微分同相群の表現論

数学において、滑らかな多様体M の微分同相写像群の表現論の根拠は、 （ Mが連結であれば）その群がMに対して推移的に作用するという最初の観察である。

1975年にアナトリー・ヴェルシク、イスラエル・ゲルファンド、MIグラエフが発表したこのテーマの調査論文^[1]では、このテーマへの関心が、それまでの数年間の局所電流代数の理論物理学における研究に端を発しているとしている。有限配置表現に関する研究は、RSイスマギロフ（1971年）とAAキリロフ（1974年）の論文で行われた。物理学における関心のある表現は^、外積C∞（M）·Diff（M）として記述される。

したがって、M をn次元連結 微分可能多様体とし、x をその上の任意の点とする。Diff( M ) をMの方向保存微分同相群（必要に応じて恒等微分同相写像の恒等成分のみ）とし、Diff x 1 ( _M ⁾をxの安定化因子とする。すると、M は同次空間として識別される。

差( M )/差_× ¹ ( M )。

代数的な観点からは、はM上の滑らかな関数の代数であり、 はxで消える滑らかな関数のイデアルです。は、 xでn-1 次偏導関数まで消える滑らかな関数のイデアルとします。は、 x を固定した微分同相写像のグループ Diff _x ¹ ( M )の下で不変です。n > 0 の場合、グループ Diff _x ⁿ ( M ) は、上の恒等写像として動作するDiff _x ¹ ( M ) の部分群として定義されます。 したがって、下降チェーンが存在します。 ${\displaystyle C^{\infty }(M)}$${\displaystyle I_{x}(M)}$${\displaystyle I_{x}^{n}(M)}$${\displaystyle I_{x}^{n}(M)}$${\displaystyle I_{x}(M)/I_{x}^{n}(M)}$

差( M )⊃差^x1 ₍ M)⊃...⊃差_xn ( ^M ) ⊃...

ここでDiff _x ⁿ ( M )はDiff _x ¹ ( M )の正規部分群であり、商群を見ることができる。

差分_x ¹ ( M )/差分_x ⁿ ( M )。

調和解析を用いると、微分同相群上の実数値または複素数値関数（十分に優れた位相特性を持つ）は、M上のDiff _x ¹ ( M ) 表現値関数に分解できます。

_{では、Diff x} ¹ ( M )の表現は何でしょうか？群準同型φ: G → Hがあれば、 H表現があれば制限されたG表現が得られるという事実を利用しましょう。つまり、

差_× ¹ ( M )/差_× ⁿ ( M )、

_{Diff x} ¹ ( M )の表現を得ることができます。

見てみましょう

差分_x ¹ ( M )/差分_x ² ( M )

まず、これは一般線型群GL ⁺ ( n , R )と同型です (また、向きを保存する微分同相写像のみを考慮しているため、行列式は正です)。GL ⁺ ( n , R )の表現は何ですか?

${\displaystyle GL^{+}(n,\mathbb {R} )\cong \mathbb {R} ^{+}\times SL(n,\mathbb {R} )}$。

SL( n , R )の表現は、単にn次元のテンソルであることがわかっています。では、R ^{+ の部分はどうでしょうか。これは}密度に対応します。言い換えると、テンソルがxにおける微分同相写像のヤコビアンの行列式の下でどのように再スケールされるかに対応します。(共形構造が存在しない点を除けば、共形重みと考えてください)。(ちなみに、複素密度を持つことを妨げるものは何もありません)。

つまり、微分同相群のテンソル表現（密度付き）を発見したことになります。

見てみましょう

差分_x ¹ ( M )/差分_x ⁿ ( M )。

これは有限次元群です。連鎖があります

差分_x ¹ ( M )/差分_x ¹ ( M ) ⊂ ... ⊂ 差分_x ¹ ( M )/差分_x ⁿ ( M ) ⊂ ...

ここで、「⊂」記号は実際には単射準同型を意味すると解釈されるべきですが、これは標準であるため、これらの商群が互いに埋め込まれていると見なすことができます。

の代表者

差_x ¹ ( M )/差_x ^m ( M )

自動的に代表者に変換できます

差分_x ¹ /差分_x ⁿ ( M )

n > mの場合、次の式が成り立つとしよう。

差分_x ¹ / 差分_x ^{p + 2}

それは、

差分_x ¹ / 差分_x ^{p + 1}。

そして、その表現をファイバーとするファイバーバンドル（つまり、Diff _x ¹ /Diff _x ^{p + 2}が構造群）を、順序pのジェットバンドルと呼びます。

補足: これは実際には、小さい方のグループが Diff _x ¹ (M)、大きい方のグループが Diff( M ) である誘導表現の方法です。

一般に、テンソルバンドルとジェットバンドルのセクションの空間は既約表現であり、それらの部分表現をよく調べます。これらの表現の構造は、それらの間の絡み合いを研究することで研究できます。

_{ファイバーが Diff x} ¹ ( M )の既約表現でない場合、各ファイバーをより小さな商表現に点ごとにマッピングする非ゼロの絡み合いを持つことができます。また、外微分は微分形式の空間からより高次の別の空間への絡み合いです。(他の微分はそうではありません。接続は共変ですが、微分同相写像の下では不変ではないためです。)偏微分は微分同相写像不変ではありません。位数pのジェットバンドルのセクションを位数p + 1のジェットバンドルのセクションに取る微分絡み合いがあります 。