明確な記述

形式意味論および言語哲学において、確定記述とは、「X」という形式の指示句であり、Xは名詞句または単数普通名詞である。Xが唯一の個人または対象に適用される場合、確定記述は適切である。例えば、「宇宙に行った最初の人」と「アメリカ合衆国第42代大統領」は適切である。「宇宙にいる人」と「オハイオ州出身の男」という確定記述は、名詞句Xが複数のものに適用されるため不適切であり、「火星に行った最初の人」と「木星から来た男」という確定記述は、Xが何も適用されないため不適切である。不適切な記述は、排中律、指示、様相、および心的内容に関するいくつかの難しい問題を提起する。

フランスは現在共和国であるため、国王は存在しない。バートランド・ラッセルは、このことから「現在のフランス国王は禿げている」という文の真偽値について疑問が生じると指摘した。^{[ 1 ]}

この文は真ではないように思われる。なぜなら、もし私たちがすべての禿げたものを考慮に入れるならば、現在のフランス国王はその中に含まれないからである。なぜなら、現在のフランス国王は存在しないからである。しかし、もしこれが偽であるならば、この文の否定、すなわち「現在のフランス国王が禿げているということはない」、あるいはその論理的同値である「現在のフランス国王は禿げていない」は真であると予想されるだろう。しかし、この文も真ではないように思われる。現在のフランス国王は、禿げていないものの中にも、禿げているものの中にも含まれないからである。したがって、排中律に違反しているように思われる。

では、それは無意味なのでしょうか？「現在のフランス国王」という文は確かに指示対象を示さないので、そう考える人もいるかもしれません（実際、そう考える哲学者もいます）。しかし一方で、「現在のフランス国王は禿げている」（そしてその否定形も）という文は完全に理解できるものであり、「現在のフランス国王」という文が無意味であるはずがないことを示唆しています。

ラッセルはこの難問を、自身の記述理論によって解決しようと提案した。彼によれば、「現在のフランス国王」のような明確な記述は、私たちが素朴に考えるような指示表現ではなく、むしろそれが現れる文に数量構造を導入する「不完全な記号」である。例えば、「現在のフランス国王は禿げている」という文は、次の3つの数量化された文の連言として分析される。

1. あるxが存在し、xは現在フランス国王である。${\displaystyle \exists xKx}$（「xは現在フランス国王である」という意味で「Kx」を使用）
2. 任意の x と y について、x が現在フランス国王であり、y が現在フランス国王である場合、x=y となる（つまり、現在フランス国王であるものは最大で 1 つしかない）。${\displaystyle \forall x\forall y((Kx\land Ky)\rightarrow x=y)}$
3. 現在フランス国王である人物xは、全員ハゲである。${\displaystyle \forall x(Kx\rightarrow Bx)}$（「B」は「禿げた」の略）

より簡潔に言うと、「現在のフランス国王は禿げている」という主張は、あるxが存在し、xは現在フランス国王であり、任意のyは現在フランス国王であるのはy = xの場合のみであり、かつxは禿げている、ということを意味する。

${\displaystyle \exists x((Kx\land \forall y(Ky\rightarrow y=x))\land Bx)}$

これは誤りです。なぜなら、xという人物が現在フランス国王であるという事実はないからです。

この文の否定、つまり「現在のフランス国王は禿げていない」は曖昧です。否定語「not」をどこに置くかによって、2つの意味に解釈できます。ある解釈では、現在フランス国王で禿げている人物はいないという意味になります。

${\displaystyle \lnot \exists x((Kx\land \forall y(Ky\rightarrow y=x))\land Bx)}$

この曖昧さ解消法に基づけば、この文は正しい（なぜなら、現在フランス国王であるxは実際には存在しないからである）。

別の解釈では、否定は「禿げている」に直接付加されていると解釈でき、つまり、この文は現在フランス国王が存在するが、その国王は禿げていない、という意味になる。

${\displaystyle \exists x((Kx\land \forall y(Ky\rightarrow y=x))\land \lnot Bx)}$

この曖昧さ解消法によれば、この文は誤りである（現在フランス国王であるxは存在しないため）。

したがって、「現在のフランス国王は禿げていない」という命題が真か偽かは、論理形式のレベルでどのように解釈されるかによって決まる。否定が広い範囲を包含するものと解釈される場合（上記の最初の例のように）、それは真であり、否定が狭い範囲を包含するものと解釈される場合（上記2番目の例のように）、それは偽である。どちらの場合も、真偽値は存在しないわけではない。

したがって、排中律の失敗はありません。「現在のフランス国王は禿げている」（つまり${\displaystyle \exists x((Kx\land \forall y(Ky\rightarrow y=x))\land Bx)}$）は誤りです。なぜなら、現在フランスには国王が存在しないからです。

この文の否定は、「～ではない」が広い範囲を指す場合である。${\displaystyle \lnot \exists x((Kx\land \forall y(Ky\rightarrow y=x))\land Bx)}$この記述は正しい。なぜなら、現在フランス国王というものは存在しないからである。

スティーブン・ニール^{[ 2 ]}は、ラッセルの理論を擁護し、それを一般化量化子の理論に組み込んだ。この見解では、「the」は「some」、「every」、「most」などと同様の量化限定詞である。限定詞「the」は、ラムダ表記を用いて以下の意味を持つ。

${\displaystyle \lambda f.\lambda g.\exists x(f(x)=1\land \forall y(f(y)=1\rightarrow y=x)\land g(x)=1)}$

（つまり、定冠詞「the」は、性質fとgのペアを真とするのは、性質 f を持つものが存在し、性質fを持つものがただ 1 つだけ存在し、かつそのものが性質 g も持つ場合に限る関数を表す。）述語「現在のフランス国王」（略してK）と「禿げている」（略してB）の指示が与えられた場合、

${\displaystyle \lambda x.Kx}$

${\displaystyle \lambda x.Bx}$

次に、関数適用の 2 つのステップによってラッセルの真理条件が得られます。「現在のフランス国王は禿げている」は、次の場合に限り真です。${\displaystyle \exists x((Kx\land \forall y(Ky\rightarrow y=x))\land Bx)}$この見解では、「現在のフランス国王」のような明確な記述には指示対象がある（具体的には、明確な記述は性質から真理値への関数を指示する。その意味で、それらは同範疇的、つまり「不完全な記号」ではない）。しかし、この見解はラッセル分析の本質を保持しており、ラッセルが主張した真理条件を正確に導き出す。

フレーゲの著作に暗黙のうちに含まれ、後にストローソン^{[ 3 ]}らによって擁護された、確定記述のフレーゲ的分析は、ラッセル理論に対する主要な代替案である。フレーゲ的分析では、確定記述は量化表現ではなく指示表現として解釈される。存在と一意性は、確定記述を含む文の前提として理解され、そのような文によって主張される内容の一部ではない。例えば、「現在のフランス国王は禿げている」という文は、禿げている唯一の現在のフランス国王が存在すると主張するために用いられるのではなく、唯一の現在のフランス国王が存在することはこの文の前提の一部であり、この文が述べているのはこの人物が禿げているということである。前提が成り立たない場合、確定記述は指示できず、文全体として命題を表現できなくなる。

フレーゲの見解は、ラッセルの分析が回避しようとしている真理値のギャップ（および排中律の不成立）に陥っている。現在フランス国王は存在しないため、「現在のフランス国王は禿げている」という文は命題を表現できず、したがって真理値を持たない。その否定である「現在のフランス国王は禿げていない」も同様である。フレーゲは、これらの文がそれでも意味を持つという事実を、どちらの文も真の命題を表現するために使用できる条件を話し手が知っていることに依拠することで説明する。フレーゲはまた、排中律の限定版を保持することもできる。すなわち、前提が満たされている（したがって命題を表現している）文については、その文またはその否定のいずれかが真である。

フレーゲの見解では、定冠詞「the」は（ラムダ記号を用いて）以下の意味を持つ。

${\displaystyle \lambda f:\exists x(f(x)=1\land \forall y(f(y)=1\rightarrow y=x)).}$[一意のzで、${\displaystyle f(z)=1}$]

（つまり、「the」は、プロパティfを受け取り、プロパティfを持つ唯一のオブジェクトzを返す関数を表します。ただし、そのようなzが存在する場合に限ります。それ以外の場合は定義されません。）存在条件と一意性条件の前提的性質は、定冠詞がプロパティの集合上の部分関数を表すという事実に反映されています。定冠詞は、ちょうど 1 つのオブジェクトにのみ真であるプロパティfに対してのみ定義されます。したがって、「現在フランス国王である」というプロパティはどのオブジェクトにも真ではないため、述語「現在フランス国王である」の指示対象では定義されません。同様に、「アメリカ合衆国上院議員である」というプロパティは複数のオブジェクトに真であるため、述語「アメリカ合衆国上院議員である」の指示対象でも定義されません。

『プリンキピア・マテマティカ』の例に倣い、ギリシャ語の小文字イオタ「℩」を用いて表される明確な記述演算子を用いるのが慣例となっている。表記℩${\displaystyle x(\phi x)}$「ユニークな」とは${\displaystyle x}$そのため${\displaystyle \phi x}$"、 そして

${\displaystyle \psi (}$℩${\displaystyle x(\phi x))}$

「ちょうど1つあります」と同等です${\displaystyle \phi }$そしてそれはその特性を持っている ${\displaystyle \psi }$":

${\displaystyle \exists x(\forall y(\phi (y)\iff y=x)\land \psi (x))}$

• ランバートの法則（論理学）
• 言語哲学
• ジョン・サール
• 空虚な真実

• ドネラン、キース、「指示と確定記述」、Philosophical Review 75 (1966): 281–304。
• ニール、スティーブン、『記述』、MIT出版、1990年。
• オスタータグ、ゲイリー（編）（1998）確定記述：読本 ブラッドフォード、MIT出版。（ドネラン（1966）、ニール（1990）第3章、ラッセル（1905）、ストローソン（1950）を含む。）
• ライマー、マルガ、ベズイデンハウト、アンネ（編）（2004）『記述とその先』クラレンドン・プレス、オックスフォード
• ラッセル、バートランド、「指示について」、『マインド』 14 (1905): 479–493。オンラインテキスト。
• ストローソン、PF、「参照について」、Mind 59 (1950): 320–344。

• ザルタ、エドワード・N. （編）。「記述」。スタンフォード哲学百科事典。ISSN 1095-5054。OCLC 429049174。