群速度

波の群速度とは、波の振幅の全体的なエンベロープ形状（波の 変調またはエンベロープと呼ばれる）が空間を伝播する速度です。

たとえば、非常に静かな池の真ん中に石を投げ込むと、静止した中心を持つ円形の波のパターンが水の中に現れます。これは毛細管波としても知られています。拡大する波のリングは波群または波束と呼ばれ、その中では波群全体よりも速く移動する個々の波を識別できます。個々の波の振幅は、波群の後縁から出るにつれて大きくなり、波群の前縁に近づくにつれて小さくなります。

波の位相速度とは異なる群速度という考え方は、1839年にWRハミルトンによって初めて提案され、1877年にレイリーが「音響理論」で初めて完全に扱った。^[2]

群速度v _gは次の式で定義される: ^{[3] [4] [5] [6]}

${\displaystyle v_{\rm {g}}\ \equiv \ {\frac {\partial \omega }{\partial k}}\,}$

ここで、ωは波の角周波数（通常はラジアン/秒で表されます）、kは角波数（通常はラジアン/メートルで表されます）です。位相速度は、 v _p = ω / kです。

ω をkの関数として与える関数ω ( k ) は分散 関係として知られています。

• ω がkに 正​​比例する場合、 群速度は位相速度と正確に等しくなります。この速度では、どのような形状の波も歪みなく伝わります。
• ω がkの線形関数であるが、正比例しない場合( ω = ak + b ) 、群速度と位相速度は異なります。波束のエンベロープ(右の図を参照) は群速度で移動しますが、エンベロープ内の個々の山と谷は位相速度で移動します。
• ω がkの線形関数でない場合、波束のエンベロープは移動するにつれて歪んでしまいます。波束にはさまざまな周波数（したがってkの値も異なる）が含まれるため、グループ速度∂ω/∂k はkの値によって異なります。したがって、エンベロープは単一の速度で移動するのではなく、その波数成分（k）が異なる速度で移動し、エンベロープを歪ませます。波束の周波数範囲が狭く、ω ( k ) がその狭い範囲でほぼ線形である場合、パルスの歪みは、非線形性が小さいことと関連して小さくなります。詳細は以下を参照してください。たとえば、深海の 重力波の場合、、したがってv _g = v _p /2です。${\textstyle \omega ={\sqrt {gk}}}$
  これは、すべての船や泳ぐ物体の船首波のケルビン航跡パターンの基礎となるものです。速度が一定である限り、移動速度に関係なく、航跡は両側で移動線に対して 19.47° = arcsin(1/3) の角度を形成します。^[7]

群速度の式の導出方法の一つは次の通りである。^{[8] [9]}

波束を位置xと時間tの関数として考えます：α ( x , t )。

A ( k ) を時刻t = 0におけるフーリエ変換とすると、

${\displaystyle \alpha (x,0)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{ikx}.}$

重ね合わせの原理により、任意の時刻tにおける波束 は

${\displaystyle \alpha (x,t)=\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(kx-\omega t)},}$

ここで ω は暗黙的にkの関数です 。

波束 αがほぼ単色であると仮定すると、 A ( k )は中心波数 k0_の付近で鋭くピークになる。

そして線形化により

${\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+\left(k-k_{0}\right)\omega '_{0}}$

どこ

${\displaystyle \omega _{0}=\omega (k_{0})}$そして${\displaystyle \omega '_{0}=\left.{\frac {\partial \omega (k)}{\partial k}}\right|_{k=k_{0}}}$

（このステップについては次のセクションを参照してください）。その後、いくつかの代数計算を経て、

${\displaystyle \alpha (x,t)=e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}\int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}.}$

この式には 2 つの要素があります。最初の要素は、 波束のエンベロープ内で 位相速度で移動する山と谷を持つ、波ベクトルk ₀を持つ完全な単色波を表します 。${\displaystyle e^{i\left(k_{0}x-\omega _{0}t\right)}}$ ${\displaystyle \omega _{0}/k_{0}}$

もう一つの要因は、

${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }dk\,A(k)e^{i(k-k_{0})\left(x-\omega '_{0}t\right)}}$、

は波束のエンベロープを与えます。このエンベロープ関数は、組み合わせを通じてのみ位置と時間に依存します。 ${\displaystyle (x-\omega '_{0}t)}$

したがって、波束のエンベロープは速度で移動する。

${\displaystyle \omega '_{0}=\left.{\frac {d\omega }{dk}}\right|_{k=k_{0}}~,}$

これは群速度の式を説明します。

光の場合、屈折率n、真空中の波長 λ0、媒質中の波長 λは次_のように関係付けられる。

${\displaystyle \lambda _{0}={\frac {2\pi c}{\omega }},\;\;\lambda ={\frac {2\pi }{k}}={\frac {2\pi v_{\rm {p}}}{\omega }},\;\;n={\frac {c}{v_{\rm {p}}}}={\frac {\lambda _{0}}{\lambda }},}$

v _p  =  ω / kの 位相速度。

したがって、群速度は次の式のいずれかで計算できます。

${\displaystyle {\begin{aligned}v_{\rm {g}}&={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}={\frac {c}{n-\lambda _{0}{\frac {\partial n}{\partial \lambda _{0}}}}}\\&=v_{\rm {p}}\left(1+{\frac {\lambda }{n}}{\frac {\partial n}{\partial \lambda }}\right)=v_{\rm {p}}-\lambda {\frac {\partial v_{\rm {p}}}{\partial \lambda }}=v_{\rm {p}}+k{\frac {\partial v_{\rm {p}}}{\partial k}}.\end{aligned}}}$

前述の導出の一部は、次のようなテイラー級数近似です。

${\displaystyle \omega (k)\approx \omega _{0}+(k-k_{0})\omega '_{0}(k_{0})}$

波束の周波数分布が比較的大きい場合、分散ω(k)に急激な変化がある場合(共鳴などによる)、または波束が非常に長い距離を移動する場合は、この仮定は有効ではなく、テイラー展開の高次の項が重要になります。

その結果、波束のエンベロープは移動するだけでなく、物質の群速度分散によって説明できる方法で歪みます。大まかに言えば、波束の異なる周波数成分は異なる速度で移動し、より速い成分は波束の前方に移動し、より遅い成分は後方に移動します。最終的に、波束は引き伸ばされます。これは、光ファイバーを介した信号の伝播や、高出力の短パルスレーザーの設計において重要な効果です。

波の集合の群速度は次のように定義される。

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial \omega }{\partial k}}.}$

複数の正弦波が一緒に伝播する場合、波の重ね合わせによって「エンベロープ」波と、エンベロープの内側にある「キャリア」波が生成されます。これは、データ送信に変調(振幅や位相の変化) が使用される無線通信でよく見られます。この定義を直感的に理解するために、(コサイン) 波f(x, t)とそれぞれの角周波数および波ベクトル の重ね合わせを考えます。

${\displaystyle {\begin{aligned}f(x,t)&=\cos(k_{1}x-\omega _{1}t)+\cos(k_{2}x-\omega _{2}t)\\&=2\cos \left({\frac {(k_{2}-k_{1})x-(\omega _{2}-\omega _{1})t}{2}}\right)\cos \left({\frac {(k_{2}+k_{1})x-(\omega _{2}+\omega _{1})t}{2}}\right)\\&=2f_{1}(x,t)f_{2}(x,t).\end{aligned}}}$

つまり、2つの波の積、すなわちf _{1によって形成されるエンベロープ波と}f ₂によって形成される搬送波が得られます。エンベロープ波の速度を群速度と呼びます。f ₁の位相速度は

${\displaystyle {\frac {\omega _{2}-\omega _{1}}{k_{2}-k_{1}}}.}$

連続微分の場合、これが群速度の定義になります。

電磁気学と光学の分野では、周波数は波数の関数ω ( k )であるため、一般に位相速度と群速度は特定の媒体と周波数に依存します。光速cと位相速度v _pの比は屈折率と呼ばれ、n = c / v _p = ck / ωです。

このようにして、電磁気学における群速度の別の形を得ることができます。n = n (ω) と書くと、この形を導く簡単な方法は、

${\displaystyle k={\frac {1}{c}}\omega n(\omega )\implies dk={\frac {1}{c}}\left(n(\omega )+\omega {\frac {\partial }{\partial \omega }}n(\omega )\right)d\omega .}$

上記の式を整理すると、

${\displaystyle v_{g}={\frac {\partial w}{\partial k}}={\frac {c}{n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}}}.}$

この式から、屈折率が周波数に依存しない場合にのみ、群速度が位相速度に等しいことがわかります。この場合、媒体は分散型ではなく非分散型と呼ばれます。分散型では、媒体のさまざまな特性が周波数ωに依存します。この関係は、媒体の分散関係として知られています。${\textstyle \partial n/\partial \omega =0}$${\displaystyle \omega (k)}$

光波、音波、物質波などの3次元を伝わる波の場合、位相と群速度の式は簡単に一般化されます。^[10]

• 1次元:${\displaystyle v_{\rm {p}}=\omega /k,\quad v_{\rm {g}}={\frac {\partial \omega }{\partial k}},\,}$
• 3次元:${\displaystyle (v_{\rm {p}})_{i}={\frac {\omega }{{k}_{i}}},\quad \mathbf {v} _{\rm {g}}={\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega \,}$

ここで、 は波数ベクトルの関数としての角周波数ωの勾配を意味し、 は方向kの単位ベクトルです。 $${\displaystyle {\vec {\nabla }}_{\mathbf {k} }\,\omega }$$ ${\displaystyle \mathbf {k} }$${\displaystyle {\hat {\mathbf {k} }}}$

波が結晶などの異方性（回転対称ではない）媒体を伝播する場合、位相速度ベクトルと群速度ベクトルは異なる方向を指すことがあります。

群速度は、エネルギーや情報が波に沿って伝達される速度であると考えられることが多いです。ほとんどの場合、これは正確であり、群速度は波形の信号速度と考えることができます。ただし、波が吸収性または利得性の媒体を通過している場合は、必ずしもこの限りではありません。このような場合、群速度は明確に定義された量ではないか、意味のある量ではない可能性があります。

ブリルアンは著書「周期構造における波動伝播」^[11] で、損失のある媒体では群速度は明確な物理的意味を持たなくなると主張した。原子ガスを介した電磁波の伝播に関する例はラウドンによって示されている。^{[12]もう1つの例は、}太陽の光球における機械的波である。波は（山から谷への放射熱流によって）減衰し、それに関連して、エネルギー速度は波の群速度よりも大幅に低くなることが多い。^[13]

この曖昧さにもかかわらず、群速度の概念を複雑な媒体に拡張する一般的な方法は、媒体内の空間的に減衰した平面波解を考慮することです。これは複素数値の波動ベクトルで特徴付けられます。次に、波動ベクトルの虚数部を任意に破棄し、群速度の通常の式を波動ベクトルの実数部に適用します。つまり、

${\displaystyle v_{\rm {g}}=\left({\frac {\partial \left(\operatorname {Re} k\right)}{\partial \omega }}\right)^{-1}.}$

あるいは、複素屈折率の実部n = n + iκに関しては、^[14]

${\displaystyle {\frac {c}{v_{\rm {g}}}}=n+\omega {\frac {\partial n}{\partial \omega }}.}$

群速度のこの一般化は、波束のピークの見かけの速度と関連し続けることが示されています。^[15]ただし、上記の定義は普遍的ではありません。代わりに、定在波の時間減衰（実数k、複素数ω）を考慮するか、群速度を複素数値の量とすることができます。^{[16] [17]}異なる考慮事項は異なる速度をもたらしますが、すべての定義は損失がなくゲインのない媒体の場合には一致しています。

複雑な媒体に対する群速度の上記の一般化は奇妙な振る舞いをすることがあり、異常分散の例は良い例となる。異常分散領域の端では、は無限大（真空中の光速を超える）になり、異常分散帯の内側では簡単に負になる（その符号はRe kと反対になる）。 ^{[18] [19] [20]}${\displaystyle v_{\rm {g}}}$${\displaystyle v_{\rm {g}}}$

1980 年代以降、さまざまな実験により、損失物質または利得物質を通過するレーザー光パルスの群速度 (上記で定義) が真空中の光速 cを大幅に上回る可能性があることが実証されています。波束のピークもcよりも速く移動することが確認されています。

しかし、これらすべての場合において、信号が真空中の光速よりも速く伝送される可能性はありません。なぜなら、 v _gの値が高いことは、実際の信号の開始時に発生する鋭い波面の実際の動きを加速するのに役立たないからです。本質的に、一見超光速の伝送は、群速度を定義するために上で使用した狭帯域近似の産物であり、介在する媒体の共鳴現象のために発生します。広帯域解析では、信号エンベロープの伝播の一見矛盾した速度は、実際には多くのサイクルにわたるより広い周波数帯域の局所干渉の結果であり、それらはすべて完全に因果的に位相速度で伝播することがわかります。その結果は、影を引き起こす光が常に光速で伝播する場合でも、影が光よりも速く移動できるという事実に似ています。測定されている現象は因果関係と緩く関連しているため、通常の状況では因果伝播のルールを尊重し、共通の直感につながる場合でも、必ずしも因果伝播のルールを尊重しません。^{[14] [18] [19] [21] [22]}

• Greg Egan は、彼の Web サイトに、群速度と位相速度の明らかな違いを示す優れた Java アプレットを公開しています。
• Maarten Ambaum のウェブページには、気象システムの下流の発展に対する群速度の重要性を示すムービー (2019-05-04 にアーカイブ)が掲載されています。
• 位相と群速度 – さまざまな位相と群速度の関係（アニメーション）