非線形シュレディンガー方程式

古典的な場の方程式（無次元形式）は次のとおりです。^{[ 10 ]}

複素数体の場合${\displaystyle \psi (x,t)}$。

この方程式はハミルトニアン^{[ 10 ]から生じる。}

${\displaystyle H=\int \mathrm {d} x\left[{1 \over 2}|\partial _{x}\psi |^{2}+{\kappa \over 2}|\psi |^{4}\right]}$

ポアソン括弧を用いて

${\displaystyle \{\psi (x),\psi (y)\}=\{\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)\}=0\,}$

${\displaystyle \{\psi ^{*}(x),\psi (y)\}=i\delta (x-y).\,}$

線形モデルとは異なり、量子状態の時間発展を記述することはない。

κが負の場合、これはフォーカシングと呼ばれ、明るいソリトン解（空間的に局在し、無限遠に向かって空間的に減衰する）とブリーザー解の両方を許容します。これは、 Zakharov & Shabat (1972)が示したように、逆散乱変換を使用して厳密に解くことができます（下記参照）。もう一方のケースであるκが正の場合、これはデフォーカシングNLSであり、暗いソリトン解（無限遠で一定の振幅を持ち、振幅に局所的な空間的ディップがある）を持ちます。^{[ 11 ]}

量子化されたバージョンを得るには、ポアソン括弧を交換子に置き換えるだけです。

${\displaystyle {\begin{aligned}{}[\psi (x),\psi (y)]&=[\psi ^{*}(x),\psi ^{*}(y)]=0\\{}[\psi ^{*}(x),\psi (y)]&=-\delta (x-y)\end{aligned}}}$

そして通常のハミルトニアン

${\displaystyle H=\int dx\left[{1 \over 2}\partial _{x}\psi ^{\dagger }\partial _{x}\psi +{\kappa \over 2}\psi ^{\dagger }\psi ^{\dagger }\psi \psi \right].}$

量子版は、リープとリニガーによるベーテ仮説によって解決された。熱力学は、チェンニン・ヤンによって記述された。量子相関関数も、1993年にコレピンによって評価された。^{[ 8 ]}このモデルにはより高次の保存則があり、1989年にデイヴィスとコレピンはそれを局所場の観点から表現した。^{[ 12 ]}

光学において、非線形シュレディンガー方程式は、光ファイバーにおける波動伝搬のモデルであるマナコフ系に現れます。関数ψは波動を表し、非線形シュレディンガー方程式は非線形媒質中における波動伝搬を記述します。2階微分項は分散を表し、κ項は非線形性を表します。この方程式は、自己位相変調、四光波混合、第二高調波発生、誘導ラマン散乱、光ソリトン、 超短パルスなど、ファイバーにおける多くの非線形効果をモデル化します。

水波の場合、非線形シュレディンガー方程式は、変調された波群の包絡線の進化を記述します。1968年の論文で、ウラジミール・E・ザハロフは水波のハミルトニアン構造について述べています。同じ論文で、ザハロフは、ゆっくりと変調された波群の場合、波の振幅が近似的に非線形シュレディンガー方程式を満たすことを示しています。^{[ 16 ]}非線形パラメータкの値は、相対的な水深に依存します。水深が水波の波長に比べて大きい深水の場合、 кは負になり、包絡線ソリトンが発生する可能性があります。さらに、これらの包絡線ソリトンの群速度は、外部の時間依存水流によって誘発される加速によって増加する可能性があります。^{[ 17 ]}

浅水域では、波長が水深の4.6倍より長い場合、非線形性パラメータκは正の値となり、包絡線ソリトンを持つ波群は存在しない。浅水域では、水面上昇ソリトンや並進波は存在するが、それらは非線形シュレディンガー方程式には従わない。

非線形シュレディンガー方程式は、異常波の形成を説明する上で重要であると考えられている。^{[ 18 ]}

複雑な場${\displaystyle \psi }$非線形シュレディンガー方程式に現れる は、水波の振幅と位相に関係しています。水面高度ηが次の形式である、ゆっくりと変調された搬送波を考えてみましょう。

${\displaystyle \eta =a(x_{0},t_{0})\;\cos \left[k_{0}\,x_{0}-\omega _{0}\,t_{0}-\theta (x_{0},t_{0})\right],}$

どこ${\displaystyle a(x_{0},t_{0})}$そして${\displaystyle \theta (x_{0},t_{0})}$ゆっくりと変調された振幅と位相である。さらに${\displaystyle \omega _{0}}$そして${\displaystyle k_{0}}$は搬送波の（一定の）角周波数と波数であり、分散関係を満たす必要がある。${\displaystyle \omega _{0}=\Omega (k_{0})}$。 それから

${\displaystyle \psi =a\;\exp \left(i\theta \right).}$

そのため、そのモジュラス${\displaystyle |\psi |}$波の振幅${\displaystyle a}$、そしてその主張${\displaystyle \arg(\psi )}$フェーズ${\displaystyle \theta }$。

物理座標間の関係${\displaystyle (x_{0},t_{0})}$そして${\displaystyle (x,t)}$上記の非線形シュレディンガー方程式で使用される座標は、次のように表されます。

${\displaystyle x=k_{0}\left[x_{0}-\Omega '(k_{0})\;t_{0}\right],\quad t=k_{0}^{2}\left[-\Omega ''(k_{0})\right]\;t_{0}}$

したがって${\displaystyle (x,t)}$は群速度で移動する変換された座標系である${\displaystyle \Omega '(k_{0})}$搬送波の分散関係曲率${\displaystyle \Omega ''(k_{0})}$（群速度分散を表す）は、重力の作用を受ける水波の場合、水深に関係なく常に負の値になります。

深水面の波動について、非線形シュレディンガー方程式の重要係数は以下のとおりである。

${\displaystyle \kappa =-2k_{0}^{2},\quad \Omega (k_{0})={\sqrt {gk_{0}}}=\omega _{0}\,\!}$ それで ${\displaystyle \Omega '(k_{0})={\frac {1}{2}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}}},\quad \Omega ''(k_{0})=-{\frac {1}{4}}{\frac {\omega _{0}}{k_{0}^{2}}},\,\!}$

ここで、gは地球表面における重力加速度である。

オリジナルでは${\displaystyle (x_{0},t_{0})}$水波の非線形シュレディンガー方程式の座標は次のようになります。^{[ 19 ]}

${\displaystyle i\,\partial _{t_{0}}A+i\,\Omega '(k_{0})\,\partial _{x_{0}}A+{\tfrac {1}{2}}\Omega ''(k_{0})\,\partial _{x_{0}x_{0}}A-\nu \,|A|^{2}\,A=0,}$

と${\displaystyle A=\psi ^{*}}$（つまり、${\displaystyle \psi }$） そして${\displaystyle \nu =\kappa \,k_{0}^{2}\,\Omega ''(k_{0}).}$それで${\displaystyle \nu ={\tfrac {1}{2}}\omega _{0}k_{0}^{2}}$深海波向け。

橋本（1972）は、ダ・リオス（1906 ）による渦糸に関する研究が非線形シュレディンガー方程式と密接に関連していることを示した。その後、サルマン（2013）はこの対応関係を利用して、渦糸に対してもブリーザー解が生じる可能性があることを示した。 

非線形シュレディンガー方程式は、以下の意味でスケール不変である。

解が与えられた${\displaystyle \psi (x,t)}$スケールを変更することで新しいソリューションが得られます${\displaystyle \psi }$、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle t}$パラメータの関数によって${\displaystyle \alpha }$:

${\displaystyle \psi (x,t)\mapsto \psi _{[\alpha ]}(x,t)=\alpha \psi (\alpha x,\alpha ^{2}t).}$

非線形シュレディンガー方程式は、以下の意味でガリレオ不変である。

解が与えられた${\displaystyle \psi (x,t)}$新しい解決策は、置き換えることによって得られます${\displaystyle x}$と${\displaystyle x+vt}$あらゆる場所で${\displaystyle \psi (x,t)}$そして位相因子を付加することで${\displaystyle e^{-iv(x+vt/2)}\,}$:

${\displaystyle \psi (x,t)\mapsto \psi _{[v]}(x,t)=\psi (x+vt,t)\;e^{-iv(x+vt/2)}.}$