最小二乗調整

最小二乗調整は、観測残差の最小二乗原理に基づく過剰決定方程式系の解法のモデルです。測量、測地学、写真測量などの分野、つまり 地理情報学の分野で広く使用されています。

最小二乗調整には、パラメトリック、条件付き、組み合わせの 3 つの形式があります。

• パラメトリック調整では、観測値YをパラメータXに関して明示的に関連付ける観測方程式h ( X ) = Yを見つけることができます（以下のAモデルにつながります）。
• 条件付き調整では、観測値Yのみ（以下のBモデルにつながる）を含む条件方程式g ( Y ) = 0が存在します（パラメータXはまったくありません）。
• 最後に、複合調整では、パラメータXと観測値Yの両方が、混合モデル方程式f ( X , Y )=0に暗黙的に含まれます。

明らかに、パラメトリック調整と条件付き調整は、それぞれf ( X , Y ) = h ( X ) - Yおよびf ( X , Y ) = g ( Y )の場合のより一般的な組み合わせのケースに対応します。ただし、特殊なケースでは、以下に詳述するように、より単純なソリューションが必要になります。文献では、Y はLと表記されることがよくあります。

上記の等式は、推定パラメータと観測値にのみ当てはまるため、 となります。対照的に、測定された観測値と近似パラメータは、非ゼロのミスクロージャを生成します。 方程式のテイラー級数展開 に進むと、ヤコビアンまたは計画行列が得られます。最初の行列 と 2 番目の行列 です。 線形化されたモデルは次のようになります。 ここで、 は事前値に対する推定パラメータ修正値であり、 は適合後の観測残差です。 ${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle {\hat {Y}}}$${\displaystyle f\left({\hat {X}},{\hat {Y}}\right)=0}$${\displaystyle {\tilde {Y}}}$${\displaystyle {\tilde {X}}}$$${\displaystyle {\tilde {w}}=f\left({\tilde {X}},{\tilde {Y}}\right).}$$$${\displaystyle A=\partial {f}/\partial {X};}$$$${\displaystyle B=\partial {f}/\partial {Y}.}$$$${\displaystyle {\tilde {w}}+A{\hat {x}}+B{\hat {y}}=0,}$$${\displaystyle {\hat {x}}={\hat {X}}-{\tilde {X}}}$${\displaystyle {\hat {y}}={\hat {Y}}-{\チルダ {Y}}}$

パラメトリック調整では、2 番目の計画行列は恒等行列B =- Iであり、ミスクロージャ ベクトルはプレフィッティング残差 として解釈できるため、システムは次のように簡略化されます 。これは、通常の最小二乗法 の形式です。条件付き調整では、最初の計画行列はヌルA = 0です。より一般的なケースでは、2 つのヤコビ行列を関連付けるためにラグランジュ乗数が導入され、制約付き最小二乗法の問題が制約なしの問題 (ただし、より大きな問題) に変換されます。いずれの場合も、それらの操作により、ベクトルとベクトル、およびそれぞれのパラメータと観測値の事後共分散行列が得られます。 ${\displaystyle {\チルダ {y}}={\チルダ {w}}=h({\チルダ {X}})-{\チルダ {Y}}}$$${\displaystyle A{\hat {x}}={\hat {y}}-{\チルダ {y}},}$$${\displaystyle {\hat {X}}}$${\displaystyle {\hat {Y}}}$

上記の行列とベクトルが与えられた場合、その解は標準的な最小二乗法によって求められます。たとえば、正規行列を形成してコレスキー分解を適用する、ヤコビ行列にQR 分解を直接適用する、非常に大規模なシステムに対して 反復法を適用するなどです。

• 水準測量、横断測量、制御ネットワーク
• バンドル調整
• 三角測量、三辺測量、三角測量
• GPS / GNSS測位
• ヘルマート変換

• パラメトリック調整はほとんどの回帰分析と似ており、ガウス・マルコフモデルと一致している。
• 複合調整とも呼ばれるガウス・ヘルメルトモデル（ドイツの数学者/測地学者CFガウスとFRヘルメルトにちなんで名付けられた）^[1][2]は、変数誤差モデルや全最小二乗法と関連している。^[3][4]
• 事前パラメータ共分散行列の使用は、ティホノフ正則化に似ている。

ランク不足が発生した場合は、パラメータや観測値に制約を課す追加の方程式を追加して、制約付き最小二乗法を実行することで、ランク不足を修正できる場合がよくあります。

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