フェルマーの五次三重項

数学において、フェルマーの五次三次多様体（フェルマーのきょうじんさんじょうたい、英: Fermat quintic threefold）は、特別な五次三次多様体、すなわち、4次元複素射影空間における次数5、次元3の超曲面であり、次の式で与えられる。

${\displaystyle V^{5}+W^{5}+X^{5}+Y^{5}+Z^{5}=0}$。

この三次元多様体は、ピエール・ド・フェルマーにちなんで名付けられ、カラビ・ヤウ多様体です。

非特異五次三次元多様体の ホッジダイヤモンドは

ハーバート・クレメンス （1984）は、一般五次三次多様体上の与えられた次数の有理曲線の数は有限であると予想した。フェルマーの五次三次多様体はこの意味では一般ではなく、アルベルト・アルバーノとシェルドン・カッツ （1991）は、その直線が次の形式の1次元族50個に含まれることを示した。

${\displaystyle (x:-\zeta x:ay:by:cy)}$

およびについて。複数のファミリーに375の行があり、その形式は次の通りです。 ${\displaystyle \zeta^{5}=1}$${\displaystyle a^{5}+b^{5}+c^{5}=0}$

${\displaystyle (x:-\zeta x:y:-\eta y:0)}$

5 乗根 および1 の5 乗根の場合。 ${\displaystyle \zeta}$${\displaystyle \eta}$

• アルバーノ、アルベルト、カッツ、シェルドン(1991)、「フェルマーの五次三次多様体上の線と無限小一般化ホッジ予想」、アメリカ数学会誌、324 (1): 353–368、doi : 10.2307/2001512、ISSN  0002-9947、JSTOR  2001512、MR  1024767
• クレメンス、ハーバート(1984)、「アベル-ヤコビ写像に関するいくつかの結果」、超越代数幾何学の話題 (プリンストン、ニュージャージー、1981/1982)、数学研究年報、第 106 巻、プリンストン大学出版局、pp. 289–304、MR  0756858
• Cox, David A. ; Katz, Sheldon (1999)、「ミラー対称性と代数幾何学」、数学調査とモノグラフ、第 68 巻、プロビデンス、ロードアイランド州:アメリカ数学協会、ISBN 978-0-8218-1059-0、MR  1677117