ジュリア集合を埋める

記入済みのジュリアセット${\displaystyle K(f)}$多項式の${\displaystyle f}$は、ジュリア集合とその内部の非脱出集合の和集合です。

記入済みのジュリアセット${\displaystyle K(f)}$多項式の${\displaystyle f}$すべての点の集合として定義される${\displaystyle z}$力学平面の有界軌道を持つ${\displaystyle f}$$${\displaystyle K(f){\overset {\mathrm {def} }{{}={}}}\left\{z\in \mathbb {C} :f^{(k)}(z)\not \to \infty ~{\text{as}}~k\to \infty \right\}}$$ どこ：

• ${\displaystyle \mathbb {C} }$は複素数の集合です
• ${\displaystyle f^{(k)}(z)}$は${\displaystyle k}$-折り畳み構成${\displaystyle f}$自身 =関数の反復${\displaystyle f}$

塗りつぶされたジュリア集合は、無限大の吸引盆地の（絶対）補集合である。 $${\displaystyle K(f)=\mathbb {C} \setminus A_{f}(\infty )}$$

魅力的な無限の盆地は、ファトゥ集合の構成要素の一つである。 $${\displaystyle A_{f}(\infty )=F_{\infty }}$$

言い換えれば、塗りつぶされたジュリア集合は、無限のファトゥ成分の補集合である。 $${\displaystyle K(f)=F_{\infty }^{C}.}$$

ジュリア集合は、塗りつぶされたジュリア集合と無限大の吸引盆地の共通境界である。$${\displaystyle J(f)=\partial K(f)=\partial A_{f}(\infty )}$$ どこ：${\displaystyle A_{f}(\infty )}$無限の吸引盆地を表す= 塗りつぶされたジュリア集合の外部 = 脱出点の集合${\displaystyle f}$

$${\displaystyle A_{f}(\infty )\ {\overset {\underset {\mathrm {def} }{}}{=}}\ \{z\in \mathbb {C} :f^{(k)}(z)\to \infty \ as\ k\to \infty \}.}$$

塗りつぶされたジュリア集合に内部がない場合、ジュリア集合は塗りつぶされたジュリア集合と一致します。これは、すべての臨界点が塗りつぶされたジュリア集合と一致する場合に発生します。${\displaystyle f}$これらは前周期的な点である。このような臨界点はしばしばミシュレヴィッチ点と呼ばれる。

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  背表紙付きのウサギのジュリアセット
• 
  バシリカ・ジュリア（背表紙付き）

最も研究されている多項式はおそらく次の形式のものである。${\displaystyle f(z)=z^{2}+c}$は、しばしば次のように表される。${\displaystyle f_{c}}$、 どこ${\displaystyle c}$は任意の複素数です。この場合、脊柱は${\displaystyle S_{c}}$満たされたジュリア集合の${\displaystyle K}$は、弧として定義される。${\displaystyle \beta }$-固定点と ${\displaystyle -\beta }$、 $${\displaystyle S_{c}=\left[-\beta ,\beta \right]}$$ 次のような特性を持つ：

• 背骨は内側にあります${\displaystyle K}$[ ^{1 ]}これは^、${\displaystyle K}$接続されていて満杯です^{[ 2 ]}
• 脊椎は180度回転しても変化しない。
• spineは有限トポロジーツリーであり、
• 重要なポイント${\displaystyle z_{cr}=0}$常に脊椎に属する。^{[ 3 ]}
• ${\displaystyle \beta }$固定点は、角度ゼロの外部光線の着地点である。${\displaystyle {\mathcal {R}}_{0}^{K}}$、
• ${\displaystyle -\beta }$外部光線の着地点${\displaystyle {\mathcal {R}}_{1/2}^{K}}$。

脊椎を構築するためのアルゴリズム：

• 詳細版はA. Douady ^{[ 4 ]}によって説明されている。
• アルゴリズムの簡略版：
  • 接続する${\displaystyle -\beta }$そして${\displaystyle \beta }$内で${\displaystyle K}$弧を描いて、
  • いつ${\displaystyle K}$内部が空の場合、弧は一意になります。
  • そうでなければ、最短経路で${\displaystyle 0}$[ ^{5 ]​}

曲線${\displaystyle R}$: $${\displaystyle R{\overset {\mathrm {def} }{{}={}}}R_{1/2}\cup S_{c}\cup R_{0}}$$ 動的平面を2つの成分に分割する。

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  _{f c}のジュリア集合を塗りつぶす。c=1−φ=−0.618033988749…、ここでφは黄金比である。
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  内部構造のない、塗りつぶされたジュリア集合 = ジュリア集合。この例では c=i です。
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  c=−1+0.1*i の塗りつぶされたジュリア集合。ここで、ジュリア集合は塗りつぶされたジュリア集合の境界です。
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  ドゥアディウサギ
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  c = −0.8 + 0.156i のジュリア集合を埋めました。
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  c = 0.285 + 0.01i のジュリア集合を埋めました。
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  c = −1.476 のジュリア集合を埋めました。

• 飛行機^{[ 6 ]}
• ドゥアディウサギ
• ドラゴン
• バシリカ、サンマルコフラクタル、サンマルコドラゴン
• カリフラワー
• 樹状突起
• シーゲルディスク

1. Peitgen Heinz-Otto、Richter, PH ： フラクタルの美しさ：複雑な力学系のイメージ。Springer-Verlag 1986。ISBN 978-0-387-15851-8。
2. Bodil Branner  : 複素平面における正則力学系。デンマーク工科大学数学科、MATレポート番号1996-42。