S (集合論)

S は、ジョージ・ブーロスが1989 年の論文「Iteration Again」で発表した公理的集合論である。 S は一階の理論であり、オントロジーに集合だけでなく「段階」 も含まれるため、2 ソートされている。ブーロスは、自身の「集合の反復概念」と関連する反復階層の理解を具体化するためにS を設計した。Sには、外延公理と選択公理を除くツェルメロ集合論Zのすべての公理がSの定理またはそのわずかな修正 であるという重要な特性がある。

数学的、抽象的、または具体的なオブジェクトをグループ化したものは、どのような形式であれ、コレクションと呼ばれ、他の集合論でクラスと呼ばれるものの同義語です。コレクションを構成するものは、要素またはメンバーと呼ばれます。コレクションの一般的な例は、一階述語理論の議論領域です。

すべての集合は集合ですが、集合ではない集合もあります。集合ではない集合の同義語は、真クラスです。公理的集合論の重要なタスクは、集合と真クラスを区別することです。これは、数学が集合に基づいており、真クラスが純粋に記述的な役割に限定されているからです。

フォン・ノイマン宇宙は、集合の宇宙を一連の「段階」に階層化することで「集合の反復概念」を実装します。特定の段階の集合は、すべてのより高い段階で形成される集合の可能なメンバーです。段階の概念は次のとおりです。各段階には序数が割り当てられます。最下位の段階である段階 0 は、メンバーを持たないすべてのエンティティで構成されます。段階 0 の唯一のエンティティは空集合であると想定しますが、この段階には、許可することを選択したすべての未要素が含まれます。段階n、n >0 は、 n未満の番号を持つ任意の段階で見つかる要素から形成されるすべての可能な集合で構成されます。段階nで形成されるすべての集合は、nより大きいすべての段階でも形成されます。^[1]

したがって、段階は入れ子になった整然としたシーケンスを形成し、集合のメンバーシップが推移的であれば階層を形成することになります。その歴史的起源の理解は不完全であるにもかかわらず、反復的な概念は徐々に受け入れられるようになりました。

集合の反復概念は、ラッセル、ブラーリ＝フォルティ、カントールのよく知られたパラドックスを、十分に根拠のある方法で回避します。これらのパラドックスはすべて、素朴集合論の理解の原理を無制限に使用することから生じます。「すべての集合のクラス」や「すべての順序数のクラス」などのコレクションには、反復階層のすべての段階の集合が含まれます。したがって、このようなコレクションは、特定の段階で形成することはできず、したがって、集合にはなりません。

このセクションはBoolos (1998: 91)に従います。変数xとy は集合の範囲を持ち、r、s、t は段階の範囲を持ちます。基本的な2項述語は3つあります。

• 集合対集合: x ∈ yは、通常どおり、集合xが集合yのメンバーであることを示します。
• 集合段階: Fxrは集合xが段階rで「形成される」ことを示します。
• ステージ間: r < sは、ステージr がステージsより「早い」ことを示します。

以下の公理には、定義された 2 項集合段階述語Bxrが含まれており、これは次の略語になります。

${\displaystyle \exists s[s<r\land Fxs].}$

Bxr は「セットxはステージrの前に形成される」と読みます。

'=' で示される恒等式は、他の集合論で果たす役割をSでは果たさず、Boolos は背景論理に恒等式が含まれているかどうかを十分に明示していない。Sには外延性公理がなく、その他のS公理には恒等式がない。恒等式は、S+ をSと区別する公理スキームに^[2]、およびSにおけるZのペアリング公理、空集合公理、無限大公理の導出に現れる。^[3]

以下に示す記号公理は Boolos (1998: 91) からのもので、集合とステージの動作と相互作用を制御します。公理の自然言語バージョンは、直感を助けることを目的としています。

公理は 3 つのグループに分かれています。最初のグループは、ステージとステージ間の関係 '<' のみに関連する公理で構成されています。

トラ：${\displaystyle \forall r\forall s\forall t[r<s\land s<t\rightarrow r<t]\,.}$

「以前」は他動詞です。

ネット:${\displaystyle \forall s\forall t\exists r[t<r\land s<r]\,.}$

ネットの結果として、すべての段階は何らかの段階よりも前になります。

情報:${\displaystyle \exists r\exists u[u<r\land \forall t[t<r\rightarrow \exists s[t<s\land s<r]]]\,.}$

Infの唯一の目的は、 Sで他の集合論の 無限公理を導出できるようにすることです。

2 番目で最後の公理のグループには、集合と段階の両方と、「<」以外の述語が含まれます。

全て：${\displaystyle \forall x\exists rFxr\,.}$

すべてのセットは階層内のどこかの段階で形成されます。

いつ：${\displaystyle \forall r\forall x[Fxr\leftrightarrow [\forall y(y\in x\rightarrow Byr)\land \lnot Bxr]]\,.}$

集合がある段階で形成されるのは、そのメンバーがそれより前の段階で形成されている 場合のみです。

A ( y ) を、 yは自由だがxは自由でないSの式とします。このとき、次の公理スキームが成り立ちます。

仕様:${\displaystyle \exists r\forall y[A(y)\rightarrow Byr]\rightarrow \exists x\forall y[y\in x\leftrightarrow A(y)]\,.}$

A ( y ) を満たすすべての集合がrより前の段階で形成されるような段階r が存在する場合、 A ( y )を満たす集合をメンバーとする集合x が存在する。 SにおけるSpecの役割は、 Zの仕様の公理スキーマの役割に類似している。

Boolos は、Zermelo 集合論から外延性を除いたものをZ-と名付けました。Boolos は、選択公理を除くZ-のすべての公理をSで導きました。^{[4]この演習の目的は、従来の集合論の大部分が、} Sに具体化されていると想定される集合の反復概念からどのように導き出されるかを示すことでした。外延性は反復概念から導かれるものではないため、 Sの定理ではありません。ただし、Sに矛盾がない 場合、 S + 外延性は矛盾がありません。

Boolosはその後Specを変更してSの変種S+を得た。彼はこれをS+と呼び、置換公理スキームがS+  + Extensionalityで導出可能となるようにした。したがってS+ + ExtensionalityはZFの威力を持つ。Boolosはまた、選択公理は反復概念からは導かれないと主張したが、Sに何らかの方法でChoiceを追加できるかどうかについては言及しなかった。^[5]したがってS+ + Extensionalityは、証明にChoiceを必要とする従来の集合論ZFCの定理を証明することはできない。

Infはω段階の存在と 有限nに対するω+ nの存在を保証するが、ω+ω段階の存在は保証しない。それでも、Sはカントールの楽園を十分に生み出し、現代数学のほぼすべてを基礎づけている。^[6]

ブーロスは、S をフレーゲの基本法則の変種とかなり詳しく比較している。基本法則では、ヒュームの原理が公理としてとらえられ、フレーゲの基本法則 V に取って代わっている。基本法則は、フレーゲの体系を矛盾させる無制限の理解公理である。ラッセルのパラドックスを参照。

• ブーロス、ジョージ（1989）、「反復再び」、哲学トピック、17（2）：5–21、doi：10.5840/philtopics19891721、JSTOR  43154050. 転載元: Boolos, George (1998)、Logic, Logic, and Logic、ハーバード大学出版局、pp. 88–104、ISBN 9780674537675。
• ポッター、マイケル（2004）、集合論とその哲学、オックスフォード大学出版局、ISBN 9780199269730。