シグスペック

SigSpec（SIGnificance SPECtrumの頭字語）は、測定された（ノイズが多く、必ずしも等間隔ではない）時系列の周期性の信頼性を提供する統計的手法です。^{[1]これは、}離散フーリエ変換（DFT）によって取得された振幅スペクトルに依存し、スペクトル有意性（多くの場合「sig」と略される）と呼ばれる量を各振幅に割り当てます。この量は、タイプIエラーの意味で、特定の振幅レベルがホワイトノイズで見られる可能性の対数測定値です。これは、「分析された時系列がランダムである場合、測定されたものと同じかそれ以上の振幅が得られる可能性はどれくらいですか？」という 質問に対する答えを表します。

^{SigSpecは、} DFTを適用する前にゼロに平均化される時系列を適切に組み込んだ、Lomb-Scargleピリオドグラムの正式な拡張と見なすことができます。これは、多くの実際のアプリケーションで行われます。ゼロ平均補正されたデータセットをランダムサンプルと統計的に比較する必要がある場合、サンプル平均（母平均のみではなく）はゼロでなければなりません。

時系列がペアの集合で表されることを考えると、周波数と位相角に依存するフーリエ空間における白色ノイズの振幅pdfは、3つのパラメータ、、、で記述でき、「サンプリングプロファイル」を定義する。 ${\displaystyle K}$${\displaystyle (t_{k},x_{k})}$${\displaystyle \alpha _{0}}$${\displaystyle \beta _{0}}$${\displaystyle \theta _{0}}$

${\displaystyle \tan 2\theta _{0}={\frac {K\sum _{k=0}^{K-1}\sin 2\omega t_{k}-2\left(\sum _{k=0}^{K-1}\cos \omega t_{k}\right)\left(\sum _{k=0}^{K-1}\sin \omega t_{k}\right)}{K\sum _{k=0}^{K-1}\cos 2\omega t_{k}-{\big (}\sum _{k=0}^{K-1}\cos \omega t_{k}{\big )}^{2}+{\big (}\sum _{k=0}^{K-1}\sin \omega t_{k}{\big )}^{2}}},}$

${\displaystyle \alpha _{0}={\sqrt {{\frac {2}{K^{2}}}\left(K\sum _{k=0}^{K-1}\cos ^{2}\left(\omega t_{k}-\theta _{0}\right)-\left[\sum _{l=0}^{K-1}\cos \left(\omega t_{k}-\theta _{0}\right)\right]^{2}\right)}},}$

${\displaystyle \beta _{0}={\sqrt {{\frac {2}{K^{2}}}\left(K\sum _{k=0}^{K-1}\sin ^{2}\left(\omega t_{k}-\theta _{0}\right)-\left[\sum _{l=0}^{K-1}\sin \left(\omega t_{k}-\theta _{0}\right)\right]^{2}\right)}}.}$

フーリエ空間における位相角に関しては、 ${\displaystyle \theta }$

${\displaystyle \tan \theta ={\frac {\sum _{k=0}^{K-1}\sin \omega t_{k}}{\sum _{k=0}^{K-1}\cos \omega t_{k}}},}$

振幅の確率密度は次のように与えられる。

${\displaystyle \phi (A)={\frac {KA\cdot \operatorname {sock} }{2<x^{2}>}}\exp \left(-{\frac {KA^{2}}{4<x^{2}>}}\cdot \operatorname {sock} \right),}$

ここで、sock関数は次のように定義されます。

${\displaystyle \operatorname {sock} (\omega ,\theta )=\left[{\frac {\cos ^{2}\left(\theta -\theta _{0}\right)}{\alpha _{0}^{2}}}+{\frac {\sin ^{2}\left(\theta -\theta _{0}\right)}{\beta _{0}^{2}}}\right]}$

従属変数の分散を表します。 ${\displaystyle <x^{2}>}$ ${\displaystyle x_{k}}$

pdfを積分すると、時間領域における白色ノイズが少なくとも の振幅を生成するという誤警報確率が得られる。 ${\displaystyle A}$

${\displaystyle \Phi _{\operatorname {FA} }(A)=\exp \left(-{\frac {KA^{2}}{4<x^{2}>}}\cdot \operatorname {sock} \right).}$

sigは誤報確率の負の対数として定義され、次のように評価されます。

${\displaystyle \operatorname {sig} (A)={\frac {KA^{2}\log e}{4<x^{2}>}}\cdot \operatorname {sock} .}$

指定された周波数と位相を 超える 1 つの振幅を取得するために調べる必要があるランダム時系列の数を返します。${\displaystyle A}$

SigSpec は主に星震学で変光星を識別し、恒星の脈動を分類するために使用されます (以下の参考文献を参照)。この方法は時間領域サンプリングの特性を適切に取り入れているため、データギャップを含む一般的な天文学的測定に有用なツールとなります。

• スペクトル密度推定

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