階層（数学）

数学において、階層とは集合論的なオブジェクトであり、集合上で定義された順序で構成されます。これはしばしば順序付き集合と呼ばれますが、これは多くの著者が部分的に順序付けられた集合または完全に順序付けられた集合のために留保しているあいまいな用語です。順序付き集合という用語はあいまいさがなく、常に数学的な階層と同義です。階層という用語は、要素間の 階層関係を強調するために使用されます。

集合には自然な階層構造が備わっていることがあります。たとえば、自然数 集合Nには自然な順序構造が備わっており、 となる他の数を見つけることができるときはいつでも となります。つまり、 はより大きくなります。これは、を使って に到達できるためです。この考え方は、任意の可換モノイドに適用できます。一方、整数集合Zの階層構造については、より洗練された議論が必要です。なぜなら、と書くことで常に方程式を解くことができるからです。^[要出典]${\displaystyle n\leq n'}$${\displaystyle m}$${\displaystyle n+m=n'}$${\displaystyle n'}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n'}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle m}$${\displaystyle n+m=n'}$${\displaystyle m=(n'-n)}$

数学的階層（順序付けされた集合）は、社会の領域における階層というより一般的な概念と混同すべきではありません。特に、現実世界の社会、経済、政治システムを記述するために使用される計算モデルを構築する場合はそうです。これらの階層、つまり複雑なネットワークは、集合の集合というカテゴリ で記述するにはあまりにも複雑すぎます。 ^[1]これは単なる衒学的主張ではありません。一般的な意味での数学的な階層も、集合論では記述できないのです。^[要出典]

その他の自然な階層はコンピュータ サイエンスで発生します。ここでの「自然な階層」とは、複雑性が増すオブジェクトのクラスを要素とする部分的に順序付けられた集合を指します。その場合、階層を定義する事前順序はクラス包含関係です。したがって、包含階層は階層の特殊なケースです。

階層の個々の要素はレベルと呼ばれることが多く、階層に無限の数の異なるレベルがある場合は無限階層であると言われ、有限の数の異なるレベルしかない場合は階層が崩壊していると言われます。

理論計算機科学において、時間階層とは、意思決定問題をその解決に必要な時間に応じて 分類することです。