部分的に注文されたリング

抽象代数学において、半順序環とは、環( A , +, · ) と、それに適合する半順序、すなわち半順序のことである。${\displaystyle \,\leq \,}$基底集合A上で、環演算と互換性があり、以下の条件を満たすもの: $${\displaystyle x\leq y{\text{は}}x+z\leq y+zを意味する}$$ そして $$0 ≤ x および 0 ≤ y は 0 ≤ x ≤ y を意味する。$$ すべての人々のために${\displaystyle x,y,z\in A}$[ ^{1 ]}この定義には、環、半順序、またはその両方を制約するさまざまな拡張が存在する。たとえば、アルキメデス半順序環は半順序環である^。${\displaystyle (A,\leq )}$どこ${\displaystyle A}$の半順序加法群はアルキメデス群である。^{[ 2 ]}

順序付き環（完全順序付き環とも呼ばれる）は、部分的に順序付けられた環である。${\displaystyle (A,\leq )}$どこ${\displaystyle \,\leq \,}$さらに、全順序でもある。^{[ 1 ] [ 2 ]}

l環、または格子秩序環は、部分的に秩序化された環である。${\displaystyle (A,\leq )}$どこ${\displaystyle \,\leq \,}$さらに、格子順序でもある。

半順序環の加法群は常に半順序群である。

半順序リングの非負要素の集合（要素の集合）${\displaystyle x}$そのために${\displaystyle 0\leq x,}$（リングの正の円錐とも呼ばれる）は加算と乗算に関して閉じている、つまり、${\displaystyle P}$は半順序環の非負要素の集合である。${\displaystyle P+P\subseteq P}$そして${\displaystyle P\cdot P\subseteq P.}$さらに、${\displaystyle P\cap (-P)=\{0\}.}$

環上の適合半順序のマッピング${\displaystyle A}$非負要素の集合への対応は1対1である。^{[ 1 ]}つまり、互換性のある半順序は非負要素の集合を一意に決定し、要素の集合は互換性のある半順序が存在する場合、それを一意に決定する。

もし${\displaystyle S\subseteq A}$は環の部分集合である${\displaystyle A,}$そして：

1. ${\displaystyle 0\in S}$
2. ${\displaystyle S\cap (-S)=\{0\}}$
3. ${\displaystyle S+S\subseteq S}$
4. ${\displaystyle S\cdot S\subseteq S}$

すると関係${\displaystyle \,\leq \,}$どこ${\displaystyle x\leq y}$かつその場合に限り${\displaystyle yx\in S}$互換性のある部分順序を定義します${\displaystyle A}$（つまり、${\displaystyle (A,\leq )}$は部分的に順序付けられた環である）。^{[ 2 ]}

任意の l 環において、絶対値は${\displaystyle |x|}$要素の${\displaystyle x}$定義すると${\displaystyle x\vee (-x),}$どこ${\displaystyle x\vee y}$は最大要素を表します。任意の${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y,}$$${\displaystyle |x\cdot y|\leq |x|\cdot |y|}$$ 保持する。^{[ 3 ]}

f環、またはピアース・バーコフ環は、格子状に配列された環である。${\displaystyle (A,\leq )}$その中で${\displaystyle x\wedge y=0}$^{[ 4 ]}および${\displaystyle 0\leq z}$暗示する${\displaystyle zx\wedge y=xz\wedge y=0}$すべての人々のために${\displaystyle x,y,z\in A.}$これらは、1956年にギャレット・バーコフとリチャード・S・ピアースによって「格子順序リング」というタイトルの論文で初めて紹介されました^{[ 5 ]}。これは、病的な例をいくつか排除するためにl-リングのクラスを制限しようとする試みでした。たとえば、バーコフとピアースは、1が正ではないにもかかわらず正方形であるl-リングを示しました^{[ 2 ]} 。f-リングに必要な追加の仮説により、この可能性は排除されます。

• 線形順序群– 並進不変な全順序を持つ群 
• 順序付き体– 順序構造を持つ代数的オブジェクト 
• 順序付きグループ– 互換性のある部分順序を持つグループリダイレクト先の短い説明を表示するページ 
• 順序付き位相ベクトル空間
• 順序付きベクトル空間– 部分順序を持つベクトル空間 
• 半順序空間– 半順序位相空間 
• リース空間– 格子状に順序付けられた、部分的に順序付けられたベクトル空間 

• Leonard Gillman & Meyer Jerison (1976) [1960] Rings of Continuous Functions、Graduate Texts in Mathematics # 43。Springer-Verlag、ニューヨーク-ハイデルベルク

• 「順序付き環」、数学百科事典、EMS Press、2001年 [1994年]
• PlanetMathの部分的に順序付けられたリング。