モデル完全理論

モデル理論では、モデルのすべての埋め込みが基本埋め込みである場合、一階理論はモデル完全と呼ばれます。同様に、すべての一階式は普遍式と同等です。この概念は、アブラハム・ロビンソンによって導入されました。

理論Tのコンパニオンは理論T * であり、TのすべてのモデルはT *のモデルに埋め込むことができ 、その逆も同様です。

理論Tのモデルコンパニオンは、モデル完全なTのコンパニオンです。ロビンソンは、理論には最大で 1 つのモデルコンパニオンがあることを証明しました。すべての理論がモデルコンパニオン可能であるわけではありません (例: 群論)。ただし、T が-カテゴリー理論である場合、常にモデルコンパニオンが存在します。^{[1] [2]}${\displaystyle \aleph_{0}}$

理論Tのモデル完備化とは、 Tの任意のモデルMに対して、 T *の理論とMの図が完備となるようなモデルコンパニオンT * のことです。大まかに言えば、これはTのすべてのモデルがT *のモデルに一意に埋め込めることを意味します。

T *がTのモデルコンパニオンである場合 、以下の条件は同等である：^[3]

• T *はTのモデル完成である
• T は融合特性を持ちます。

Tにも普遍公理化がある場合、上記の両方は次のものと同等になります。

• T *は量詞の除去を持つ

• 量指定子を除去した理論はすべてモデル完全です。
• 代数的に閉じた体の理論は、体の理論のモデル完備です。モデル完備ですが、完全ではありません。
• 同値関係の理論のモデル完成は、それぞれが無限の数の要素を含む無限の数の同値類を持つ同値関係の理論です。
• 実閉体の理論は、順序付き環の言語では、順序付き体（あるいは順序付き領域）の理論のモデル完成である。
• 環の言語における実閉体の理論は、形式的実体の理論のモデル的な伴侶であるが、モデル完備化ではない。

• 最初と最後の要素を持つ密な線形順序の理論は完全ですが、モデルは完全ではありません。
• 群論（恒等式、積、逆数の記号を持つ言語）には融合特性がありますが、モデルとなるものはありません。

Tがモデル完全理論であり、 Tの任意のモデルに埋め込まれるTのモデルが存在する場合、Tは完全である。^[4]

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