既約表現

群の要素は行列で表現できますが、この文脈では「表現される」という用語は特定の正確な意味を持ちます。群の表現とは、群の要素から一般線形群の行列への写像です。表記法として、a、b、c、…を群Gの要素とし、群積は記号なしで表します。したがって、abはaとbの群積であり、 Gの要素でもあります。また、表現をDで表します。aの表現は次のように記述されます。

${\displaystyle D(a)={\begin{pmatrix}D(a)_{11}&D(a)_{12}&\cdots &D(a)_{1n}\\D(a)_{21}&D(a)_{22}&\cdots &D(a)_{2n}\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\D(a)_{n1}&D(a)_{n2}&\cdots &D(a)_{nn}\\\end{pmatrix}}}$

群表現の定義によれば、群積の表現は、以下の表現の行列乗算に変換される。

${\displaystyle D(ab)=D(a)D(b)}$

eが群の単位元である場合(つまりae = ea = aなど)、D ( e )は単位行列、または恒等的に単位行列のブロック行列になります。なぜなら、

${\displaystyle D(ea)=D(ae)=D(a)D(e)=D(e)D(a)=D(a)}$

そして、他のすべての群要素についても同様です。最後の2つの記述は、 Dが群準同型であるという要件に対応します。

表現は、非自明な G 不変部分空間、つまりすべての行列を含む場合に還元可能である。${\displaystyle D(a)}$同じ可逆行列によって上三角ブロック形式に変換できる${\displaystyle P}$言い換えれば、類似変換が存在する場合：

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

これは、表現内のすべての行列を同じパターンの上三角ブロックにマッピングします。順序付けられたシーケンスのマイナーブロックはすべてグループ部分表現です。つまり、表現がたとえば2次元である場合、次のようになります。 $${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(11)}(a)&D^{(12)}(a)\\0&D^{(22)}(a)\end{pmatrix}},}$$

どこ${\displaystyle D^{(11)}(a)}$は非自明な部分表現です。行列を見つけることができれば${\displaystyle P}$それは${\displaystyle D^{(12)}(a)=0}$それもまた、${\displaystyle D(a)}$還元可能であるだけでなく、分解も可能である。

注意：表現が簡約可能であっても、その行列表現が上三角ブロック形式になるとは限りません。適切な基底を選択した場合にのみ、この形式になります。適切な基底は、行列を適用することで得られます。${\displaystyle P^{-1}}$標準基準を上回る。

表現は、すべての行列が分解可能である場合、${\displaystyle D(a)}$同じ可逆行列によってブロック対角形式に変換できる${\displaystyle P}$言い換えれば、類似変換がある場合：^{[ 1 ]}

${\displaystyle D'(a)\equiv P^{-1}D(a)P,}$

これは、表現内のすべての行列を同じ対角ブロックのパターンに対角化します。このような各ブロックは、他のブロックとは独立したグループ部分表現です。表現D ( a )とD′ ( a )は等価表現であると言われます。^{[ 2 ]} ( k次元の表現など) は、 k > 1個の行列の直和に分解できます。 

${\displaystyle D'(a)=P^{-1}D(a)P={\begin{pmatrix}D^{(1)}(a)&0&\cdots &0\\0&D^{(2)}(a)&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &D^{(k)}(a)\\\end{pmatrix}}=D^{(1)}(a)\oplus D^{(2)}(a)\oplus \cdots \oplus D^{(k)}(a),}$

したがって、D ( a )は分解可能であり、分解された行列には、n = 1, 2, ..., kの場合のD ^{( n )} ( a )のように括弧内の上付き文字でラベルを付けるのが慣例ですが、括弧なしで数値ラベルだけを書く著者もいます。

D ( a )の次元は、ブロックの次元の合計です。

${\displaystyle \dim[D(a)]=\dim[D^{(1)}(a)]+\dim[D^{(2)}(a)]+\cdots +\dim[D^{(k)}(a)]。}$

これが不可能な場合、つまりk = 1 の場合、表現は分解不可能である。^{[ 1 ] [ 3 ]}

注意：表現が分解可能であっても、その行列表現が対角ブロック形式になるとは限りません。適切な基底を選択した場合にのみ、この形式になります。適切な基底は、行列を適用することで得られます。${\displaystyle P^{-1}}$標準基準を上回る。

既約表現は本質的に分解不可能な表現である。逆は必ずしも成り立たないが、有限群の場合、ある条件下では、分解不可能な表現が既約表現となる（マシュケの定理）。

グループが${\displaystyle G}$有限であり、${\displaystyle K}$は、${\displaystyle char(K)\nmid |G|}$すると、分解不可能な表現${\displaystyle G}$以上${\displaystyle K}$は既約表現である。特に、これは次の場合に当てはまる。${\displaystyle K=\mathbb {C} }$[ ^{4 ]​}

すべてのグループ${\displaystyle G}$すべての群要素を恒等変換にマッピングすることにより、一次元で既約な自明な表現を得る。

1次元表現は、適切な非自明な不変部分空間を持たないため、既約である。

有限群 G の既約複素表現は、指標理論の結果を用いて特徴づけることができる。特に、すべての複素表現は既約表現の直和として分解され、既約表現の数は${\displaystyle G}$は、${\displaystyle G}$[ ^{5 ]​}

• 還元不可能な複素表現${\displaystyle \mathbb {Z} /n\mathbb {Z} }$地図によって正確に与えられる${\displaystyle 1\mapsto \gamma }$、 どこ${\displaystyle \gamma }$は${\displaystyle n}$1のべき乗根。
• させて${\displaystyle V}$になる${\displaystyle n}$次元複素表現${\displaystyle S_{n}}$基礎${\displaystyle \{v_{i}\}_{i=1}^{n}}$。 それから${\displaystyle V}$既約表現の直接和として分解される$${\displaystyle V_{\text{triv}}=\mathbb {C} \left(\sum _{i=1}^{n}v_{i}\right)}$$そして、直交部分空間は次のように与えられる。$${\displaystyle V_{\text{std}}=\left\{\sum _{i=1}^{n}a_{i}v_{i}:a_{i}\in \mathbb {C} ,\sum _{i=1}^{n}a_{i}=0\right\}.}$$前者の既約表現は一次元であり、自明な表現と同型である。${\displaystyle S_{n}}$後者は${\displaystyle n-1}$次元であり、標準表現として知られています。${\displaystyle S_{n}}$[ ^{5 ]​}
• させて${\displaystyle G}$グループである。${\displaystyle G}$は基底上の自由複素ベクトル空間である${\displaystyle \{e_{g}\}_{g\in G}}$グループ行動と共に${\displaystyle g\cdot e_{g'}=e_{gg'}}$、と表記される${\displaystyle \mathbb {C} G.}$すべての還元不可能な表現${\displaystyle G}$分解に現れる${\displaystyle \mathbb {C} G}$既約表現の直和として。

• させて${\displaystyle G}$になる${\displaystyle p}$グループと${\displaystyle V=\mathbb {F} _{p}^{n}}$G の有限次元既約表現である$\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$軌道安定化定理により、すべての${\displaystyle V}$要素によって作用する${\displaystyle p}$グループ${\displaystyle G}$サイズは力である${\displaystyle p}$。これらの軌道のサイズの合計は、${\displaystyle G}$、 そして $0 ∈ V$サイズ 1 の軌道には、それ自身しか含まれていない。合計が一致するためには、他にもサイズ 1 の軌道が存在しなければならない。つまり、いくつかの${\displaystyle v\in V}$そのため${\displaystyle gv=v}$すべての人々のために${\displaystyle g\in G}$これは、 ${\displaystyle p}$グループオーバー$\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$一次元的であること。

Jが回転の生成元、Kがブーストの生成元であるD ( K )とD ( J )の既約表現は、量子力学のスピン行列と関連しているため、ローレンツ群のスピン表現を構築するために使用できます。これにより、相対論的波動方程式を導出できます。^{[ 7 ]}

• シンプルなモジュール
• 分解不可能なモジュール
• 結合代数の表現

• リー代数の表現論
• SU(2)の表現論
• SL2(R)の表現論
• ガリレオ群の表現論
• 微分同相群の表現論
• ポアンカレ群の表現論
• 最高重みの定理

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