ランシネーテッド テッセラクト

4次元幾何学において、ランシネートされた四次元方陣（またはランシネートされた16セル）は、凸一様4次元多面体であり、正四次元方陣のランシネーション（3次の切断）です。

四次元方陣のランシネーションには、順列、切り捨て、カンテレーションを含む 4 つのバリエーションがあります。

ランシネーテッド テッセラクトまたは(小型の) ディスプリズマトテッセラクトヘキサデカコロンは、16 個の四面体、32 個の立方体、および 32 個の三角柱で構成されます。各頂点は、4 個の立方体、3 個の三角柱、および 1 個の四面体によって共有されます。

ランシネーテッド テッセラクトは、テッセラクトセルを放射状に拡張し、隙間を四面体 (頂点図形)、立方体 (面柱)、三角柱 (辺図形柱) で埋めることによって構築できます。同じプロセスを16 セルに適用しても同じ図形が得られます。

辺の長さが 2 であるランシネーテッド テッセラクト頂点の直交座標はすべて次の順列です。

${\displaystyle \left(\pm 1,\ \pm 1,\ \pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}})\right)}$

立方体セルのうち 8 つは、6 つの正方形面すべてを介して他の 24 個の立方体セルに接続されています。他の 24 個の立方体セルは、向かい合う 2 つの正方形面のみを介して前の 8 個のセルに接続されています。残りの 4 つの面は三角柱に接続されています。三角柱は、その三角形の面を介して四面体に接続されています。

ランシネーテッド テッセラクト (四角錐) は、2 つの立方体のキューポラと、その間にある菱形 3 面体8 面体の柱に分割できます。この分割は、3D菱形 3 面体が2 つの正方形のキューポラと中央の8 角柱に分割されるのと類似しています。

ランシネーテッド テッセラクト(四面体) を 3 次元空間に立方体から正投影すると、(小さな)菱形立方八面体のエンベロープが形成されます。セルのイメージは、このエンベロープ内に次のように配置されます。

• 4D 視点から最も近い立方体と最も遠い立方体は、エンベロープの中央の立方体の体積に投影されます。
• 6 つの直方体の体積が、この中央の立方体を菱形八面体の 6 つの軸方向の正方形面に接続します。これらは、12 個の立方体セルのイメージです (立方体の各ペアはイメージを共有します)。
• エンベロープの 18 個の正方形の面は、他の立方体セルのイメージです。
• 中央の立方体の端とエンベロープの非軸正方形面を接続する 12 個のくさび形のボリュームは、24 個の三角柱の画像です (画像ごとに 1 組のセル)。
• 封筒の 8 つの三角形の面は、残りの 8 つの三角柱のイメージです。
• 最後に、中央の立方体の頂点とエンベロープの三角形の面を接続する 8 つの四面体ボリュームは、16 個の四面体のイメージです (この場合も、イメージごとに 1 組のセル)。

この投影されたセルのレイアウトは、2 次元に投影された (小さな) 菱立方八面体の面のレイアウトに類似しています。菱立方八面体も、ランシネーテッド テッセラクトと同様の方法で立方体または八面体から構築されます。したがって、ランシネーテッド テッセラクトは、菱立方八面体の 4 次元版と考えることができます。

切頂四次元方陣、切頂16 セル、または角柱面凹型 16 セルは、8 つの切頂立方体、16 の立方八面体、24の八角柱、および 32 の三角柱の計80 個のセルによって囲まれています。

切頂四次元方陣は、切頂四次元方陣から、切頂立方体セルを外側に放射状に拡張し、その間に八角柱を挿入することで構築できます。このプロセスでは、四面体が拡大して立方八面体になり、残りの隙間が三角柱で埋められます。

辺の長さが 2 である切頂四次元方陣の頂点の 直交座標は、次のすべての順列によって与えられます。

${\displaystyle \left(\pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+2{\sqrt {2}})\right)}$

切り詰められた立方体の最初の平行投影である、切り詰められた四次元方陣を 3 次元空間に投影すると、投影イメージは次のようにレイアウトされます。

• 投影エンベロープは、6 つの正方形の面と 12 の長方形の面を持つ、非均一な (小さな)菱形八面体です。
• 切り取られた立方体セルのうち 2 つは、投影エンベロープの中央にある切り取られた立方体に投影されます。
• 6 つの八角柱が、この中央の切頂立方体を封筒の正方形の面に接続します。これらは、12 個の八角柱セルの画像で、各画像に 2 つのセルがあります。
• 残りの 12 個の八角柱は、エンベロープの長方形の面に投影されます。
• 封筒の 6 つの正方形の面は、残りの 6 つの切り取られた立方体セルのイメージです。
• 12 個の直角三角柱が内部の八角柱を接続します。これらは 24 個の三角柱セルのイメージです。残りの 8 個の三角柱は、エンベロープの三角形の面に投影されます。
• エンベロープの三角形の面と内側の切頂立方体の間にある残りの 8 つのボリュームは、16 個の立方八面体セルのイメージであり、各イメージにはセルのペアがあります。

128 個の青い三角形の面と 192 個の緑の四角形の面を持つ 立体投影。

ランシ切頂 16 セル、ランシカンテラテッド テッセラクト、または角柱角柱テッセラクトは、8 つの菱形立方八面体、16 の切頂四面体、24の立方体、および 32 の六角柱の計80 個のセルによって囲まれています。

切頂 16 セルは、カンテラテッド テッセラクト(四辺形) の小さな菱立方八面体セルを放射状に縮小し、その間の空間を立方体で埋めることによって構築できます。このプロセスでは、八面体セルは切頂四面体に拡大し (三角形の面の半分は、辺を引き離すことによって六角形に拡大されます)、三角柱は六角柱に拡大します (それぞれの元の 3 つの正方形の面は、以前と同様に小さな菱立方八面体に結合され、新しい 3 つの正方形の面は立方体に結合します)。

辺の長さが 2 である 16 セルの頂点は、次の直交座標のすべての順列によって与えられます。

${\displaystyle \left(\pm 1,\ \pm 1,\ \pm (1+{\sqrt {2}}),\ \pm (1+2{\sqrt {2}})\right)}$

小さな菱立方八面体セルは、6 つの軸正方形面を介して立方体セルに結合され、12 の非軸正方形面を介して六角柱に結合されます。立方体セルは、2 つの反対面を介して菱立方八面体に結合され、残りの 4 つの面を介して六角柱に結合されます。六角柱は、六角面を介して切頂四面体に接続され、それぞれ 3 つの正方形面を介して菱立方八面体に接続され、他の 3 つの正方形面を介して立方体に接続されます。切頂四面体は、三角形の面を介して菱立方八面体に結合され、六角面を介して六角柱に結合されます。

以下は、小さな菱形八面体を先頭にして平行投影された、ランシトランケーテッド 16 セルのセルのレイアウトで、3 次元空間に示します。

• 投影エンベロープは切頂立方八面体です。
• 小さな菱形八面体のうち 6 つは、このエンベロープの 6 つの八角形の面に投影され、他の 2 つは、このエンベロープの中央にある小さな菱形八面体に投影されます。
• 中央の小さな菱形八面体の軸の正方形の面を八角形の中心に接続する 6 つの直方体の体積は、12 個の立方体セルのイメージに対応します (12 個の各ペアは同じイメージを共有します)。
• 残りの 12 個の立方体セルは、大きな菱形立方八面体の外殻の 12 個の正方形の面に投影されます。
• 外皮の六角形と中央の菱形八面体の三角形の面を結ぶ 8 つの体積は、16 個の切頂四面体の像です。
• 中央の小さな菱形八面体の軸以外の正方形の面と外殻の正方形の面を結ぶ残りの 12 個の空間は、24 個の六角柱のイメージです。
• 最後に、最後の 8 つの六角柱がエンベロープの六角形の面に投影されます。

このセルの配置は、2 次元空間への投影における大菱立方八面体の面の配置に似ています。したがって、切頂 16 セルは、大菱立方八面体の 4 次元類似体の 1 つと考えることができます。もう 1 つの類似体は、全切頂四次元体です。

全切頂四面体、全切頂 16 セル、または大円錐台四面体六角柱は、 8 つの切頂立方八面体、16の切頂八面体、24 の八角柱、および 32 の六角柱の計 80 個のセルによって囲まれています。

切頂四面体を構成するには、切頂立方八面体セルを放射状にずらし、八角形の面の間に八角柱を挿入します。その結果、三角柱は六角柱に拡大し、切頂四面体は切頂八面体に拡大します。

辺の長さが 2 である全切頂四次元体の頂点の 直交座標は、次の座標と符号のすべての順列によって与えられます。

${\displaystyle \left(1,\ 1+{\sqrt {2}},\ 1+2{\sqrt {2}},\ 1+3{\sqrt {2}}\right)}$

切頂立方八面体セルは八角形の面を介して八角柱に、切頂八面体は六角形の面を介して、六角柱は四角形の面を介して結合されます。八角柱は四角形の面を介して六角柱および切頂八面体に結合され、六角柱は六角形の面を介して切頂八面体に結合されます。

配置行列で見ると、要素間のすべての発生回数が表示されます。対角のf ベクトル数は、一度に 1 つのミラーを削除してサブグループ順序の完全なグループ順序を分割するWythoff 構成によって導出されます。エッジは 4 つの対称位置にあります。正方形は 3 つの位置、六角形は 2 つの位置、八角形は 1 つの位置にあります。最後に、基本単体の 4 つの角を中心に 4 種類のセルが存在します。^[1]

全切頂四次元体を 3 次元に第 1 平行投影した切頂立方八面体では、そのセルの画像は次のように配置されます。

• 投影エンベロープは、不均一な切頂立方八面体の形状です。
• 切頂立方八面体のうち 2 つが投影エンベロープの中心に投影されます。
• 残りの 6 つの切頂立方八面体は、外被の (非正規の) 八角形の面に投影されます。これらは、八角柱セルの像である 6 つの八角柱を介して中央の切頂立方八面体に接続され、各像に 1 組ずつあります。
• 封筒の 8 つの六角形の面は、8 つの六角柱のイメージです。
• 残りの六角柱は、立方体の端がある位置にある 12 個の非正六角柱画像に投影されます。各画像は 2 つのセルに対応します。
• 最後に、投影エンベロープの六角形面と中央の切頂立方八面体の六角形面の間の 8 つのボリュームは、16 個の切頂八面体のイメージであり、各イメージに 2 つのセルがあります。

この投影におけるセルの配置は、切頂 16 セルの配置に似ており、切頂立方八面体を 2 次元に八角形を優先して投影した場合の面の配置に似ています。したがって、切頂四面体は、切頂立方八面体の 4 次元における別の類似物と考えることができます。

完全スナブ四次元方陣またはオムニスナブ四次元方陣は、オムニトランケーテッド四次元方陣の交代として定義され、均一にすることはできませんが、コクセター図を与えることができます。、対称性は[4,3,3] ^{+ で}あり、8つの立方体、16の二十面体、24の正方形反角柱、32の八面体（三角形反角柱）、および削除された頂点の隙間を埋める192の四面体で構成されています。272のセル、944の面、864の辺、192の頂点があります。^[2]

八角形から交互に長い長方形を削除して構築された、双交互スナブ16セルまたはルンシックスナブ修正16セルも均一ではありません。オムニスナブテッセラクトと同様に、8つの菱形立方八面体（ T h_対称性）、16の二十面体（T対称性）、24の長方形台形柱（位相的には立方体と同等ですが、D _2d対称性）、32の三角柱、および隙間を埋める96の三角柱（C _s対称ウェッジ）で構成された、192次の最高の対称性構成を持っています。^[3]

正二十面体と均一な三角柱を持つ変種は、2 つの辺の長さの比率が 1 : 2 で、鱗状のランシックスナブ 24 セルの頂点ファセットとして発生します。

• T. ゴセット：n 次元空間における正則図形と半正則図形について、数学のメッセンジャー、マクミラン、1900 年
• HSMコクセター:
  • Coxeter, Regular Polytopes、(第 3 版、1973 年)、Dover 版、ISBN 0-486-61480-8、p. 296、表 I (iii): Regular Polytopes、n 次元の 3 つの正多面体 (n≥5) 
  • HSM Coxeter, Regular Polytopes、第 3 版、Dover New York、1973 年、p. 296、表 I (iii): Regular Polytopes、n 次元の 3 つの正多面体 (n≥5)
  • 万華鏡：HSMコクセター選集、F.アーサー・シャーク、ピーター・マクマレン、アンソニー・C・トンプソン、アジア・アイヴィック・ワイス編、ワイリー・インターサイエンス出版、1995年、ISBN 978-0-471-01003-6 [1]  
    • (論文22) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体I , [Math. Zeit. 46 (1940) 380-407, MR 2,10]
    • (論文 23) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 II , [Math. Zeit. 188 (1985) 559-591]
    • (論文 24) HSM Coxeter,正則多面体と半正則多面体 III , [Math. Zeit. 200 (1988) 3-45]
• ジョン・H・コンウェイ、ハイディ・バーギエル、チャイム・グッドマン＝シュトラウス、『The Symmetries of Things』 2008年、ISBN 978-1-56881-220-5（第26章、409ページ：ヘミキューブ：1 _n1） 
• ノーマン・ジョンソン 『均一多面体』、原稿（1991年）
  • NW ジョンソン:均一多面体とハニカムの理論、Ph.D. (1966)
• 2. テッセラクト (8 セル) とヘキサデカコロン (16 セル) に基づく凸均一多角形 - モデル 15、19、20、および 21、George Olshevsky。
• http://www.polytope.de/nr17.html
• Klitzing、Richard。「4D 均一多面体 (ポリコラ)」。x3o3o4x - シドピス、x3o3x4x - プロ、x3x3o4x - プリット、x3x3x4x - gidpith

• 座標が t03{4,3,3} t013{3,3,4} t013{4,3,3} t0123{4,3,3} である H4 均一多面体