観察可能

物理学では、観測可能量とは測定可能な物理的特性または物理量です。古典力学では、観測可能量は位置や運動量など、すべての可能なシステム状態の集合上の実数値「関数」です。量子力学では、観測可能量は演算子またはゲージであり、量子状態の特性は 一連の操作によって決定できます。たとえば、これらの操作には、システムをさまざまな電磁場にさらし、最終的に値を読み取ることが含まれます。

物理的に意味のある観測量は、異なる参照フレーム内の異なる観測者によって実行される観測を関連付ける変換法則も満たす必要があります。これらの変換法則は状態空間の自己同型、つまり問題の空間の特定の数学的特性を保持する全単射変換です。

量子力学では、観測可能量は量子状態空間を表す可分複素ヒルベルト空間上の自己随伴演算子として現れる。^{[1]観測可能量は、演算子の}固有値に対応する特定の測定の結果に値を割り当てる。これらの結果が物理的に許容される状態（つまり、ヒルベルト空間に属する状態）を表す場合、固有値は実数である。ただし、その逆は必ずしも真ではない。^{[2] [3] [4]}結果として、量子システムのある状態に対する観測可能量の値は、特定の測定によってのみ決定できる。古典力学では、観測可能量の値を決定するために 任意の測定を行うことができる。

量子系の状態と観測可能な値との関係を記述するには、何らかの線型代数が必要である。量子力学の数学的定式化では、位相定数まで、純粋状態はヒルベルト空間V内の非ゼロベクトルによって与えられる。2 つのベクトルvとw は、非ゼロ に対して である場合に限り、同じ状態を指定すると考えられる。観測可能な値は、 V上の自己随伴演算子によって与えられる。すべての自己随伴演算子が物理的に意味のある観測可能値に対応するわけではない。^{[5] [6] [7] [8]}また、すべての物理的観測可能値が非自明な自己随伴演算子に関連付けられるわけではない。たとえば、量子理論では、質量は非自明な演算子としてではなく、ハミルトニアンのパラメーターとして現れる。^[9] ${\displaystyle \mathbf {w} =c\mathbf {v} }$${\displaystyle c\in \mathbb {C} }$

量子力学における変換法則の場合、必要な自己同型はヒルベルト空間Vのユニタリ（または反ユニタリ）線型変換です。ガリレイ相対論または特殊相対論では、参照フレームの数学は特に単純であり、物理的に意味のある観測可能な集合がかなり制限されます。

量子力学では、観測可能な量の測定は、一見直観に反する特性を示す。具体的には、システムがヒルベルト空間内のベクトルで記述される状態にある場合、測定プロセスは、非決定論的だが統計的に予測可能な方法で状態に影響を与える。特に、測定が適用された後、単一のベクトルによる状態記述は破壊され、統計的集団に置き換えられる可能性がある。量子物理学における測定操作の不可逆な性質は、測定問題と呼ばれることもあり、数学的には量子操作によって記述される。量子操作の構造により、この記述は、元のシステムがより大きなシステムのサブシステムとみなされ、元のシステムの状態がより大きなシステムの状態の部分的なトレースで与えられる相対状態解釈によって提供される記述と数学的に同等である。

量子力学では、位置、並進（線形）運動量、軌道角運動量、スピン、全角運動量などの動的変数はそれぞれ、量子システムの状態に作用する自己随伴演算子に関連付けられています。演算子の固有値は、動的変数が持つと観測される可能性のある値に対応しています。たとえば、が観測可能な の固有ケット（固有ベクトル）で、固有値が であり、ヒルベルト空間に存在するとします。 ${\displaystyle A}$ ${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle a}$$${\displaystyle {\hat {A}}|\psi _{a}\rangle =a|\psi _{a}\rangle .}$$

この固有値方程式は、対象システムが状態 にあるときに観測量の測定が行われた場合、その特定の測定の観測値は確実に固有値 を返す必要があることを示しています。ただし、対象システムが一般的な状態（およびと は単位ベクトル、およびの固有空間は 1 次元） にある場合、ボルン則により、固有値は確率 で返されます。 ${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle |\phi \rangle \in {\mathcal {H}}}$${\displaystyle |\phi \rangle }$${\displaystyle |\psi _{a}\rangle }$${\displaystyle a}$${\displaystyle a}$${\displaystyle |\langle \psi _{a}|\phi \rangle |^{2}}$

古典的量と量子力学的観測量との決定的な違いは、量子観測量のいくつかのペアは同時に測定できない可能性があることであり、これは相補性と呼ばれる性質である。これは数学的には、対応する演算子の非可換性によって表現され、交換子は $${\displaystyle \left[{\hat {A}},{\hat {B}}\right]:={\hat {A}}{\hat {B}}-{\hat {B}}{\hat {A}}\neq {\hat {0}}.}$$

この不等式は、観測可能なものとの測定が実行される順序に対する測定結果の依存性を表しています。 の測定は、その後の の測定と互換性のない方法で量子状態を変更します。逆もまた同様です。 ${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$

可換演算子に対応する観測量は適合観測量と呼ばれる。例えば、軸と軸に沿った運動量は適合している。非可換演算子に対応する観測量は不適合観測量または相補変数と呼ばれる。例えば、同じ軸に沿った位置と運動量は適合していない。^{[10] : 155}${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

互換性のない観測量は、共通の固有関数の完全な集合を持つことはできません。との同時固有ベクトルはいくつか存在する可能性がありますが、完全な基底を構成するには数が足りないことに注意してください。^{[11] [12]}${\displaystyle {\hat {A}}}$${\displaystyle {\hat {B}}}$

• 測定（物理学）
• 観測可能な宇宙
• 観察者（量子物理学）
• QM演算子の表
• 観測不能

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