定スカラー曲率ケーラー計量

微分幾何学において、定スカラー曲率ケーラー計量（cscK 計量）は、スカラー曲率が一定である複素多様体上のケーラー計量である。特殊なケースはケーラー・アインシュタイン計量であり、より一般的なケースは極値ケーラー計量である。

Donaldson (2002)、Tian ^{[引用が必要]}、および Yau ^{[引用が必要]} は、分極射影多様体上の cscK 計量の存在は、分極多様体がK 多様体であることと同値であると予想しました。この分野の最近の進歩は、正しい同値性は分極多様体が一様にK 多様体であることである可能性があることを示唆しています。^{[引用が必要]分極が (反) 標準線束によって与えられる場合 (つまり、ファノ多様体または}カラビ-ヤウ多様体の場合)、K 安定性と K 多様体の概念は一致し、cscK 計量はまさにケーラー-アインシュタイン計量であり、Yau-Tian-Donaldson 予想が成り立つことが知られています。^{[引用が必要]}

定スカラー曲率ケーラー計量は、ケーラー多様体上のより一般的な標準計量の概念である極限ケーラー計量の具体例である。極限計量は、その名前が示すように、ケーラー計量の空間上の特定の関数、カラビによって導入されたカラビ関数を極値化する。^{[1] [2]}

カラビ汎関数は、コンパクトケーラー多様体上の特定のケーラー・ド・ラームコホモロジー類におけるケーラーポテンシャルの空間上で定義される汎関数である。すなわち、 をコンパクトケーラー多様体 上のケーラー類とし、 をこの類の任意のケーラー計量とし、 はポテンシャル によってと異なるものとする。カラビ汎関数は次のように定義される。 ${\displaystyle [\omega ]\in H_{\text{dR}}^{2}(X)}$${\displaystyle (X,\omega )}$${\displaystyle \omega _{\varphi }=\omega +i\partial {\bar {\partial }}\varphi }$${\displaystyle \omega}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle C}$

${\displaystyle C(\omega _{\varphi })=\int _{X}S(\omega _{\varphi })^{2}\omega _{\varphi }^{n}}$

ここで、 は、およびに関連付けられたリーマン計量のスカラー曲率です。 この関数は、本質的には、ケーラークラス のケーラー計量のスカラー曲率のノルムの 2 乗です。 この関数のフロー、つまりカラビフローを理解することは、標準的なケーラー計量の存在を理解する上で重要な目標です。 ${\displaystyle S(\omega _{\varphi })}$${\displaystyle \omega _{\varphi }}$${\displaystyle \dim X=n}$${\displaystyle [\omega ]}$

定義により、極限ケーラー計量は、カラビ汎関数の臨界点です。 ^[1]局所的または大域的最小化のいずれかです。この意味で、極限ケーラー計量は、任意のコンパクトなケーラー多様体上のケーラー計量の最良または標準的な選択と見なすことができます。

定スカラー曲率ケーラー計量は、カラビ関数の絶対最小化である極限ケーラー計量の例です。この意味で、カラビ関数はヤン・ミルズ関数に似ており、極限計量はヤン・ミルズ接続に似ています。定スカラー曲率計量の役割は、ヤン・ミルズ関数、反自己双対接続、またはエルミートヤン・ミルズ接続の特定の絶対最小化によって果たされます。

状況によっては、コンパクトなケーラー多様体上に定スカラー曲率ケーラー計量が存在しないかもしれないが、極限計量は依然として存在する可能性がある。例えば、いくつかの多様体は極限ケーラー計量の例であるケーラー・リッチソリトンを許容し、表面の場合は明示的な極限計量を構築することができる。^[3]

カラビ関数の絶対最小化、すなわち定スカラー曲率計量は、別の関数であるマブチ関数の臨界点として特徴付けることもできます。定スカラー曲率計量に関するこの別の変分的観点は、ケーラー計量の空間上の モーメント写像との関係により、カラビ関数よりも形式的な特性が優れています。

カラビ関数の臨界点を、いわゆる正則ポテンシャルの観点から特徴付ける別の方法がある。^{[2] [4]}正則ポテンシャルは、ハミルトンフローがケーラー多様体の自己同型を生成する、コンパクトなケーラー多様体上の特定の滑らかな関数である。言い換えれば、その勾配ベクトル場は正則である。

正則ポテンシャルは複素数値関数であり、によって定義されるベクトル場は正則ベクトル場であり、 はケーラー形式に関連付けられたリーマン計量であり、ここでの総和はアインシュタインの総和記法で取られます。 によって表される正則ポテンシャルのベクトル空間は、ケーラー多様体 の自己同型群のリー代数と同一視できます。 ${\displaystyle f:X\to \mathbb {C} }$${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \xi^{j}=g^{j{\bar{k}}}\partial_{\bar{k}}f}$${\displaystyle g}$${\displaystyle {\mathfrak {h}}}$${\displaystyle (X,\omega )}$

ケーラー計量は極限的であり、スカラー曲率が正則ポテンシャルである場合に限り、カラビ関数の最小化子となります。スカラー曲率が一定でcscK である場合、関連する正則ポテンシャルは定数関数であり、誘導された正則ベクトル場はゼロベクトル場です。特に、非ゼロ正則ベクトル場を許容しないケーラー多様体では、唯一の正則ポテンシャルは定数関数であり、すべての極限計量は定数スカラー曲率ケーラー計量です。 ${\displaystyle \omega}$${\displaystyle S(\omega )}$${\displaystyle \omega}$

定曲率計量の存在は、正則ベクトル場から生じる障害と密接に関連しており、二木不変量とK 安定性につながります。この理論は、ケーラー・アインシュタイン計量の特定のケースについてよく研究されています。

• マブチ機能
• ケーラー・アインシュタイン計量

• Biquard、Olivier (2006)、「Métriques kählériennes à courbure scalaire constante: unicité, stabilité」、Astérisque、Séminaire Bourbaki。 Vol. 2004/2005年Exp. No. 938 (307): 1–31、ISSN  0303-1179、MR  2296414
• ドナルドソン、SK (2001)、「スカラー曲率と射影埋め込み。I」、微分幾何学ジャーナル、59 (3): 479–522、ISSN  0022-040X、MR  1916953
• ドナルドソン、SK（2002）、「スカラー曲率とトーリック多様体の安定性」、微分幾何学ジャーナル、62（2）：289–349、ISSN  0022-040X、MR  1988506