サイモン・ドナルドソン

お客様 サイモン・ドナルドソン フランス
ドナルドソン、2009年
生まれる	サイモン・カーワン・ドナルドソン ( 1957-08-20 )1957年8月20日（67歳） ケンブリッジ、イギリス
国籍	イギリス
母校	ペンブルック・カレッジ、ケンブリッジ大学( BA ) ウースター・カレッジ、オックスフォード大学( DPhil )
知られている	滑らかな（微分可能な）4次元多様体の位相ドナルド ソン理論 ドナルドソンの定理 ドナルドソン・トーマス理論 ドナルドソン・ウーレンベック・ヤウの定理 K-安定性 ファノ多様体のK-安定性 ヤウ・ティアン・ドナルドソン予想
受賞歴	ジュニア・ホワイトヘッド賞(1985) フィールズ賞(1986) ロイヤルメダル(1992) クラフォード賞(1994) ポリア賞(1999) キングファイサル国際賞(2006) ネマーズ数学賞(2008) ショー数学賞 (2009) ブレイクスルー数学賞(2014) オズワルド・ヴェブレン賞(2019) ウルフ数学賞(2020)
科学者としてのキャリア
フィールド	トポロジー
機関	インペリアル・カレッジ・ロンドン ストーニーブルック大学 高等研究所 スタンフォード大学 オックスフォード大学
論文	ケーラー多様体上のヤン・ミルズ方程式 (1983)
博士課程の指導教員	マイケル・アティヤ ナイジェル・ヒッチン
博士課程の学生	オスカー・ガルシア プラダ ドミニク ・ジョイス ディーター・コッチック グラハム ・ネルソン ポール・ ザイデル イヴァン・ スミス ガーボル・セーケリヒディ リチャード・トーマス マイケル ・サデウス

サイモン・カーワン・ドナルド ソン卿（1957年8月20日生まれ）は、滑らかな（微分可能な）4次元多様体の位相幾何学、ドナルドソン・トーマス理論、ケーラー幾何学への貢献で知られるイギリスの数学者である。現在は、ニューヨークのストーニーブルック大学のシモンズ幾何学物理学センターの常任メンバーであり、 ^[1]インペリアル・カレッジ・ロンドンの純粋数学の教授でもある。

ドナルドソンの父親はケンブリッジ大学生理学部の電気技師で、母親は同大学で理学の学位を取得していた。^{[2]ドナルドソンは1979年に}ケンブリッジ大学ペンブルック・カレッジで数学の学士号を取得し、1980年にオックスフォード大学ウースター・カレッジで最初はナイジェル・ヒッチンのもと、後にマイケル・アティヤの指導のもと、大学院の研究を始めた。まだ大学院生だったドナルドソンは1982年に、彼の名声を確立することになる結果を証明した。彼はその結果を1983年に発表した論文「自己双対接続と滑らかな4次元多様体の位相」で発表した。アティヤの言葉を借りれば、その論文は「数学界を驚かせた」^{[3] 。}

マイケル・フリードマンが位相的 4 次元多様体を分類したのに対し、ドナルドソンの研究は、量子場の理論に起源を持つヤン＝ミルズゲージ理論の方程式の特殊解であるインスタントンを用いて、微分可能な構造を許容する 4 次元多様体に焦点を当てた。ドナルドソンの最初の結果の 1 つは、滑らかな 4 次元多様体の交差形式に厳しい制限を与えた。その結果、位相的 4 次元多様体の大部分は、滑らかな構造をまったく許容しない。ドナルドソンは、ゲージ理論から多項式不変量も導出した。これらは、4 次元多様体の基になる滑らかな構造に敏感な新しい位相的不変量であった。これらにより、「エキゾチックな」滑らかな構造の存在を推定することが可能になった。つまり、特定の位相的 4 次元多様体は、異なる滑らかな構造の無限の族を持つことができるのである。

ドナルドソンは1983年にオックスフォード大学で博士号を取得した後、オックスフォード大学オールソウルズカレッジのジュニア研究員に任命されました。1983年から1984年までプリンストン高等研究所で研究し、 1985年にオックスフォードに戻り、ウォリス数学教授に就任しました。スタンフォード大学で1年間過ごした後、^{[4] 1998年に}インペリアルカレッジロンドンの純粋数学教授に就任しました。 ^[5]

2014年、彼はアメリカ合衆国ニューヨーク州ストーニーブルック大学のシモンズ幾何学物理学センターに加わった。 ^[1]

ドナルドソンは1983年に国際数学者会議（ICM）の招待講演者であり、 ^{[6] 1986年、 [7]} 1998年、^[8] 2018年にはICMの基調講演者を務めた。 ^[9]

ドナルドソンは1985年にロンドン数学会よりジュニア・ホワイトヘッド賞を受賞した。1994年にはクラフォード数学賞を受賞した。2006年2月には、物理​​学に関連した純粋数学理論の研究により、原子核レベル以下の物質の法則の理解に貢献したことで、キング・ファイサル国際科学賞を受賞した。2008年4月には、ノースウェスタン大学より数学賞であるネマーズ数学賞を受賞した。

2009年、彼は3次元と4次元の幾何学への貢献により、クリフォード・タウブスと共同でショー数学賞を受賞した。 ^[10]

2014年、彼は「4次元多様体の新しい革命的な不変量と、束とファノ多様体の両方に対する代数幾何学と大域微分幾何学における安定性の関係の研究」により数学のブレークスルー賞を受賞した。^[11]

2019年1月、彼は幾何学におけるオズワルド・ヴェブレン賞を（陳秀雄、孫宋と共同で）受賞した。^{[12] 2020年には}数学におけるウルフ賞を（ヤコフ・エリアシュベリと共同で）受賞した。^[13]

1986年、彼は王立協会のフェローに選出され、バークレーで開催された国際数学者会議（ICM）でフィールズ賞を受賞した。2010年、ドナルドソンはスウェーデン王立科学アカデミーの外国人会員に選出された。^[14]

彼は数学への貢献により2012年の新年叙勲でナイトに叙せられた。 ^{[15] 2012年に}アメリカ数学会の会員になった。^[16]

2014 年 3 月、グルノーブルのジョゼフ・フーリエ大学から「名誉博士」の学位を授与されました。 2017年1月、スペインのマドリード・コンプルテンセ大学から「ドクター・オノリス・カウサ」の学位を授与された。^[17]

ドナルドソンの研究は、数学的解析（特に楕円偏微分方程式の解析）を幾何学の問題に応用することに関するものです。問題は主にゲージ理論、4次元多様体、複素微分幾何学、シンプレクティック幾何学に関係しています。以下の定理が言及されています：^{[誰が言及したか？ ]}

• 対角化可能性定理 (Donaldson 1983a、1983b、1987a):滑らかで閉じた単連結な4 次元多様体の交差形式が正定値または負定値である場合、整数上で対角化可能です。この結果は、ドナルドソンの定理と呼ばれることもあります。
• 単連結な 4 次元多様体間の滑らかなh-コボルディズムは必ずしも自明である必要はありません (Donaldson 1987b)。これは高次元での状況とは対照的です。
• 非特異射影代数多様体上の安定な正則ベクトル束はエルミート-アインシュタイン計量（ドナルドソン1987c）を許容し、これは帰納的証明と行列式束とクィレン計量の理論を用いて証明される。^[18]
• 非特異な射影代数面は、そのうちの 1 つが負定値交差形式を持つ場合にのみ、2 つの有向 4 次元多様体の連結和に微分同相になることができます (Donaldson 1990)。これは、ドナルドソン不変量(またはインスタントン不変量) の初期の応用でした。
• 任意のコンパクトなシンプレクティック多様体は、シンプレクティックレフシェッツ ペンシルを許容します(Donaldson 1999)。

ドナルドソンの最近の研究は、複素微分幾何学における、滑らかな射影多様体の代数幾何学的「安定性」条件と「極限的」ケーラー計量（典型的には定スカラー曲率を持つもの（例えばcscK 計量を参照））の存在との間の推測関係に関する問題に集中している。ドナルドソンは、この問題のトーリックケースで結果を得た（例えば Donaldson (2001) を参照）。その後、 2012 年にチェンおよびサンと共同で、この問題のケーラー・アインシュタインケースを解決した。この最新の素晴らしい成果には、多くの難解で技術的な論文が関わった。その最初のものは、ドナルドソンとサン（2014 年）によるグロモフ・ハウスドルフ極限に関する論文である。ケーラー・アインシュタイン計量の存在証明の要約は、チェン、ドナルドソン、サン（2014 年）に掲載されている。証明の詳細は、チェン、ドナルドソン、サン（2015a、2015b、2015c）に掲載されている。

2019年、ドナルドソンは、長年にわたり存在していたファノ多様体に関する予想を証明したことで、シウシオン・チェン、ソン・スンとともにオズワルド・ヴェブレン幾何学賞を受賞した。その予想は、「ファノ多様体は、K安定である場合にのみケーラー・アインシュタイン計量を許容する」というものである。これは、1980年代にシン・トン・ヤウがカラビ予想を証明した後に提案して以来、幾何学で最も活発に研究されているトピックの1つであった。これは後にガン・ティエンとドナルドソンによって一般化された。チェン、ドナルドソン、サンによる解決は、 2015年にアメリカ数学会誌に「ファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量、I、II、III」という3部作として発表された。^[12]

• ドナルドソン、サイモンK. (1983a)。「ゲージ理論の 4 次元トポロジーへの応用」。J . Differential Geom. 18 (2): 279–315。doi : 10.4310/ jdg /1214437665。MR  0710056 。
• ——— (1983b). 「自己双対接続と滑らかな4次元多様体のトポロジー」. Bull. Amer. Math. Soc. 8 (1): 81–83. doi : 10.1090/S0273-0979-1983-15090-5 . MR  0682827.
• ——— (1984b). 「インスタントンと幾何学的不変理論」. Comm. Math. Phys . 93 (4): 453–460. Bibcode :1984CMaPh..93..453D. doi :10.1007/BF01212289. MR  0892034. S2CID  120209762.
• ——— (1987a). 「ヤン・ミルズ・モジュライ空間の方向と4次元多様体トポロジー」J. Differential Geom. 26 (3): 397–428. doi : 10.4310/jdg/1214441485 . MR  0910015.
• ——— (1987b). 「非合理性とh-コボルディズム予想」J. Differential Geom . 26 (1): 141–168. doi : 10.4310/jdg/1214441179 . MR  0892034.
• ——— (1987c). 「無限行列式、安定バンドル、曲率」Duke Math. J. 54 (1): 231–247. doi :10.1215/S0012-7094-87-05414-7. MR  0885784.
• ——— (1990). 「滑らかな4次元多様体の多項式不変量」.トポロジー. 29 (3): 257–315. doi :10.1016/0040-9383(90)90001-Z. MR  1066174.
• ——— (1999). 「シンプレクティック多様体上のレフシェッツペンシル」J. Differential Geom. 53 (2): 205–236. doi : 10.4310/jdg/1214425535 . MR  1802722.
• ——— (2001). 「スカラー曲率と射影的埋め込み。I」。J . Differential Geom. 59 (3): 479–522. doi : 10.4310/jdg/1090349449 . MR  1916953.
• ———; Sun, Song (2014). 「ケーラー多様体のグロモフ-ハウスドルフ限界と代数幾何学」. Acta Math. 213 (1): 63–106. arXiv : 1206.2609 . doi :10.1007/s11511-014-0116-3. MR  3261011. S2CID  120450769.
• Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Sun, Song (2014). 「ケーラー・アインシュタインの計量と安定性」. Int. Math. Res. Notices . 2014 (8): 2119–2125. arXiv : 1210.7494 . doi :10.1093/imrn/rns279. MR  3194014. S2CID  119165036.
• Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Sun, Song (2015a). 「Fano 多様体上のケーラー・アインシュタイン計量 I: 円錐特異点を持つ計量の近似」. J. Amer. Math. Soc. 28 (1): 183–197. arXiv : 1211.4566 . doi :10.1090/S0894-0347-2014-00799-2. MR  3264766. S2CID  119641827.
• Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Sun, Song (2015b). 「Fano 多様体上のケーラー・アインシュタイン計量 II: 円錐角が 2π 未満の限界」. J. Amer. Math. Soc. 28 (1): 199–234. arXiv : 1212.4714 . doi :10.1090/S0894-0347-2014-00800-6. MR  3264767. S2CID  119140033.
• Chen, Xiuxiong; Donaldson, Simon; Sun, Song (2015c). 「ファノ多様体上のケーラー・アインシュタイン計量 III: 円錐角が 2π に近づくときの限界と主な証明の完了」. J. Amer. Math. Soc. 28 (1): 235–278. arXiv : 1302.0282 . doi :10.1090/S0894-0347-2014-00801-8. MR  3264768. S2CID  119575364.

書籍

• ドナルドソン、SK;クロンハイマー、PB (1990)。4次元多様体の幾何学。オックスフォード数学モノグラフ。ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。ISBN 0-19-853553-8. MR  1079726。^[19]
• ドナルドソン、SK (2002)。ヤン＝ミルズ理論におけるフローアーホモロジー群。ケンブリッジ数学論文集。第147巻。ケンブリッジ：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-80803-0。
• ドナルドソン、サイモン (2011)。リーマン面。オックスフォード数学大学院テキスト。第22巻。オックスフォード：オックスフォード大学出版局。doi : 10.1093 /acprof:oso/9780198526391.001.0001。ISBN 978-0-19-960674-0MR  2856237 。^[20]

Wikiquoteにサイモン・ドナルドソンに関する引用があります。

• オコナー、ジョン J.、ロバートソン、エドマンド F.、「サイモン ドナルドソン」、マクチューター数学史アーカイブ、セントアンドリュース大学
• 数学系譜プロジェクトのサイモン・ドナルドソン
• インペリアル カレッジのホームページ
• 「ケーラー幾何学と例外ホロノミーの最近の進展 – サイモン・ドナルドソン – ICM2018」。YouTube 。 2018年9月19日。（全体講演１）