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数学において、ジョージ・グラウバーマンのZ* 定理は次のように述べられます。
Z* 定理: G を有限群とし、その奇数次最大正規部分群をO ( G )とする。TがGのSylow 2 部分群で、GにおいてTの他のどの元とも共役でない反転を含む場合、その反転はG / O ( G )の中心のGにおける逆像であるZ* ( G ) に存在する。
これはBrauer-Suzuki の定理を一般化したものです(そして証明ではいくつかの小さなケースを扱うために Brauer-Suzuki の定理を使用しています)。
詳細
オリジナルの論文 Glauberman (1966) では、要素がZ* ( G ) の外側にあるためのいくつかの基準が示されています。 その定理 4 は次のように述べています。
Tの元tについて、 t がZ* ( G ) の外側にあるためには、 Gにgが存在し、Tのアーベル部分群Uが次の性質を満たすこと が必要かつ十分である。
- gはUと中心化子 C T ( U )の両方を正規化する。つまり、gはN = N G ( U ) ∩ N G ( C T ( U ))に含まれる。
- tはUに含まれ、tg ≠ gt
- UはtのN共役によって生成される
- Uの指数はtの位数に等しい
さらに、 tがTの中心にある場合はg が素数べき順序を持つように選択され、それ以外の場合はg がT内で選択される可能性があります。
単純な系は、 Tの元t がZ* ( G )に存在しないのは、 sとtが可換で、sとtがG共役であるようなs ≠ tが存在する場合のみであるということです。
奇数素数への一般化はGuralnick & Robinson (1993) に記録されている: t が素数位数pの元であり、交換子[ t , g ] の位数がすべてのgに対してpと互いに素である場合、t はp ′-核を法として中心的である。これは Mislin & Thévenaz (1991) で奇数素数とコンパクト リー群にも一般化されており、有限の場合の有用な結果もいくつか含まれている。
Henke & Semeraro (2015)は、 HがGの正規部分群である群のペア( G、 H )へのZ*定理の拡張も研究した。
引用文献
- Dade, Everett C. (1971)、「有限単純群に関する特性理論」、Powell, MB、Higman, Graham (編)、有限単純群。ロンドン数学協会 (NATO 先進研究所) 主催の教育会議議事録、オックスフォード、1969 年 9 月、ボストン、マサチューセッツ州: Academic Press、pp. 249–327、ISBN 978-0-12-563850-0、MR 0360785Brauer-Suzuki の定理の詳細な証明を示します。
- グラウバーマン、ジョージ（1966）、「コアフリー群の中心要素」、代数ジャーナル、4（3）：403–420、doi：10.1016/0021-8693（66）90030-5、ISSN 0021-8693、MR 0202822、Zbl 0145.02802
- グラルニック、ロバート M.; ロビンソン、ジェフリー R. (1993)、「ベア・スズキ定理の拡張について」、イスラエル数学ジャーナル、82 (1): 281–297、doi :10.1007/BF02808114、ISSN 0021-2172、MR 1239051、Zbl 0794.20029
- ヘンケ、エレン。ジェイソン・セメラロ（2015年10月1日）。 「正規部分群の集中化者と Z* 定理」。代数ジャーナル。439 : 511–514。arXiv : 1411.1932。土井：10.1016/j.jalgebra.2015.06.027。
- ミスリン、グイド。 Thévenaz、Jacques (1991)、「コンパクト リー群の Z*-theorem」、Mathematische Annalen、291 (1): 103–111、doi : 10.1007/BF01445193、ISSN 0025-5831、MR 1125010