142857

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枢機卿	14万2857
序数	142857番目（14万2857番目）
因数分解	3 3 × 11 × 13 × 37
約数	1, 3, 9, 11, 13, 27, 33, 37, 39, 99, 111, 117, 143, 297, 333, 351, 407, 429, 481, 999, 1221, 1287, 1443, 3663, 3861, 4329, 5291, 10989, 12987, 15873, 47619, 142857
ギリシャ語の数字	${\displaystyle {\stackrel {\iota \delta }{\mathrm {M} }}}$͵βωνζ´
ローマ数字	CXL MMDCCCLVII、 cxl mmdccclvii
バイナリ	100010111000001001 2
三元	21020222000 3
セナリー	3021213 6
8進数	427011 8
12進数	6A809 12
16進数	22E09 16

142,857は 142,856 の次の自然数であり、142,858 の前の自然数です。これはカプレカー数であり、循環数でもあります。^{[ 1 ]}

142857 は、10 進数で最もよく知られている循環数であり、 1 / 7 ( 0.142857 )の6 つの^繰り返し桁です。[ ^{2 ] [ 3 ] [ 4 ] [ 5 ]}

142857に2、3、4、5、または6を掛けると、答えはそれ自身の巡回順列となり、それぞれ2 / 7、3 / 7、4 / 7、5 / 7、または6/7の繰り返し数字に対応します。

1 × 142,857 = 142,857

2 × 142,857 = 285,714

3 × 142,857 = 428,571

4 × 142,857 = 571,428

5 × 142,857 = 714,285

6 × 142,857 = 857,142

7 × 142,857 = 999,999

7より大きい整数を掛ける場合、142857の巡回順列を得るための簡単な方法があります。右端の6桁（1から10万まで）を残りの桁に加え、6桁だけが残るまでこのプロセスを繰り返すと、142857の巡回順列が得られます。

142857 × 8 = 1142856

1 + 142856 = 142857

142857 × 815 = 116428455

116 + 428455 = 428571

142857 ² = 142857 × 142857 = 20408122449

20408 + 122449 = 142857

7の倍数を掛けると、以下の手順で999999という結果が得られます。

142857 × 7 ⁴ = 342999657

342 + 999657 = 999999

下3桁を2乗し、上3桁の2乗を引くと、その数の巡回順列が得られます。

857 ² = 734449

142 ² = 20164

734449 − 20164 = 714285

これは、有理数1/7 = 0.142857の小数展開における循環部分です。したがって、1/7 の倍数は、142857の対応する倍数を単純に繰り返したものです。

${\displaystyle {\begin{aligned}{\tfrac {1}{7}}&=0.{\overline {142857}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {2}{7}}&=0.{\overline {285714}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {3}{7}}&=0.{\overline {428571}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {4}{7}}&=0.{\overline {571428}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {5}{7}}&=0.{\overline {714285}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {6}{7}}&=0.{\overline {857142}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {7}{7}}&=0.{\overline {999999}}\ldots =1\\[3pt]{\tfrac {8}{7}}&=1.{\overline {142857}}\ldots \\[3pt]{\tfrac {9}{7}}&=1.{\overline {285714}}\ldots \\&\,\,\,\vdots \end{aligned}}}$

142857 という数列は、グルジェフのワークのシンボルであるエニアグラム図で使用されています。エニアグラムは、宇宙の 2 つの偉大な法則 ( G.I. グルジェフによる)、3 の法則と 7 の法則の相互作用のダイナミクスを説明し、視覚化するために使用されています。142857 を1/7、2/ 7などで割った数列の動きと、それに続くエニアグラムの動きは、ムーブメントとして知られるグルジェフの神聖なダンスで表現されて^います。^[ 6 ^]

142857 という数列は、分母が 7 の因数を持ついくつかの小数でも見られます。以下の例では、分子はすべて 1 ですが、⁠ 2 / 7 ⁠ (0. 285714 ) のように、必ずしも 1 である必要はありません。

例えば、以下の分数とそれに対応する小数値を考えてみましょう。

1/7 = 0.142857...​​​​

1 / 14 = 0.0714285...​​

1 / 28 = 0.03 571428 ...​

1 / 35 = 0.0 285714 ...​

1 / 56 = 0.017 857142 ...​

1 / 70 = 0.0 142857 ...​

上記の小数は、 142857の回転数列に従っています。分母に7の因数を持つ分数、例えば1/21や1/42などは、この数列に従わず、小数部分に別の値を持っています。