多次元スペクトル推定

多次元スペクトル推定は、通常 1 次元信号用に定式化されるスペクトル推定を、多次元信号または波数ベクトルなどの多変量データに一般化したものです。

多次元スペクトル推定は、医学、航空宇宙、ソナー、レーダー、バイオインフォマティクス、地球物理学などの分野での応用により人気が高まっています。最近では、有限パラメータを持つモデルを設計して多次元信号のパワースペクトルを推定するさまざまな方法が提案されています。この記事では、多次元信号のパワースペクトルを推定するために使用される方法の基礎について説明します。

多次元信号のスペクトル推定には、信号をローパス、ハイパス、通過帯域、阻止帯域に分類するなど、多くの用途があります。また、オーディオおよびビデオ信号の圧縮と符号化、レーダーでのビーム形成と方向探知、^[1]地震データの推定と処理、センサーとアンテナのアレイ、振動解析にも使用されます。電波天文学の分野では、^[1]望遠鏡アレイの出力を同期するために使用されます。

1次元の場合、信号は振幅と時間スケールによって特徴付けられます。スペクトル推定に関係する基本概念には、自己相関、多次元フーリエ変換、平均二乗誤差、エントロピーなどがあります。^[2]多次元信号の場合、パワースペクトルを推定するために、フィルターバンクを使用するか、ランダムプロセスのパラメータを推定するかという2つの主なアプローチがあります。

これは、正確に計算できない単次元または多次元信号のパワースペクトルを推定する手法です。広義の定常ランダムプロセスのサンプルとその2次統計量（測定値）が与えられます。推定値は、ランダム信号の自己相関関数の多次元フーリエ変換を適用することで得られます。推定は、測定値ri(n)の多次元フーリエ変換の大きさを2乗することで得られる周期グラムを計算することから始まります。周期グラムから得られるスペクトル推定値は、連続する周期グラムサンプルの振幅または波数に大きなばらつきがあります。この問題は、古典的な推定理論を構成する手法を使用して解決されます。これらは次のとおりです。1.Bartlettは、スペクトル推定値を平均してパワースペクトルを計算する方法を提案しました。測定値は時間的に等間隔のセグメントに分割され、平均が取られます。これにより、より適切な推定値が得られます。^[3] 2.受信機/出力の波数とインデックスに基づいて、セグメントを分割できます。これにより、スペクトル推定値が増加し、連続するセグメント間の分散が減少します。3.ウェルチは、データウィンドウ関数を使用して測定値を分割し、ピリオドグラムを計算し、それらを平均してスペクトル推定値を取得し、高速フーリエ変換（FFT）を使用してパワースペクトルを計算することを提案しました。これにより、計算速度が向上します。^[4] 4.スムージングウィンドウは、ピリオドグラムにスムージングスペクトルを乗算することで、推定値をスムージングするのに役立ちます。スムージングスペクトルのメインローブが広いほど、周波数分解能を犠牲にして滑らかになります。^[2]

${\displaystyle P\left(K_{x},w\right)=\int _{-\infty }^{\infty }\int _{-\infty }^{\infty }\varphi _{ss}\left(x,t\right)\ e^{-j\left(wt-k'x\right)}\,dx\,dt}$

${\displaystyle \varphi _{ss}\left(x,t\right)=s\left[\left(\xi ,\tau \right)s^{*}\left(\xi -x,\tau -t\right)\right]}$ ^[2]

${\displaystyle P_{B}\left(w\right)={\frac {1}{detN}}\sum _{l}|\sum _{n}\ x\left(n+MI\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}}$ バートレット事件^[2]

${\displaystyle P_{M}\left(w\right)={\frac {1}{detN}}|\sum _{n}\ g\left(n\right)\ x\left(n\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}}$修正ピリオドグラム^[2]

${\displaystyle P_{W}\left(w\right)={\frac {1}{detN}}\sum _{l}|\sum _{n}\ g\left(n\right)\ x\left(n+MI\right)\ e^{-j\left(w'n\right)}|^{2}}$ウェルチ事件^[2]

利点

フーリエ変換を伴う簡単な手法。

制限事項

1. 上記の方法のいくつかはシーケンスを時間的にサンプリングするため、周波数解像度が低下します (エイリアシング)。
2. 広義の定常ランダム過程のインスタンス数が少ないため、推定値を正確に計算することが困難になります。

この方法は、従来の推定理論よりも周波数分解能が高い、より優れた推定値を提供します。高解像度推定方法では、特定の波数のみを許可し、他の波数を抑制する可変波数ウィンドウを使用します。Capon ^[5]の研究は、波数周波数成分を使用した推定方法を確立するのに役立ちました。これにより、より高い周波数分解能の推定値が得られます。使用される最適化ツールが似ているため、最大尤度法に似ています。

予測

センサーから得られる出力は、平均がゼロの広義の定常ランダムプロセスである。^[6]

${\displaystyle P_{C}\left(K_{o}x,w_{o}\right)=E\left[|y\left(i,n\right)|^{2}\right]={\frac {1}{\sum _{\alpha =0}^{N-1}\sum _{\beta =0}^{M-1}\sum _{l=0}^{N-1}\sum _{m=0}^{M-1}\psi _{e}\left(l,\alpha ;m,\beta \right)}}}$ ^[2]

利点

1. 他の既存の方法と比較して、より高い周波数解像度。
2. 固定波数ウィンドウを使用する従来の方法と比較して、可変波数ウィンドウを使用しているため、周波数推定値が向上します。
3. FFT を使用するため、計算速度が速くなります。

このタイプの推定では、多次元信号を分離可能な関数として選択します。^[1]この特性により、複数の次元で連続的に行われるフーリエ解析を表示できます。振幅の二乗演算における時間遅延は、各次元でのフーリエ変換の処理に役立ちます。離散時間多次元フーリエ変換が各次元に沿って適用され、最後に最大エントロピー推定値が適用され、振幅が二乗されます。

利点

1. 信号が分離可能であるため、フーリエ解析は柔軟です。
2. 他のスペクトル推定器とは異なり、あらゆる次元の位相成分を保持します。

この方法は、自己回帰スペクトル推定と呼ばれる 1 次元手法の拡張です。自己回帰モデルでは、出力変数はそれ自身の以前の値に線形に依存します。このモデルでは、パワー スペクトルの推定は、特定の領域で既知であると想定されるランダム プロセスの自己相関係数から係数を推定することに簡略化されます。ランダム プロセスのパワー スペクトルは次のように表されます。^[2]${\displaystyle P_{A}(k_{x},w)}$${\displaystyle r(i,n)}$

${\displaystyle P_{A}\left(k_{x},w\right)=P_{e}\left(k_{x},w\right)|{\frac {1}{1-A\left(k_{x},w\right)}}|^{2}}$

上記はランダム過程のパワースペクトルであり、伝達関数を持つシステムへの入力として与えられ、^[2]は次の式を得る。 ${\displaystyle P_{e}\left(k_{x},w\right)}$${\displaystyle e(i,n)}$${\displaystyle |{\frac {1}{1-A\left(k_{x},w\right)}}|}$${\displaystyle r(i,n)}$${\displaystyle A\left(k_{x},w\right)}$

${\displaystyle A\left(k_{x},w\right)=\sum _{p=o}^{N-1}\sum _{q=0}^{M-1}a(p,q)exp(jk_{x}p-jwq)}$

したがって、検出力推定は、ランダム プロセスの自己相関関数からの係数の推定に帰着します。係数は、実際のランダム信号とランダム信号の予測値間の平均二乗誤差の最小化を扱う線形予測式を使用して推定することもできます。 ${\displaystyle a\left(p,q\right)}$${\displaystyle \varphi \left(l,m\right)}$

制限事項

1. 1次元では、自己相関マッチング特性により、未知数の数が同じ線形方程式の数が同じになります。しかし、パラメータセットに自己相関係数を一致させるのに十分な自由度が含まれていないため、多次元^{[2]ではそれが不可能な場合があります。}
2. 係数の配列は特定の領域に制限されていると仮定します。
3. 線形予測の 1 次元定式化では、逆フィルタは最小位相特性を持ち、フィルタが安定していることが証明されます。ただし、多次元の場合は必ずしもそうとは限りません。
4. 1 次元定式化では、自己相関行列は正定値ですが、多次元の場合は正定値の拡張が存在しない可能性があります。

このスペクトル推定法では、逆フーリエ変換が既知の自己相関係数と一致するスペクトル推定値を見つけようとします。スペクトル推定値のエントロピーを最大化して、自己相関係数と一致させます。^[2]エントロピー方程式は次のように与えられます。^{[1] [2]}

${\displaystyle H={\frac {1}{4\pi ^{2}}}\int _{-\pi }^{\pi }\int _{-\pi }^{\pi }logP\left(k_{x},w\right)dk_{x}dw}$

パワースペクトルは、既知の自己相関係数と未知の自己相関係数の合計として表すことができます。制約のない係数の値を調整することで、エントロピーを最大化できます。 ${\displaystyle P\left(k,w\right)}$

最大エントロピーは次の式で表される: ^[2]

${\displaystyle P_{ME}={\frac {1}{\sum _{l}\sum _{m}\lambda \left(l,m\right)exp\left(jk_{x}l-jwm\right)}}}$^[1]

λ(l,m)は既知の自己相関係数が一致するように選択する必要がある。

制限事項

1. 制約付き最適化であるが、ラグランジュ乗数法を用いることで克服できる。^[2]
2. 全極スペクトル推定は、1 次元の場合のように多次元の場合の最大エントロピーの解にはなりません。これは、全極スペクトル モデルに、既知の自己相関係数と一致するのに十分な自由度が含まれていないためです。

利点

正確な一致は必要ないため、既知の自己相関係数の測定または推定における誤差を考慮に入れることができます。

デメリット

必要な計算が多すぎます。

これは比較的新しいアプローチです。改良最大尤度法（IMLM）は、2つのMLM（最大尤度）推定量を組み合わせたものです。^{[1] [7]} 2次元配列AとBの波数k（空間における配列の方向に関する情報を与える）における改良最大尤度は、次の関係式で与えられます。^[8]

${\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)={\frac {1}{{\frac {1}{MLM\left(k:A\right)}}-{\frac {1}{MLM\left(k:B\right)}}}}}$^[7]

配列 B は A のサブセットです。したがって、A>B と仮定すると、A の MLM と B の MLM に差がある場合、その周波数での推定スペクトル エネルギーの大部分は、他の周波数からの電力漏洩によるものである可能性があります。A の MLM の強調を弱めると、スペクトル推定が改善される可能性があります。これは、B の MLA と A の MLA の差が大きいほど小さくなる重み付け関数を乗算することで実現されます。

${\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)={\frac {MLM\left(k:A\right)MLM\left(k:B\right)}{MLM\left(k:B\right)-MLM\left(k:A\right)}}}$

${\displaystyle IMLM\left(k:A,B\right)=MLM\left(k:A\right)W_{AB}\left(k\right)}$

ここで重み関数は次式で与えられる: ^[7]${\displaystyle W_{AB}\left(k\right)}$

${\displaystyle W_{AB}\left(k\right)={\frac {MLM\left(k:B\right)}{MLM\left(k:B\right)-MLM\left(k:A\right)}}}$

利点

1. MLM または MEM (最大エントロピー法/最大エントロピーの原理)の代替として使用されます。
2. IMLMはMLMよりも解像度が高く、MEMに比べて計算量が少ない^{[7] [8]}