1962年のNASAミッションにおける 軌道決定データの処理方法を示す図。（歴史的資料としてのみ参照。） 軌道決定とは、月、惑星、宇宙船などの天体の 軌道 を推定することです。主な用途の一つは、新たに観測された小惑星 を追跡し、それらが過去に発見されていないことを確認することです。基本的な手法は17世紀に発見され、その後継続的に改良されてきました。
観測データ は、軌道決定アルゴリズムに入力される生データです。地上観測者による観測は、通常、時間情報付きの方位角 、仰角 、距離 、および／または距離変化率の 値で構成されます。肉眼による観測では正確な軌道決定には不十分なため、望遠鏡やレーダー 装置が使用されます。観測データの量や質が向上すれば、軌道決定プロセスの精度も向上し、「誤警報 」も減少します。
軌道が決定された後、数学的な伝播手法を用いて、軌道上の物体の将来の位置を予測することができます。時間が経つにつれて、軌道上の物体の実際の経路は予測された経路から乖離する傾向があります（特に、物体が大気抵抗 などの予測困難な摂動の 影響を受ける場合）。そのため、新たな観測データを用いて軌道を再決定することで、軌道に関する知識を再調整することができます。
衛星追跡は 、もう一つの主要な用途です。米国およびパートナー国では、 光学 およびレーダー 資源が許す限り、統合宇宙作戦センターが地球軌道上のすべての物体の観測データを収集します。これらの観測データは 、衛星カタログ の全体的な精度を維持するための新しい軌道決定計算に使用されます。 衝突回避 計算では、このデータを使用して、ある軌道上の物体が別の物体と衝突する確率を計算する場合があります。衛星の運用者は、現在の軌道での衝突リスクが許容できない場合、軌道を調整することを決定する可能性があります。（非常に低い確率の事象のために軌道を調整することは不可能です。軌道維持 のために衛星が搭載している推進剤を すぐに使い果たしてしまうからです。）ロシア や中国 を含む他の国々も、同様の追跡資産を保有しています。
方法 軌道決定においては、天体の見かけ上の運動が観測者自身の運動によって影響を受けることを考慮に入れなければならない。例えば、地球上で小惑星を追跡する観測者は、地球の太陽周回運動、 地球の自転、そして観測者の緯度と経度を考慮に入れなければならない。これらは天体の見かけ上の位置に影響を与えるからである。
重要な観察事項は、（おおよそ）すべての物体は円錐曲線軌道を描いて運動し、その 軌道の中心 には引力体（太陽や地球など）があり、軌道は固定された平面上にあるということです。引力体から物体へ異なる時点で引いたベクトルはすべて 軌道面 上にあります。
観測者に対する位置と速度が分かっている場合（レーダー観測の場合など）、これらの観測データは、観測時の引力体に対する観測者の既知の位置と速度によって調整できます。これにより、引力体に対する位置と速度が得られます。このような観測が2回あり、それらの時間差も分かっている場合は、18世紀に考案されたランバートの方法を用いて軌道を決定できます。詳細はランバートの問題を参照してください。
距離情報がなくても、天体の赤経と赤緯を3回以上観測すれば、軌道を決定することができる。 1801年に失われた最初の小惑星ケレス を「発見」したことで有名になった ガウスの方法は 、その後改良が重ねられてきた。
用途の一つとして、動的方法 による小惑星の質量測定が挙げられる。この方法では、2つの小惑星が接近する前と後、それぞれガウス法を2回用いる。両方の軌道が決定された後、一方または両方の小惑星の質量を算出することができる。
状態ベクトルからの軌道決定 基本的な軌道決定タスクは、古典的な軌道要素 またはケプラー要素 を決定することです。1 、 e 、 私 、 Ω 、 ω 、 ν {\displaystyle a,e,i,\Omega ,\omega ,\nu } 軌道状態ベクトル から[r → 、 v → {\displaystyle {\vec {r}}、{\vec {v}}} 中心天体の基準系 に対する周回天体の軌道。中心天体とは、太陽、地球、月、その他の惑星など、重力の源となる天体です。一方、周回天体には、太陽の周りを回る惑星、地球の周りを回る人工衛星、惑星の周りを回る宇宙船などが含まれます。ニュートンの運動法則は、 ケプラー軌道 として知られる周回天体の軌跡を説明します。
1つの状態ベクトルから軌道を決定する手順は、以下のように要約されます。
比角運動量 を計算するh → {\displaystyle {\vec {h}}} h → = r → × v → = | h → | k → = h k → 、 {\displaystyle {\vec {h}}={\vec {r}}\times {\vec {v}}=\left|{\vec {h}}\right|{\vec {k}}=h{\vec {k}},} k → {\displaystyle {\vec {k}}} 昇順ノード ベクトルを計算するn → {\displaystyle {\vec {n}}} h → {\displaystyle {\vec {h}}} K → {\displaystyle {\vec {K}}} n → = K → × h → 。 {\displaystyle {\vec {n}}={\vec {K}}\time {\vec {h}}.} 昇交点 に向かうベクトルです。昇交点線は軌道面と基準面の交線であるため、基準面の法線ベクトル（K → {\displaystyle {\vec {K}}} k → {\displaystyle {\vec {k}}} h → {\displaystyle {\vec {h}}} 外積によって定義できます。 離心率ベクトル を計算するe → {\displaystyle {\vec {e}}} 離心率 の大きさを持ち、e {\displaystyle e} 近点 方向を指します。この方向はしばしば軌道面の x 軸として定義され、単位ベクトルを持ちます。私 → {\displaystyle {\vec {i}}} e → = v → × h → μ − r → | r → | = e 私 → = （ | v → | 2 μ − 1 | r → | ） r → − r → ⋅ v → μ v → = 1 μ [ （ | v → | 2 − μ | r → | ） r → − （ r → ⋅ v → ） v → ] {\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {e}}&={{\vec {v}}\times {\vec {h}} \over {\mu }}-{{\vec {r}} \over {\left|{\vec {r}}\right|}}=e{\vec {i}}\\&=\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2} \over {\mu }}-{1 \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{{\vec {r}}\cdot {\vec {v}} \over {\mu }}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{\mu }}\left[\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2}}-{\mu \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{({\vec {r}}\cdot {\vec {v}})}{\vec {v}}\right]\end{aligned}}} e = | e → | {\displaystyle e=\left|{\vec {e}}\right|} μ = G M {\displaystyle \mu =GM} 標準重力パラメータ ですM {\displaystyle M} G {\displaystyle G} は万有引力定数 です。半直腸線 を計算するp {\displaystyle p} 1 {\displaystyle a} （放物線軌道 でない場合、e = 1 {\displaystyle e=1} 1 {\displaystyle a} p = h 2 μ = 1 （ 1 − e 2 ） {\displaystyle p={\frac {h^{2}}{\mu }}=a(1-e^{2})} 1 = p 1 − e 2 、 {\displaystyle a={\frac {p}{1-e^{2}}},} e ≠ 1 {\displaystyle e\neq 1} 傾斜角 を計算する私 {\displaystyle i} コス （ 私 ） = K → ⋅ h → h = h K h ⇒ 私 = アルコス （ K → ⋅ h → h ） 、 私 ∈ [ 0 、 180 ∘ ] 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(i)&={\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}={\frac {h_{K}}{h}}\\\Rightarrow i&=\arccos \left({\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}\right),&i\in [0,180^{\circ }],\end{aligned}}} h K {\displaystyle h_{K}} h → {\displaystyle {\vec {h}}} 昇交点の経度 を計算するΩ {\displaystyle \Omega } コス （ Ω ） = 私 → ⋅ n → n = n 私 n = コス （ 360 − Ω ） ⇒ Ω = アルコス （ 私 → ⋅ n → n ） = Ω 0 、 または ⇒ Ω = 360 ∘ − Ω 0 、 もし n J < 0 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\Omega )&={\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n}}}{n}}={\frac {n_{I}}{n}}=\cos(360-\Omega )\\\Rightarrow \Omega &=\arccos \left({\frac {{\vec {I}}\cdot {\vec {n}}}{n}}\right)=\Omega _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \Omega &=360^{\circ }-\Omega _{0},{\text{ if }}n_{J}<0,\\\end{aligned}}} n 私 {\displaystyle n_{I}} n J {\displaystyle n_{J}} n → {\displaystyle {\vec {n}}}
注目してくださいコス （ A ） = コス （ − A ） = コス （ 360 − A ） = C {\displaystyle \cos(A)=\cos(-A)=\cos(360-A)=C} アルコス （ C ） {\displaystyle \arccos(C)} アルコス （ C ） {\displaystyle \arccos(C)} A {\displaystyle A} 360 − A {\displaystyle 360-A} コス {\displaystyle \cos } A {\displaystyle A} 360 − A {\displaystyle 360-A} n J {\displaystyle n_{J}} 周角の引数 を計算するω {\displaystyle \omega } コス （ ω ） = n → ⋅ e → n e = コス （ 360 − ω ） ⇒ ω = アルコス （ n → ⋅ e → n e ） = ω 0 、 または ⇒ ω = 360 ∘ − ω 0 、 もし e K < 0 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\omega )&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}}=\cos(360-\omega )\\\Rightarrow \omega &=\arccos \left({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {e}}}{ne}}\right)=\omega _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \omega &=360^{\circ }-\omega _{0},{\text{ if }}e_{K}<0,\\\end{aligned}}} e K {\displaystyle e_{K}} e → {\displaystyle {\vec {e}}} 真の異常値 を計算するν {\displaystyle \nu } コス （ ν ） = e → ⋅ r → e r = コス （ 360 − ν ） ⇒ ν = アルコス （ e → ⋅ r → e r ） = ν 0 、 または ⇒ ν = 360 ∘ − ν 0 、 もし r → ⋅ v → < 0. {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(\nu )&={\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}}=\cos(360-\nu )\\\Rightarrow \nu &=\arccos \left({\frac {{\vec {e}}\cdot {\vec {r}}}{er}}\right)=\nu _{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow \nu &=360^{\circ }-\nu _{0},{\text{ if }}{\vec {r}}\cdot {\vec {v}}<0.\\\end{aligned}}} r → ⋅ v → {\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {v}}} ν {\displaystyle \nu } アルコス {\displaystyle \arccos } 角度、なぜならそれは飛行経路の角度 と同じ符号を持つからであるϕ {\displaystyle \phi } ν ∈ [ 0 、 180 ∘ ] {\displaystyle \nu \in [0,180^{\circ }]} ν ∈ [ 180 ∘ 、 360 ∘ ] {\displaystyle \nu \in [180^{\circ },360^{\circ }]} 1 ]は h = r v 罪 （ 90 − ϕ ） {\displaystyle h=rv\sin(90-\phi )} r → ⋅ v → = r v コス （ 90 − ϕ ） = h タン （ ϕ ） {\displaystyle {\vec {r}}\cdot {\vec {v}}=rv\cos(90-\phi )=h\tan(\phi )} 必要に応じて、緯度の引数を計算することもできます。 u = ω + ν {\displaystyle u=\omega +\nu } コス （ u ） = n → ⋅ r → n r = コス （ 360 − u ） ⇒ u = アルコス （ n → ⋅ r → n r ） = u 0 、 または ⇒ u = 360 ∘ − u 0 、 もし r K < 0 、 {\displaystyle {\begin{aligned}\cos(u)&={\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}}=\cos(360-u)\\\Rightarrow u&=\arccos \left({\frac {{\vec {n}}\cdot {\vec {r}}}{nr}}\right)=u_{0},{\text{ or }}\\\Rightarrow u&=360^{\circ }-u_{0},{\text{ if }}r_{K}<0,\\\end{aligned}}} r K {\displaystyle r_{K}} r → {\displaystyle {\vec {r}}}
参考文献 1 2 Bate RR、Mueller DD、White JE。宇宙力学の基礎 。Courier Corporation; 1971。第2章、51ページ以降。 ↑ Gong, Xuewen; Guo, Lei; Wang, Fuhong; Zhang, Wanwei; Sang, Jizhang; Ge, Maorong; Schuh, Harald (2019年6月11日). "低コストの単一周波数GPS/BDS受信機による高精度オンボードリアルタイム軌道決定" . Remote Sensing . 11 (11): 1391. Bibcode : 2019RemS...11.1391G . doi : 10.3390/rs11111391 .
さらに読む カーティス、H.著『工学系学生のための軌道力学』 ISBN 0-7506-6169-0 。 タフ、L.著『天体力学』 第7章、第8章、ワイリー・インターサイエンス（1985年）ISBN 0-471-89316-1 。 ベイト、ミューラー、ホワイト著『宇宙力学の基礎』 第2章、第5章、ドーバー出版（1971年）ISBN 0-486-60061-0 。 マドンナ、R.；軌道力学 、第3章；クリーガー（1997）ISBN 0-89464-010-0 。 シュッツ、タプリー、ボーン著『統計的軌道決定』 、アカデミック・プレス。ISBN 978-0126836301 衛星軌道決定、コースタルベンド大学、テキサス州 
![{\displaystyle {\begin{aligned}{\vec {e}}&={{\vec {v}}\times {\vec {h}} \over {\mu }}-{{\vec {r}} \over {\left|{\vec {r}}\right|}}=e{\vec {i}}\\&=\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2} \over {\mu }}-{1 \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{{\vec {r}}\cdot {\vec {v}} \over {\mu }}{\vec {v}}\\&={\frac {1}{\mu }}\left[\left({{\left|{\vec {v}}\right|}^{2}}-{\mu \over {\left|{\vec {r}}\right|}}\right){\vec {r}}-{({\vec {r}}\cdot {\vec {v}})}{\vec {v}}\right]\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/000faeaaeedd54ee2c2b2e036e87e6304fb11565)
![{\displaystyle {\begin{aligned}\cos(i)&={\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}={\frac {h_{K}}{h}}\\\Rightarrow i&=\arccos \left({\frac {{\vec {K}}\cdot {\vec {h}}}{h}}\right),&i\in [0,180^{\circ }],\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/04c47962e4f1446cf9b4974261a43f5e9e17797c)
![{\displaystyle \nu \in [0,180^{\circ }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/434df5e48695dfff3ec9dabffa6bdfa5b45551e3)
![{\displaystyle \nu \in [180^{\circ },360^{\circ }]}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/c516d7c07c3b2adaa798ed2172434d5c5afd4f02)
