セミパラメトリックモデル

統計学において、セミパラメトリック モデルは、パラメトリックコンポーネントとノンパラメトリックコンポーネントを持つ統計モデルです。

統計モデルは、パラメータによってインデックス付けされた、パラメータ化された分布のファミリです。 ${\displaystyle \{P_{\theta }:\theta \in \Theta \}}$ ${\displaystyle \theta}$

• パラメトリックモデルとは、インデックスパラメータが、ある非負の整数 に対して、次元ユークリッド空間のベクトルであるモデルです。^[1]したがって、は有限次元であり、 です。${\displaystyle \theta}$${\displaystyle k}$${\displaystyle k}$${\displaystyle \theta}$${\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{k}}$
• ノンパラメトリックモデルでは、パラメータの可能な値の集合は、必ずしも有限次元ではない空間のサブセットです。たとえば、平均が 0 であるすべての分布の集合を考えてみましょう。このような空間は位相構造を持つベクトル空間ですが、ベクトル空間ほど有限次元ではない可能性があります。したがって、無限次元の可能性のある空間に対しては、${\displaystyle \theta}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \Theta \subseteq V}$ ${\displaystyle V}$
• セミパラメトリックモデルでは、パラメータは有限次元成分と無限次元成分（実数直線上で定義された実数値関数であることが多い）の両方を持ちます。したがって、は無限次元空間です。${\displaystyle \Theta \subseteq \mathbb {R} ^{k}\times V}$${\displaystyle V}$

一見すると、セミパラメトリックモデルには有限次元成分だけでなく無限次元成分もあるため、ノンパラメトリックモデルも含まれるように見えるかもしれません。しかし、セミパラメトリックモデルは、 の有限次元成分のみに関心があることが多いため、完全なノンパラメトリックモデルよりも「小さい」と考えられます。つまり、無限次元成分は、不要なパラメータと見なされます。^[2] 対照的に、ノンパラメトリックモデルでは、無限次元パラメータを推定することが主な関心事です。したがって、ノンパラメトリックモデルでは、推定タスクは統計的に困難です。 ${\displaystyle \theta}$

これらのモデルでは、多くの場合、スムージングまたはカーネルが使用されます。

セミパラメトリックモデルのよく知られた例は、Cox比例ハザードモデルです。^[3]癌による死亡や電球の故障などのイベントまでの時間を調べる場合、Coxモデルは に対して次の分布関数を指定します。 ${\displaystyle T}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle F(t)=1-\exp \left(-\int _{0}^{t}\lambda _{0}(u)e^{\beta x}du\right),}$

ここで、は共変量ベクトル、および は未知のパラメータです。 ここで、 は有限次元であり、 は興味深いものです。 は未知の非負の時間関数（ベースライン ハザード関数として知られる）であり、 はしばしば厄介なパラメータです。 の可能な候補の集合は無限次元です。 ${\displaystyle x}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$${\displaystyle \theta =(\beta ,\lambda _{0}(u))}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$${\displaystyle \lambda _{0}(u)}$

• セミパラメトリック回帰
• 統計モデル
• 一般化モーメント法

• Bickel, PJ; Klaassen, CAJ; Ritov, Y.; Wellner, JA (1998)、セミパラメトリック モデルの効率的かつ適応的な推定、Springer
• ハードル、ヴォルフガング。ミュラー、マレーネ。シュパーリッヒ、ステファン。 Werwatz、Axel (2004)、ノンパラメトリックおよびセミパラメトリック モデル、Springer
• コソロック、マイケル R. (2008)、経験的プロセスとセミパラメトリック推論入門、シュプリンガー
• Tsiatis, Anastasios A. (2006)、セミパラメトリック理論と欠損データ、Springer
• Begun, Janet M.; Hall, WJ; Huang, Wei-Min; Wellner, Jon A. (1983)、「パラメトリック-ノンパラメトリック モデルにおける情報と漸近効率」、Annals of Statistics、11 (1983)、第 2 号、432-452 ページ