漸進的反復近似法

PIAの補間アルゴリズムでは、^{[ 1 ] [ 3 ] [ 9 ] [ 16 ]}すべてのデータポイントが制御点として使用されます。さまざまな形状の曲線や曲面に対するPIA反復フォーマットの説明を容易にするために、次の式が統一的に使用されます。 $${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {t} )=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {P} _{i}B_{i}(\mathbf {t} ).}$$ 例えば：

• もし${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {t} )}$Bスプライン曲線の場合、$\displaystyle \mathbf {t} }$スカラーです。${\displaystyle B_{i}(t)}$はBスプライン基底関数であり、$\displaystyle \mathbf {P} _{i}}$は制御点を表します。^{[ 8 ]}
• もし${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {t} )}$Bスプラインパッチは${\displaystyle n_{u}\times n_{v}}$制御点、そして${\displaystyle \mathbf {t} =(u,v)}$そして${\displaystyle B_{i}(\mathbf {t} )=N_{i}(u)N_{i}(v)}$、 どこ${\displaystyle N_{i}(u)}$そして${\displaystyle N_{i}(v)}$Bスプライン基底関数です。^{[ 8 ]}
• もし${\displaystyle \mathbf {P} (\mathbf {t} )}$は、3変数Bスプラインソリッドであり、${\displaystyle n_{u}\times n_{v}\times n_{w}}$制御点、そして${\displaystyle \mathbf {t} =(u,v,w)}$そして${\displaystyle B_{i}(\mathbf {t} )=N_{i}(u)N_{i}(v)N_{i}(w)}$、 どこ${\displaystyle N_{i}(u)}$、${\displaystyle N_{i}(v)}$、 そして${\displaystyle N_{i}(w)}$これらはBスプライン基底関数である。^{[ 17 ]}

さらに、これはNURBS曲線と曲面、Tスプライン曲面、三角形ベルンシュタイン・ベジェ曲面にも適用できます。^{[ 18 ]}

順序付けられたデータセットが与えられた場合${\displaystyle \mathbf {Q} _{i}}$パラメータ付き$t_i$満足${\displaystyle t_{1}<t_{2}<\cdots }$のために${\displaystyle i=1,2,\cdots ,n}$初期フィッティング曲線は次のとおりです。^{[ 1 ]}$${\displaystyle \mathbf {P} ^{(0)}(t)=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {P} _{i}^{(0)}B_{i}(t)}$$ 初期フィッティング曲線の初期制御点${\displaystyle \mathbf {P} _{i}^{(0)}}$ランダムに選択できます。${\displaystyle k}$番目の反復では、${\displaystyle k}$フィッティング曲線${\displaystyle \mathbf {P} ^{(k)}(t)}$によって生成されます

構築するために${\displaystyle (k+1)}$st曲線では、まず差分ベクトルを計算します。 $${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}=\mathbf {Q} _{i}-\mathbf {P} ^{(k)}(t_{i}),\quad i=1,2,\cdots ,n}$$ そしてそれらを使用して制御点を更新します $${\displaystyle \mathbf {P} _{i}^{(k+1)}=\mathbf {P} _{i}^{(k)}+\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}}$$ これは${\displaystyle (k+1)}$st フィッティング曲線: $$\displaystyle \mathbf {P} ^{(k+1)}(t)=\sum _{i=1}^{n}\mathbf {P} _{i}^{(k+1)}B_{i}(t).}$$ このようにして、一連の曲線が得られます。${\textstyle \mathbf {P} ^{(\alpha )}(t),\alpha =0,​​1,2,\cdots }$これは、与えられたデータ点を補間する極限曲線に収束します。^{[ 1 ] [ 9 ]}すなわち、 $${\displaystyle \lim \limits _{\alpha \rightarrow \infty }\mathbf {P} ^{(\alpha )}(t_{i})=\mathbf {Q} _{i},\quad i=1,2,\cdots ,n.}$$

Bスプライン曲線および曲面フィッティング問題に対して、DengとLinは最小二乗漸進反復近似法（LSPIA）を提案した^{[ 10 ] [ 19 ]。}この方法では、制御点の数がデータ点の数よりも少なくなり、大規模なデータフィッティング問題により適している^{[ 10 ] 。}

存在すると仮定する${\displaystyle m}$データポイントと${\displaystyle n}$制御ポイントでは、${\displaystyle n\leq m}$式（１）から始め、${\displaystyle k}$th フィッティング曲線として $${\displaystyle \mathbf {P} ^{(k)}(t)=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k)}B_{j}(t)。}$$ 生成するために${\displaystyle (k+1)}$フィッティング曲線を作成するために、まずデータ点の差分ベクトルを計算します^{[ 10 ] [ 19 ]}$${\displaystyle {\boldsymbol {\delta }}_{i}^{(k)}=\mathbf {Q} _{i}-\mathbf {P} ^{(k)}(t_{i}),\quad i=1,2,\cdots ,m}$$ そして、制御点の差分ベクトル $${\displaystyle \mathbf {\Delta } _{j}^{(k)}={\frac {\sum _{i\in I_{j}}{c_{i}B_{j}(t_{i}){\boldsymbol {\delta }}_{i}^{(k)}}}{\sum _{i\in I_{j}}c_{i}B_{j}(t_{i})}},\quad j=1,2,\cdots ,n}$$ どこ${\displaystyle I_{j}}$これは、データポイントのインデックスセットです。${\displaystyle j}$パラメータが局所的なサポートの範囲内にある第 1 グループ${\displaystyle j}$th 基底関数、すなわち、${\displaystyle B_{j}(t_{i})\neq 0}$.${\displaystyle c_{i}}$はアルゴリズムの収束を保証する重みであり、通常は次のように定義されます。${\displaystyle c_{i}=1,i\in I_{j}}$。

最後に、${\displaystyle (k+1)}$th 曲線は更新されます${\displaystyle \mathbf {P} _{j}^{(k+1)}=\mathbf {P} _{j}^{(k)}+\mathbf {\Delta } _{j}^{(k)},}$につながる${\displaystyle (k+1)}$フィッティング曲線${\displaystyle \mathbf {P} ^{(k+1)}(t)}$このようにして、一連の曲線が得られ、極限曲線は与えられたデータ点に対する最小二乗近似結果に収束する。 ^{[ 10 ] [ 19 ]}

ローカルPIA法では、^{[ 12 ]}制御点はアクティブ制御点と固定制御点に分けられ、その添え字は次のように表される。${\textstyle I=\left\{i_{1},i_{2},\cdots ,i_{I}\right\}}$そして${\textstyle J=\left\{j_{1},j_{2},\cdots ,j_{J}\right\}}$それぞれ。${\textstyle k}$th フィッティング曲線は${\textstyle \mathbf {P} ^{(k)}(t)=\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k)}B_{j}(t)}$固定制御点が以下を満たす $${\displaystyle \mathbf {P} _{j}^{(k)}=\mathbf {P} _{j}^{(0)},\quad j\in J,\quad k=0,1,2,\cdots .}$$ すると、一方では、差分ベクトルの反復式${\textstyle \mathbf {\Delta } _{h}^{(k+1)}}$固定制御点に対応するのは $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Delta } _{h}^{(k+1)}&=\mathbf {Q} _{h}-\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k+1)}B_{j}(t_{h})\\&=\mathbf {Q} _{h}-\sum _{j\in J}\mathbf {P} _{j}^{(k+1)}B_{j}(t_{h})-\sum _{i\in I}\left(\mathbf {P} _{i}^{(k)}+\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}\right)B_{i}(t_{h})\\&=\mathbf {Q} _{h}-\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k)}B_{j}(t_{h})-\sum _{i\in I}\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}B_{i}(t_{h})\\&=\mathbf {\Delta } _{h}^{(k)}-\sum _{i\in I}\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}B_{i}(t_{h}),\quad h\in J.\end{aligned}}}$$ 一方、差分ベクトルの反復式は${\textstyle \mathbf {D} _{l}^{(k+1)}}$アクティブ制御点に対応するのは $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {\Delta } _{l}^{(k+1)}&=\mathbf {Q} _{l}-\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k+1)}B_{j}(t_{l})\\&=\mathbf {Q} _{l}-\sum _{j=1}^{n}\mathbf {P} _{j}^{(k)}B_{j}(t_{l})-\sum _{i\in I}\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}B_{i}(t_{l})\\&=\mathbf {\Delta } _{l}^{(k)}-\sum _{i\in I}\mathbf {\Delta } _{i}^{(k)}B_{i}(t_{l})\\&=-\mathbf {\Delta } _{i_{1}}^{(k)}B_{i_{1}}(t_{l})-\mathbf {\Delta } _{i_{2}}^{(k)}B_{i_{2}}(t_{l})-\cdots +\left(1-B_{l}(t_{l})\right)\mathbf {\Delta } _{l}^{(k)}-\cdots -\mathbf {\Delta } _{i_{I}}^{(k)}B_{i_{I}}(t_{l}),\quad l\in I.\end{aligned}}}$$ 上記の差分ベクトルを1次元のシーケンスに並べると、 $${\displaystyle \mathbf {D} ^{(k+1)}=\left[\mathbf {\Delta } _{j_{1}}^{(k+1)},\mathbf {\Delta } _{j_{2}}^{(k+1)},\cdots ,\mathbf {\Delta } _{j_{J}}^{(k+1)},\mathbf {\Delta } _{i_{1}}^{(k+1)},\mathbf {\Delta } _{i_{2}}^{(k+1)},\cdots ,\mathbf {\Delta } _{i_{I}}^{(k+1)}\right]^{T},\quad k=0,1,2,\cdots ,}$$ 行列形式での局所反復フォーマットは次のとおりです。 $${\displaystyle \mathbf {D} ^{(k+1)}=\mathbf {T} \mathbf {D} ^{(k)},\quad k=0,1,2,\cdots ,}$$ どこ${\textstyle \mathbf {T} }$反復行列は次のとおりです。 $${\displaystyle \mathbf {T} ={\begin{bmatrix}\mathbf {E} _{J}&-\mathbf {B} _{1}\\0&\mathbf {E} _{I}-\mathbf {B} _{2}\end{bmatrix}},}$$ どこ${\textstyle \mathbf {E} _{J}}$そして${\textstyle \mathbf {E} _{I}}$は単位行列であり、 $${\displaystyle \mathbf {B} _{1}={\begin{bmatrix}B_{i_{1}}\left(t_{j_{1}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{j_{1}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{j_{1}}\right)\\B_{i_{1}}\left(t_{j_{2}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{j_{2}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{j_{2}}\right)\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\B_{i_{1}}\left(t_{j_{J}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{j_{J}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{j_{J}}\right)\\\end{bmatrix}},\mathbf {B} _{2}={\begin{bmatrix}B_{i_{1}}\left(t_{i_{1}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{i_{1}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{i_{1}}\right)\\B_{i_{1}}\left(t_{i_{2}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{i_{2}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{i_{2}}\right)\\\vdots &\vdots &\vdots &\vdots \\B_{i_{1}}\left(t_{i_{I}}\right)&B_{i_{2}}\left(t_{i_{I}}\right)&\cdots &B_{i_{I}}\left(t_{i_{I}}\right)\\\end{bmatrix}}.}$$^{上記の局所反復形式は収束し、ブレンド曲面[ 12 ]や細分化曲面[ 20 ]} にも拡張できます。

陰関数曲線および曲面再構成のためのPIAフォーマットを以下に示す。^{[ 11 ]}順序付けられた点群が与えられた場合${\textstyle \left\{\mathbf {Q} _{i}\right\}_{i=1}^{n}}$単位法線ベクトル${\textstyle \left\{\mathbf {n} _{i}\right\}_{i=1}^{n}}$データ点上で、与えられた点群から暗黙の曲線を再構築したい。自明な解を避けるために、いくつかのオフセット点${\textstyle \left\{\mathbf {Q} _{l}\right\}_{l=n+1}^{2n}}$点群に追加されます。^{[ 11 ]}距離だけオフセットされます。${\textstyle \sigma }$各点の単位法線ベクトルに沿って $${\displaystyle \mathbf {Q} _{l}=\mathbf {Q} _{i}+\sigma \mathbf {n} _{i},\quad l=n+i,\quad i=1,2,\cdots ,n.}$$ と仮定する${\textstyle \epsilon }$はオフセット点における 暗黙関数の値です。$${\displaystyle f\left(\mathbf {Q} _{l}\right)=\epsilon ,\quad l=n+1,n+2,\cdots ,2n.}$$ 陰関数曲線は${\textstyle \alpha }$th 回目の反復は $${\displaystyle f^{(\alpha )}(x,y)=\sum _{i=1}^{N_{u}}\sum _{j=1}^{N_{v}}C_{ij}^{(\alpha )}B_{i}(x)B_{j}(y),}$$ どこ${\textstyle C_{ij}^{(\alpha )}}$制御点です。

データ点の差分ベクトルを次のように定義します^{[ 11 ]}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\delta }}_{k}^{(\alpha )}&=0-f^{(\alpha )}(x_{k},y_{k}),\quad k=1,2,\cdots ,n,\\{\boldsymbol {\delta }}_{l}^{(\alpha )}&=\epsilon -f^{(\alpha )}(x_{l},y_{l}),\quad l=n+1,n+2,\cdots ,2n.\end{aligned}}}$$ 次に、制御係数の差分ベクトルを計算します。 $${\displaystyle {\boldsymbol {\Delta }}_{ij}^{(\alpha )}=\mu \sum _{k=1}^{2n}B_{i}(x_{k})B_{j}(y_{k}){\boldsymbol {\delta }}_{k}^{(\alpha )},\quad i=1,2,\cdots ,N_{u},\quad j=1,2,\cdots ,N_{v},}$$ どこ${\textstyle \mu }$は収束係数です。結果として、新しい制御係数は次のようになります。 $${\displaystyle C_{ij}^{(\alpha +1)}=C_{ij}^{(\alpha )}+{\boldsymbol {\Delta }}_{ij}^{(\alpha )},}$$ これにより、新しい代数Bスプライン曲線が得られる。 $${\displaystyle f^{(\alpha +1)}(x,y)=\sum _{i=1}^{N_{u}}\sum _{j=1}^{N_{v}}C_{ij}^{(\alpha +1)}B_{i}(x)B_{j}(y).}$$ 上記の手順を繰り返し実行することで、一連の代数的Bスプライン関数を生成する。${\textstyle \left\{f^{(\alpha )}(x,y),\quad \alpha =0,1,2,\cdots \right\}}$初期制御係数が${\textstyle C_{ij}^{(0)}=0}$[ ^{11 ]​}

暗黙の曲面が生成されたと仮定します。${\textstyle \alpha }$番目の反復は $${\displaystyle f^{(\alpha )}(x,y,z)=\sum _{i=1}^{N_{u}}\sum _{j=1}^{N_{v}}\sum _{k=1}^{N_{w}}C_{ijk}^{(\alpha )}B_{i}(x)B_{j}(y)B_{k}(z),}$$ 反復形式は曲線の場合と同様である。^{[ 11 ] [ 21 ]}

フェアリングPIAを開発するために、まず次のように関数を定義します。^{[ 13 ]}$${\displaystyle {\mathcal {F}}_{r,j}(f)=\int _{t_{1}}^{t_{m}}B_{r,j}(t)fdt,\quad j=1,2,\cdots ,n,\quad r=1,2,3,}$$ どこ${\textstyle B_{r,j}(t)}$は${\textstyle r}$基底関数の 階微分${\textstyle B_{j}(t)}$[ ^{8 ]}（例：^Bスプライン基底関数）。

曲線の後に${\textstyle k}$th 回目の反復は $${\displaystyle \mathbf {P} ^{[k]}(t)=\sum _{j=1}^{n}B_{j}(t)\mathbf {P} _{j}^{[k]},\quad t\in [t_{1},t_{m}].}$$ 新しい曲線を作成する${\textstyle \mathbf {P} ^{[k+1]}(t)}$まず、${\textstyle (k+1)}$データポイントの差分ベクトル、^{[ 13 ]}$${\displaystyle \mathbf {d} _{i}^{[k]}=\mathbf {Q} _{i}-\mathbf {P} ^{[k]}(t_{i}),\quad i=1,2,\cdots ,m.}$$ 次に、制御点の適合差ベクトルとフェアリングベクトルは^{[ 13 ]によって計算されます。}$${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\delta }}_{j}^{[k]}&=\sum _{h\in I_{j}}B_{j}(t_{h})\mathbf {d} _{h}^{[k]},\quad j=1,2,\cdots ,n\\{\boldsymbol {\eta }}_{j}^{[k]}&=\sum _{l=1}^{n}{\mathcal {F}}_{r,l}\left(B_{r,j}(t)\right)\mathbf {P} _{l}^{[k]},\quad j=1,2,\cdots ,n\\\end{aligned}}}$$ 最後に、${\displaystyle (k+1)}$st曲線は^{[ 13 ]によって生成される。}$${\displaystyle \mathbf {P} _{j}^{[k+1]}=\mathbf {P} _{j}^{[k]}+\mu _{j}\left[\left(1-\omega _{j}\right){\boldsymbol {\delta }}_{j}^{[k]}-\omega _{j}{\boldsymbol {\eta }}_{j}^{[k]}\right],\quad j=1,2,\cdots ,n,}$$ どこ${\displaystyle \mu _{j}}$は正規化重みであり、${\displaystyle \omega _{j}}$は、${\displaystyle j}$制御点。平滑化重みは個別に平滑度を調整するために使用でき、平滑度に関して大きな柔軟性をもたらします。^{[ 13 ]}平滑化重みが大きいほど、生成される曲線は滑らかになります。新しい曲線は次のように得られます。 $${\displaystyle \mathbf {P} ^{[k+1]}(t)=\sum _{j=1}^{n}B_{j}(t)\mathbf {P} _{j}^{[k+1]},\quad t\in [t_{1},t_{m}].}$$ このようにして、一連の曲線が得られます。${\textstyle \left\{\mathbf {P} ^{[k]}(t),\;k=1,2,3,\cdots \right\}}$。すべての平滑化重みが等しい場合、このシーケンスはエネルギー最小化に基づく従来の平滑化方法の解に収束します（${\textstyle \omega _{j}=\omega }$) ^{[ 13 ]}同様に、フェアリングPIAは表面ケースにも拡張できます。

等幾何最小二乗漸進反復近似法 (IG-LSPIA)。^{[ 14 ]}境界値問題が与えられた場合^{[ 15 ]}$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\mathcal {L}}u=f,&\quad {\text{in}}\;\Omega ,\\{\mathcal {G}}u=g,&\quad {\text{on}}\;\partial \Omega ,\end{aligned}}\right.}$$ どこ${\textstyle u:\Omega \to \mathbb {R} }$未知の解は、${\textstyle {\mathcal {L}}}$は微分演算子です。${\textstyle {\mathcal {G}}}$は境界演算子であり、${\textstyle f}$そして${\textstyle g}$これらは連続関数です。等幾何解析法では、この境界値問題の数値解を求めるために、NURBS基底関数^{[ 8 ]が形状関数として使用されます。 [ 15 ]}数値解を表すためにも同じ基底関数が適用されます。${\textstyle u_{h}}$そして幾何学的マッピング${\textstyle G}$: $${\displaystyle {\begin{aligned}u_{h}\left({\hat {\tau }}\right)&=\sum _{j=1}^{n}R_{j}({\hat {\tau }})u_{j},\\G({\hat {\tau }})&=\sum _{j=1}^{n}R_{j}({\hat {\tau }})P_{j},\end{aligned}}}$$ どこ${\textstyle R_{j}({\hat {\tau }})}$はNURBS基底関数を表し、${\textstyle u_{j}}$は制御係数です。コロケーション点^{[ 22 ]を代入した後}${\textstyle {\hat {\tau }}_{i},i=1,2,...,{m}}$PDEの強い形式にすると、離散化された問題が得られます^{[ 22 ]}$${\displaystyle \left\{{\begin{aligned}{\mathcal {L}}u_{h}({\hat {\tau }}_{i})=f(G({\hat {\tau }}_{i})),&\quad i\in {\mathcal {I_{L}}},\\{\mathcal {G}}u_{h}({\hat {\tau }}_{j})=g(G({\hat {\tau }}_{j})),&\quad j\in {\mathcal {I_{G}}},\end{aligned}}\right.}$$ どこ${\textstyle {\mathcal {I_{L}}}}$そして${\textstyle {\mathcal {I_{G}}}}$それぞれ、内部および境界のコロケーション点の添え字を表す。

制御係数の配置${\textstyle u_{j}}$数値解の${\textstyle u_{h}({\hat {\tau }})}$に${\textstyle 1}$次元列ベクトル${\textstyle \mathbf {U} =[u_{1},u_{2},...,u_{n}]^{T}}$離散化された問題は、行列形式で次のように再定式化できます。 $${\displaystyle \mathbf {AU} =\mathbf {b} }$$ どこ${\textstyle \mathbf {A} }$はコロケーション行列であり、${\textstyle \mathbf {b} }$は荷重ベクトルです。

離散化された負荷値はデータポイントであると仮定する。${\textstyle \left\{b_{i}\right\}_{i=1}^{m}}$適合させる。制御係数の初期推定値を与える${\textstyle \left\{u_{j}^{(0)}\right\}_{j=1}^{n},n<m}$初期ブレンド関数^{[ 14 ]が得られます。}$${\displaystyle U^{(0)}({\hat {\tau }})=\sum _{j=1}^{n}A_{j}({\hat {\tau }})u_{j}^{(0)},\quad {\hat {\tau }}\in [{\hat {\tau }}_{1},{\hat {\tau }}_{m}],}$$ どこ${\textstyle A_{j}({\hat {\tau }})}$、${\textstyle j=1,2,\cdots ,n}$は、演算子を使用して決定されたNURBS基底関数の異なる次数の導関数の組み合わせを表します。${\textstyle {\mathcal {L}}}$そして${\textstyle {\mathcal {G}}}$$${\displaystyle A_{j}({\hat {\tau }})=\left\{{\begin{aligned}{\mathcal {L}}R_{j}({\hat {\tau }}),&\quad {\hat {\tau }}\ {\text{in}}\ \Omega _{p}^{in},\\{\mathcal {G}}R_{j}({\hat {\tau }}),&\quad {\hat {\tau }}\ {\text{in}}\ \Omega _{p}^{bd},\quad j=1,2,\cdots ,n,\end{aligned}}\right.}$$ どこ${\textstyle \Omega _{p}^{in}}$そして${\textstyle \Omega _{p}^{bd}}$それぞれパラメータ領域の内部と境界を示します。${\textstyle A_{j}({\hat {\tau }})}$対応する${\textstyle j}$th制御係数。${\textstyle J_{in}}$そして${\textstyle J_{bd}}$は、それぞれ内部制御係数と境界制御係数のインデックス集合です。一般性を失うことなく、境界制御係数は強または弱の制約を使用して取得され、固定されているとさらに仮定します。 $${\displaystyle u_{j}^{(k)}=u_{j}^{*},\quad j\in J_{bd},\quad k=0,1,2,\cdots .}$$ の${\textstyle k}$th ブレンド関数は、${\textstyle k}$IG-LSPIAの第 1 回目の反復^{[ 14 ]}は、次のように仮定される。 $${\displaystyle U^{(k)}({\hat {\tau }})=\sum _{j=1}^{n}A_{j}({\hat {\tau }})u_{j}^{(k)},\quad {\hat {\tau }}\in [{\hat {\tau }}_{1},{\hat {\tau }}_{m}].}$$ 次に、コロケーション点の差分ベクトル（DCP）は、${\textstyle (k+1)}$st反復は以下を使用して得られます $${\displaystyle {\begin{aligned}{\boldsymbol {\delta }}_{i}^{(k)}&=b_{i}-\sum _{j=1}^{n}A_{j}({\hat {\tau }}_{i})u_{j}^{(k)}\\&=b_{i}-\sum _{j\in J_{bd}}A_{j}({\hat {\tau }}_{i})u_{j}^{(k)}-\sum _{j\in J_{in}}A_{j}({\hat {\tau }}_{i})u_{j}^{(k)},\quad i=1,2,...,m.\end{aligned}}}$$ さらに、パラメータがローカルサポートの範囲内にあるすべての負荷値をグループ化します。${\textstyle j}$階微分関数、すなわち、${\textstyle A_{j}({\hat {\tau }}_{i})\neq 0}$へ${\textstyle j}$に対応する 番目のグループ${\textstyle j}$番目の制御係数、そして、のインデックスセットを表す。${\textstyle j}$負荷値のグループとして${\textstyle I_{j}}$最後に、制御係数の差分（DCC）は次のように構築できます。^{[ 14 ]}$${\displaystyle d_{j}^{(k)}=\mu \sum _{h\in I_{j}}A_{j}({\hat {\tau }}_{h}){\boldsymbol {\delta }}_{h}^{(k)},\quad j=1,2,...,n,}$$ どこ${\textstyle \mu }$これは、アルゴリズムの収束を保証するための正規化重みです。

したがって、新しい制御係数は次の式によって更新されます。 $${\displaystyle u_{j}^{(k+1)}=u_{j}^{(k)}+d_{j}^{(k)},\quad j=1,2,...,n,}$$ したがって、${\textstyle (k+1)}$stブレンド関数は次のように生成されます。 $${\displaystyle U^{(k+1)}({\hat {\tau }})=\sum _{j=1}^{n}A_{j}({\hat {\tau }})u_{j}^{(k+1)}.}$$ 上記の反復処理は、所望の適合精度に達し、一連のブレンド関数が得られるまで実行されます。 $${\displaystyle \left\{U^{(k)}({\hat {\tau }}),k=0,1,\dots \right\}.}$$ IG-LSPIAは、制約付き最小二乗コロケーション問題の解に収束する。^{[ 14 ]}

制御点の数をn 、データ点の数をmとする。

もし${\textstyle n=m}$行列形式のPIA反復形式は ^{[ 1 ]です。}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P^{(\alpha +1)}} &=\mathbf {P^{(\alpha )}} +\mathbf {\Delta } ^{(\alpha )}\\&=\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mathbf {Q} -\mathbf {B} \mathbf {P} ^{(\alpha )}\\&=\left(\mathbf {I} -\mathbf {B} \right)\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mathbf {Q} \end{aligned}}}$$ どこ $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {Q} &=\left[\mathbf {Q} _{1},\mathbf {Q} _{2},\cdots ,\mathbf {Q} _{m}\right]^{T}\\\mathbf {P^{(\alpha )}} &=\left[\mathbf {P} _{1}^{(\alpha )},\mathbf {P} _{2}^{(\alpha )},\cdots ,\mathbf {P} _{n}^{(\alpha )}\right]^{T}\\\mathbf {\Delta } ^{(\alpha )}&=\left[\mathbf {\Delta } _{1}^{(\alpha )},\mathbf {\Delta } _{2}^{(\alpha )},\cdots ,\mathbf {\Delta } _{n}^{(\alpha )}\right]^{T}\\\mathbf {B} &={\begin{bmatrix}B_{1}(t_{1})&B_{2}(t_{1})&\cdots &B_{n}(t_{1})\\B_{1}(t_{2})&B_{2}(t_{2})&\cdots &B_{n}(t_{2})\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\B_{1}(t_{m})&B_{2}(t_{m})&\cdots &B_{n}(t_{m})\\\end{bmatrix}}.\end{aligned}}}$$ PIAの収束は、コロケーション行列の特性に関連しています。反復行列のスペクトル半径が${\displaystyle \mathbf {I} -\mathbf {B} }$より小さい${\displaystyle 1}$そうすれば、PIAは収束する。PIA法は、ベジェ曲線と曲面、Bスプライン曲線と曲面、NURBS曲線と曲面、三角形ベルンシュタイン・ベジェ曲面、および細分曲面（Loop、Catmull-Clark、Doo-Sabin）に対して収束することが示されている。^{[ 2 ]}

もし${\textstyle n<m}$行列形式のLSPIAは^{[ 10 ] [ 19 ]である。}$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P^{(\alpha +1)}} &=\mathbf {P^{(\alpha )}} +\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {\Delta } ^{(\alpha )}\\&=\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mu \mathbf {B} ^{T}\left(\mathbf {Q} -\mathbf {B} \mathbf {P} ^{(\alpha )}\right)\\&=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} .\end{aligned}}}$$ 行列が${\textstyle \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }$が非特異である場合、次の結果が得られます。^{[ 23 ]}

証明以来${\textstyle \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }$は非単数であり、${\textstyle \mu >0}$、 それから${\textstyle \lambda (\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )>0}$。 さらに、 $${\displaystyle \lambda (\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )=\mu \lambda (\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )<2{\frac {\lambda (\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )}{\lambda _{0}}}<2.}$$ 要約すれば、${\textstyle 0<\lambda (\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} )<2}$。

証明反復形式の行列形式から、次の式が得られます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {P^{(\alpha +1)}} &=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\mathbf {P} ^{(\alpha )}+\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} ,\\&=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\left[\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\mathbf {P} ^{(\alpha -1)}+\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} \right]+\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} ,\\&=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{2}\mathbf {P} ^{(\alpha -1)}+\sum _{i=0}^{1}\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} ,\\&=\cdots \\&=\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{\alpha +1}\mathbf {P} ^{(0)}+\sum _{i=0}^{\alpha }\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{\alpha }\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} .\\\end{aligned}}}$$ 上記の補題によれば、行列のスペクトル半径は${\textstyle \mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }$満たす $${\displaystyle 0<\rho \left({\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }\right)<2}$$ したがって、反復行列のスペクトル半径は以下を満たす。 $${\displaystyle 0<\rho \left({\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} }\right)<1.}$$ いつ${\textstyle \alpha \rightarrow \infty }$$${\displaystyle \left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{\infty }=0,\ \sum _{i=0}^{\infty }\left(\mathbf {I} -\mu \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{\alpha }={\frac {1}{\mu }}\left(\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{-1}.}$$ 結果として、 $${\displaystyle \mathbf {P} ^{(\infty )}=\left(\mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \right)^{-1}\mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} ,}$$ つまり、${\textstyle \mathbf {B} ^{T}\mathbf {B} \mathbf {P} ^{(\infty )}=\mathbf {B} ^{T}\mathbf {Q} }$これは、フィッティング問題の通常の方程式と同等です。したがって、LSPIAアルゴリズムは、与えられた点列に対して最小二乗の結果に収束します。

Linらは、反復行列が特異な場合でもLSPIAが収束することを示した。^{[ 18 ]}

• 適応型データフィッティング：制御点は、アクティブ制御点と固定制御点に分けられます。各反復ラウンドで、データ点のフィッティング誤差が所定の精度に達した場合、対応する制御点は固定され、更新されません。この反復プロセスは、すべての制御点が固定されるまで繰り返されます。このアルゴリズムは、アクティブ制御点の数を適応的に減らすことで、大規模データフィッティングにおいて優れた性能を発揮します。^{[ 31 ]}
• 大規模データフィッティング：TスプラインとPIAを組み合わせることで、大規模データセットのフィッティングに適した増分フィッティングアルゴリズムが提案されています。増分反復では、各反復ラウンドで前回の反復ラウンドの情報が再利用されるため、計算が節約されます。従来の点ごとの反復アルゴリズムでは、制御点の数が増えるにつれて収束速度が低下しますが、PIAでは各反復ステップの計算は制御点の数とは無関係です。これにより、PIAはデータフィッティングにおいて強力な能力を発揮します。^{[ 10 ]}
• ローカルフィッティング: PIA のローカル特性に基づいて、一連のローカル PIA フォーマットが提案されています。^{[ 12 ] [ 32 ]}

陰関数曲線および曲面の再構成において、PIAは追加のゼロレベルセットと正則化項を回避するため、再構成アルゴリズムの速度が大幅に向上する。^{[ 11 ]}

まず、元の曲線上でデータ点をサンプリングします。次に、これらのサンプリングされた点からオフセット曲線の初期多項式近似曲線または有理近似曲線を生成します。最後に、PIA法を使用してオフセット曲線を反復的に近似します。^{[ 33 ]}

入力として三角形メッシュモデルが与えられると、アルゴリズムはまず初期六面体メッシュを構築し、次に表面の四角形メッシュを初期境界メッシュとして抽出します。反復処理中、各メッシュ頂点の移動はメッシュの妥当性を保証するために制約されます。最後に、六面体モデルが与えられた入力モデルに適合されます。このアルゴリズムは、生成された六面体メッシュの妥当性、すなわち各メッシュ頂点のヤコビ値がゼロより大きいことを保証できます。^{[ 34 ]}

まず、画像データはヒルベルトスキャンによって一次元シーケンスに変換されます。次に、これらのデータポイントはLSPIAによってフィッティングされ、ヒルベルト曲線が生成されます。最後に、ヒルベルト曲線がサンプリングされ、圧縮された画像が再構成されます。この方法は、ピクセルの近傍情報を十分に保持できます。^{[ 35 ]}

データ点セットが与えられた場合、まずフェアリング関数を定義し、制御点の適合差ベクトルとフェアリングベクトルを計算します。次に、フェアリング重みで制御点を調整します。上記の手順に従って、フェアリング曲線と曲面を反復的に生成できます。十分なフェアリングパラメータにより、この方法はグローバルまたはローカルのフェアリングを実現できます。また、反復の各ラウンド後にノットベクトル、フェアリング重み、またはデータパラメータ化を柔軟に調整できます。従来のエネルギー最小化法は、この方法の特殊なケースであり、つまり、平滑化重みがすべて同じ場合です。^{[ 13 ]}

離散化された荷重値はデータ点の集合とみなされ、基底関数とその導関数の組み合わせがフィッティングのためのブレンド関数として使用されます。この方法は、ブレンド関数の荷重値へのフィッティング結果に応じて、偏微分方程式の数値解の自由度を自動的に調整します。さらに、1ステップあたりの平均反復時間は、データ点（すなわち、コロケーション点）の数のみに関係し、制御係数の数には関係しません。^{[ 14 ]}