音楽（アルゴリズム）

MUSIC（MUltiple SIgnal Classification ）は、周波数推定^{[1] [2] [3]}や無線方向探知^[4]に使用されるアルゴリズムです。

多くの実際の信号処理の問題では、受信信号が依存する定数パラメータのセットを測定値から推定することが目的です。このような問題には、Capon (1969) の最大尤度 (ML) 法や Burg の最大エントロピー (ME) 法など、いくつかのアプローチがあります。これらの方法は成功し、広く使用されていますが、測定値の不正確なモデル (たとえば、特殊な ARMAではなくAR ) を使用するため、主にいくつかの基本的な制限 (特にパラメータ推定のバイアスと感度) があります。

Pisarenko (1973) は、データ モデルの構造を最初に活用した人の 1 人で、共分散アプローチを使用して加法性ノイズ内の複雑な正弦波のパラメーターを推定するコンテキストでこれを行いました。Schmidt (1977) は、Northrop Grumman で働いていたとき、および独立して Bienvenu と Kopp (1979) は、任意の形状のセンサー アレイの場合に測定モデルを正しく活用した最初の人でした。特に Schmidt は、最初にノイズがない場合の完全な幾何学的解を導出し、次に幾何学的概念を巧みに拡張して、ノイズがある場合の妥当な近似解を得ることでこれを達成しました。結果として得られたアルゴリズムは MUSIC (MUltiple SIgnal Classification) と呼ばれ、広く研究されてきました。

マサチューセッツ工科大学のリンカーン研究所は、1998年に何千ものシミュレーションに基づく詳細な評価を行い、現在認められている高解像度アルゴリズムの中で、MUSICが最も有望であり、さらなる研究と実際のハードウェア実装の有力候補であると結論付けました。^[5]しかし、MUSICのパフォーマンス上の利点は大きいものの、計算（パラメータ空間の検索）とストレージ（アレイキャリブレーションデータ）のコストがかかります。^[6]

MUSIC法は、信号ベクトル が、ガウス白色ノイズ の存在下で、周波数が未知の複素指数関数から成り、線形モデルで与えられると 仮定する。${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle p}$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \mathbf {n} }$

${\displaystyle \mathbf {x} =\mathbf {A} \mathbf {s} +\mathbf {n} .}$

ここで、はステアリング ベクトルのVandermonde 行列であり、は振幅ベクトルです。重要な仮定は、ソースの数 が測定ベクトルの要素の数 よりも少ない、つまり であるということです。 ${\displaystyle \mathbf {A} =[\mathbf {a} (\omega _{1}),\cdots ,\mathbf {a} (\omega _{p})]}$${\displaystyle M\times p}$ ${\displaystyle \mathbf {a} (\omega )=[1,e^{j\omega },e^{j2\omega },\ldots ,e^{j(M-1)\omega }]^{T}}$${\displaystyle \mathbf {s} =[s_{1},\ldots ,s_{p}]^{T}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M}$${\displaystyle p<M}$

の自己相関行列は次のように表される。 ${\displaystyle M\times M}$${\displaystyle \mathbf {x} }$

${\displaystyle \mathbf {R} _{x}=\mathbf {A} \mathbf {R} _{s}\mathbf {A} ^{H}+\sigma ^{2}\mathbf {I} ,}$

ここで、はノイズ分散、は単位行列、 はの自己相関行列です。 ${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle \mathbf {I} }$${\displaystyle M\times M}$${\displaystyle \mathbf {R} _{s}}$${\displaystyle p\times p}$${\displaystyle \mathbf {s} }$

自己相関行列は伝統的にサンプル相関行列を使用して推定される。 ${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$

${\displaystyle {\widehat {\mathbf {R} }}_{x}={\frac {1}{N}}\mathbf {X} \mathbf {X} ^{H}}$

ここで、 はベクトル観測値の数、 はベクトル観測値の数です。 の推定値が与えられると、MUSIC は固有空間法を使用して信号または自己相関行列の周波数内容を推定します。 ${\displaystyle N>M}$${\displaystyle \mathbf {X} =[\mathbf {x} _{1},\mathbf {x} _{2},\ldots ,\mathbf {x} _{N}]}$${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$

はエルミート行列なので、そのすべての固有ベクトルは互いに直交します。 の固有値を降順で並べると、最大固有値（つまり、変動が最大となる方向）に対応する固有ベクトルは、信号サブスペース に広がります。 残りの固有ベクトルは、 に等しい固有値 に対応し、信号サブスペース に直交するノイズ サブスペース に広がります。 ${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$${\displaystyle M}$${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\mathbf {v} _{2},\ldots ,\mathbf {v} _{M}\}}$${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$${\displaystyle \{\mathbf {v} _{1},\ldots ,\mathbf {v} _{p}\}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$${\displaystyle M-p}$${\displaystyle \sigma ^{2}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{N}}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}\perp {\mathcal {U}}_{N}}$

の場合、MUSIC はピサレンコ調和分解と同一であることに注意してください。MUSIC 法の基本的な考え方は、ノイズ サブスペースにまたがるすべての固有ベクトルを使用して、ピサレンコ推定器のパフォーマンスを向上させることです。 ${\displaystyle M=p+1}$

信号サブスペースに存在する任意の信号ベクトルはノイズサブスペース に直交する必要があるため、ノイズサブスペースを張るすべての固有ベクトルに対して でなければなりません。のすべての に対するの直交度を測定するために、MUSICアルゴリズムは の二乗ノルムを定義します。 ${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle \mathbf {e} \in {\mathcal {U}}_{S}}$${\displaystyle \mathbf {e} \perp {\mathcal {U}}_{N}}$${\displaystyle \mathbf {e} \perp \mathbf {v} _{i}}$${\displaystyle \{\mathbf {v} _{i}\}_{i=p+1}^{M}}$${\displaystyle \mathbf {e} }$${\displaystyle \mathbf {v} _{i}\in {\mathcal {U}}_{N}}$

${\displaystyle d^{2}=\|\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} \|^{2}=\mathbf {e} ^{H}\mathbf {U} _{N}\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} =\sum _{i=p+1}^{M}|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}|^{2}}$

ここで、行列はノイズ部分空間 にまたがる固有ベクトルの行列です。 の場合、直交条件によって暗示されるとおりです。 2乗ノルム式の逆数を取ると、信号周波数で鋭いピークが作成されます。 MUSIC（または擬似スペクトル）の周波数推定関数は、 ${\displaystyle \mathbf {U} _{N}=[\mathbf {v} _{p+1},\ldots ,\mathbf {v} _{M}]}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{N}}$${\displaystyle \mathbf {e} \in {\mathcal {U}}_{S}}$${\displaystyle d^{2}=0}$

${\displaystyle {\hat {P}}_{MU}(e^{j\omega })={\frac {1}{\mathbf {e} ^{H}\mathbf {U} _{N}\mathbf {U} _{N}^{H}\mathbf {e} }}={\frac {1}{\sum _{i=p+1}^{M}|\mathbf {e} ^{H}\mathbf {v} _{i}|^{2}}},}$

ノイズの固有ベクトルは どこにあり、${\displaystyle \mathbf {v} _{i}}$

${\displaystyle \mathbf {e} ={\begin{bmatrix}1&e^{j\omega }&e^{j2\omega }&\cdots &e^{j(M-1)\omega }\end{bmatrix}}^{T}}$

は候補ステアリングベクトルです。推定関数の最大ピークの位置は、信号成分 の周波数推定値を与えます。${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\hat {\omega }}=\arg \max _{\omega }\;{\hat {P}}_{MU}(e^{j\omega }).}$

MUSIC はピサレンコ法の一般化であり、 の場合にはピサレンコ法 に簡約されます。ピサレンコ法では、周波数推定関数の分母を形成するために 1 つの固有ベクトルのみが使用されます。固有ベクトルは自己回帰係数のセットとして解釈され、そのゼロは解析的に、または多項式根探索アルゴリズムを使用して見つけることができます。対照的に、MUSIC では、そのような関数がいくつか加算されていると想定されるため、ゼロが存在しない可能性があります。代わりに、推定関数のピークを計算的に検索することで見つけることができる極小値があります。 ${\displaystyle M=p+1}$

MUSIC 法やその他のサブスペース分解法の基本的な観察は、次のように信号源の数に関連する自己相関行列のランクに関するものです。 ${\displaystyle \mathbf {R} _{x}}$${\displaystyle p}$

ソースが複素数の場合、信号サブスペースの次元は です。ソースが実数の場合、信号サブスペースの次元は です。つまり、各実数正弦波は 2 つの基底ベクトルによって生成されます。 ${\displaystyle M>p}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle M>2p}$${\displaystyle 2p}$

この基本的な結果は、スペクトル解析の本では省略されることが多いが、入力信号が（実数値信号の場合）にわたる信号サブスペース固有ベクトルと、にわたるノイズサブスペース固有ベクトルに分配される理由である。これは信号埋め込み理論^{[2] [7]に基づいており、}多様体の位相理論^[4]によっても説明できる。${\displaystyle p}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{S}}$${\displaystyle 2p}$${\displaystyle {\mathcal {U}}_{N}}$

MUSIC は、コンポーネントの数が事前にわかっている場合、ノイズが存在する状態で DFT スペクトルのピークを選択するなどの単純な方法よりも優れています。これは、この数に関する知識を利用して最終レポートでノイズを無視するためです。

DFT とは異なり、その推定関数は DFT ビンの周波数だけでなく任意の周波数に対して評価できるため、1 サンプルよりも高い精度で周波数を推定できます。これは超解像の一種です。

この方法の主な欠点は、成分の数を事前に知る必要があるため、元の方法はより一般的な場合には使用できないことです。自己相関行列の統計的特性からのみソース成分の数を推定する方法は存在します。例えば、^[8]を参照してください。さらに、MUSICは共存するソースが相関していないと仮定しているため、実際のアプリケーションが制限されます。

最近の反復セミパラメトリック法は、SAMVなどの相関の高い情報源にも関わらず、堅牢な超解像を実現している^{[9] [10]}

MUSICの修正版であるタイムリバーサルMUSIC（TR-MUSIC）は、最近、計算によるタイムリバーサルイメージングに適用されています。^{[11] [12] MUSICアルゴリズムは、Cライブラリlibmusic [13]} （MATLAB実装を含む）の形式で、DTMF周波数（デュアルトーンマルチ周波数シグナリング）の高速検出にも実装されています。^[14]

• スペクトル密度推定
• ピリオドグラム
• マッチしたフィルタ
• ウェルチ法
• バートレット法
• SAMV（アルゴリズム）
• 無線方向探知
• ピッチ検出アルゴリズム
• 高解像度顕微鏡

• 周波数の推定と追跡、Quinn と Hannan、ケンブリッジ大学出版局、2001 年。