mathcal {P}}(d,s)}}\\&=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {P}}'(s|d')\,\ln {\frac {{\mathcal {P}}'(s|d')}{{\mathcal {P}}(s|d)\,{\mathcal {P}}(d)}}\\&=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {P}}'(s|d')\,\ln {\frac {{\mathcal {P}}'(s|d')}{{\mathcal {P}}(s|d)}}-\ln \,{\mathcal {P}}(d)\\&={\text{KL}}({\mathcal {P}}'(s|d')||{\mathcal {P}}(s|d))-\ln {\mathcal {Z}}(d),\end{aligned}}}$$カルバック・ライブラーダイバージェンス${\displaystyle {\text{KL}}({\mathcal {P}}',{\mathcal {P}})}$近似事後確率と厳密事後確率、およびヘルムホルツ自由エネルギーの間の値。後者は近似データに依存しないため${\displaystyle d'=(m,D)}$ギブス自由エネルギーを最小化することは、近似事後分布と厳密事後分布間のカルバック・ライブラー情報量を最小化することと同等である。したがって、IFTの有効作用アプローチは、近似事後分布と厳密事後分布間のカルバック・ライブラー情報量を最小化する変分ベイズ法と同等である。

ギブス自由エネルギーを最小化することで、事後平均場が近似的に得られる。$${\displaystyle \langle s\rangle _{(s|d)}=\int {\mathcal {D}}s\,s\,{\mathcal {P}}(s|d),}$$一方、情報ハミルトニアンを最小化すると、事後確率場が最大化される。後者はノイズに過剰適合することが知られているため、前者の方が通常はより優れた場推定器となる。

ギブズ自由エネルギーの計算には、情報ハミルトニアン上のガウス積分の計算が必要です。内部情報エネルギーは$${\displaystyle U(m,D)=\langle {\mathcal {H}}(d,s)\rangle _{{\mathcal {P}}'(s|d')}=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {H}}(d,s)\,{\mathcal {G}}(s-m,D).}$$このような積分は、場演算子形式^{[ 7 ]を用いて計算することができ、}$${\displaystyle O_{m}=m+D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}}$$はフィールド演算子です。これによりフィールド式が生成されます。${\displaystyle s}$ガウス分布関数に適用した場合、積分内では、$${\displaystyle {\begin{aligned}O_{m}\,{\mathcal {G}}(s-m,D)&=(m+D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}})\,{\frac {1}{|2\pi D|^{\frac {1}{2}}}}\,\exp \left[-{\frac {1}{2}}(s-m)^{\dagger }D^{-1}(s-m)\right]\\&=(m+D\,D^{-1}(s-m))\,{\frac {1}{|2\pi D|^{\frac {1}{2}}}}\,\exp \left[-{\frac {1}{2}}(s-m)^{\dagger }D^{-1}(s-m)\right]\\&=s\,{\mathcal {G}}(s-m,D),\end{aligned}}}$$また、場のより高いパワーを複数回適用した場合、$${\displaystyle {\begin{aligned}(O_{m})^{n}\,{\mathcal {G}}(s-m,D)&=s^{n}\,{\mathcal {G}}(s-m,D).\end{aligned}}}$$情報ハミルトニアンが解析的であれば、そのすべての項は場演算子を介して生成できる。$${\displaystyle {\mathcal {H}}(d,O_{m})\,{\mathcal {G}}(s-m,D)={\mathcal {H}}(d,s)\,{\mathcal {G}}(s-m,D).}$$フィールドオペレーターはフィールドに依存しないため${\displaystyle s}$それ自体は、内部情報エネルギー構築の経路積分から引き出すことができ、$${\displaystyle U(m,D)=\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {H}}(d,O_{m})\,{\mathcal {G}}(s-m,D)={\mathcal {H}}(d,O_{m})\int {\mathcal {D}}s\,{\mathcal {G}}(s-m,D)={\mathcal {H}}(d,O_{m})\,1_{m},}$$どこ${\displaystyle 1_{m}=1}$常に値を返す関数とみなされるべきである${\displaystyle 1}$入力値に関係なく${\displaystyle m}$結果として得られる式は、平均場消滅演算子を交換することによって計算できる。${\displaystyle D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}}$表現の右側では、それらは消えてしまうので${\displaystyle {\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\,1_{m}=0}$平均場消滅器${\displaystyle D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}}$平均場と可換である $${\displaystyle \left[D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}},m\right]=D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}\,m-m\,D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}=D+m\,D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}-m\,D\,{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} m}}=D.}$$

場演算子形式を用いることでギブス自由エネルギーを計算することができ、これにより数値的に頑健な関数最小化を通して事後平均場を（近似的に）推論することが可能となる。