最小素イデアル

数学、特に可換代数学において、最小素イデアルと呼ばれる特定の素イデアルは、環や加群を理解する上で重要な役割を果たします。高さの概念やクルルの主イデアル定理は、最小素イデアルを利用しています。

意味

素イデアルPは、イデアルIを含むすべての素イデアルの中で最小である場合、イデアルI上の最小素イデアルであると言われます。（注：I が素イデアルである場合、Iは I 上の唯一の最小素イデアルです。）素イデアルは、零イデアル上の最小素イデアルである場合、単に最小素イデアルであると言われます。

ネーター環RのイデアルI上の最小素イデアルは、まさに次の最小付随素イデアル(孤立素イデアルとも呼ばれる)である。 $R/I$ これは例えば、Iの一次分解から導かれる。

例

可換アルティン環においては、すべての極大イデアルは極小素イデアルである。
整域において、唯一の最小素イデアルは零イデアルである。
整数環Zにおいて、零でない主イデアル( n )上の最小素イデアルは主イデアル ( p ) であり、pはnの素因数である。零イデアル上の最小素イデアルは零イデアル自身のみである。同様のことが任意の主イデアル整域についても成り立つ。
I がp素イデアル(例えば、pの記号的冪)である場合、 pはI上の唯一の最小素イデアルです。
理想 $(x)$ そして $(y)$ は最小素イデアルである $\mathbb {C} [x,y]/(xy)$ それらは射の素イデアルの拡張であるため $\mathbb {C} [x,y]\to \mathbb {C} [x,y]/(xy)$ 、ゼロイデアルを含む（これは素数ではないため） $x\cdot y=0\in (0)$ しかし、どちらも $x$ または $y$ （零イデアルに含まれ、他の素イデアルには含まれない）
で $\mathbb {C} [x,y,z]$ 理想値に対する最小素数 $((x^{3}-y^{3}-z^{3})^{4}(x^{5}+y^{5}+z^{5})^{3})$ 理想とは $(x^{3}-y^{3}-z^{3})$ そして $(x^{5}+y^{5}+z^{5})$ 。
させて $A=\mathbb {C} [x,y]/(x^{3}y,xy^{3})$ そして $\displaystyle {\overline {x}},{\overline {y}}}$ Aにおけるx、yの像。 $({\overline {x}})$ そして $({\overline {y}})$ はAの最小素イデアルである（そして他にはない）。 $D$ Aの零因子の集合とする。すると $\displaystyle {\overline {x}}+{\overline {y}}}$ Dに属します(非ゼロを殺すため) $\displaystyle {\overline {x}}^{2}{\overline {y}}-{\overline {x}}{\overline {y}}^{2}}$ ）一方、 $({\overline {x}})$ または $({\overline {y}})$ ; それで $({\overline {x}})\cup ({\overline {y}})\subsetneq D$ 。

不動産

すべての環は可換かつ単位的であると仮定する。

環のすべての真のイデアルIには、少なくとも 1 つの最小素イデアルが存在します。この事実の証明には、ツォルンの補題を使用します。^{[ 1 ]} I を含む任意の極大イデアルは素であり、そのようなイデアルが存在するため、Iを含む素イデアルの集合は空ではありません。素イデアルの減少列の共通部分は素です。したがって、 Iを含む素イデアルの集合には、I上の最小素である最小要素が存在します。
エミー・ネーターは、ネーター環では、任意のイデアル上の最小素イデアルは有限個しか存在しないことを示した。 ^{[ 2 ]}^{[ 3 ]} 「ネーター的」を根基イデアルの昇鎖条件に置き換えても、この事実は変わらない。
過激派 ${\sqrt {I}}$ 任意の真イデアルIの共通部分は、 I上の最小素イデアルの共通部分と一致する。これは、すべての素イデアルが最小素イデアルを含むという事実から導かれる。
与えられた環の零因子の集合は、最小素イデアルの和集合を含む。^{[ 4 ]}
クルルの主イデアル定理によれば、ネーター環において、主イデアル上の各極小素イデアルの高さは高々１である。
ネーター環の各真イデアルIは、その環上の重複する可能性のある最小素イデアルの積を含みます (証明: ${\sqrt {I}}=\bigcap _{i}^{r}{\mathfrak {p}}_{i}$ は、 I上の最小素イデアルの共通部分である。あるnに対して、 ${\sqrt {I}}^{n}\subset I$ そして私は $\prod _{1}^{r}{\mathfrak {p}}_{i}^{n}$ ）
最高の理想 ${\mathfrak {p}}$ 環RがイデアルI上の唯一の最小素数であるのは、 ${\sqrt {I}}={\mathfrak {p}}$ そして、そのような私は ${\mathfrak {p}}$ -プライマリの場合 ${\mathfrak {p}}$ は最大である。これは最小素数の局所的な基準を与える。すなわち、素イデアルである。 ${\mathfrak {p}}$ I上の最小素数であるのは、 $IR_{\mathfrak {p}}$ は ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ - 基本イデアル。Rがネーター環の場合、 ${\mathfrak {p}}$ I上の最小素数であるのは、 $R_{\mathfrak {p}}/IR_{\mathfrak {p}}$ アルティン環（つまり、 ${\mathfrak {p}}R_{\mathfrak {p}}$ は冪零モジュールIです。 $IR_{\mathfrak {p}}$ 下 $R\to R_{\mathfrak {p}}$ は、 $R$ と呼ばれる ${\mathfrak {p}}$ - Iの主要構成要素。
いつ $A$ はネーター的局所であり、最大イデアルを持つ。 $P$ 、 $P\supseteq I$ 最小限 $I$ 数が存在する場合に限る $m$ そのため $P^{m}\subseteq I$ 。