線形トレンド推定

線形トレンド推定は、データパターンを分析するために用いられる統計的手法です。データパターン、すなわちトレンドは、収集された情報が時間の経過とともに増加または減少する傾向にある場合、あるいは外部要因の変化によって影響を受ける場合に発生します。線形トレンド推定は、基本的にデータのグラフ上に直線を描き、データの一般的な方向性をモデル化します。

与えられたデータセットに対して、データに適合する様々な関数を選択することができます。最も単純な関数は直線であり、縦軸に従属変数（通常は測定データ）、横軸に独立変数（多くの場合時間）をとります。

最小二乗法は、データに直線を当てはめる一般的な方法です。この方法は、データ系列の二乗誤差の合計を最小化します。${\displaystyle y}$一連の時点が与えられた場合${\displaystyle t}$およびデータ値$\displaystyle y_t}}$これらの時点において観測された値は、${\displaystyle {\hat {a}}}$そして${\displaystyle {\hat {b}}}$二乗誤差の合計を最小化するように選択されます

$\displaystyle \sum _{t}\left[y_{t}-\left({\hat {a}}t+{\hat {b}}\right)\right]^{2}}$。

この式はまず、観測データ間の差を計算します。$\displaystyle y_t}}$そして推定値${\displaystyle ({\hat {a}}t+{\hat {b}})}$各データポイントの差を二乗し、それらを合計することで、「二乗和」による誤差の測定値が得られます。${\displaystyle {\hat {a}}}$そして${\displaystyle {\hat {b}}}$データから導出された単純な線形推定量のパラメータ化${\displaystyle {\hat {y}}={\hat {a}}x+{\hat {b}}}$「トレンド」という用語は、傾斜を指します。${\displaystyle {\hat {a}}}$最小二乗推定量において。

（時系列）データを分析する場合、それはトレンドとノイズの和として表現できると仮定することができる。

${\displaystyle y_{t}=at+b+e_{t}\,}$

どこ${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$は未知の定数であり、${\displaystyle e}$はランダムに分布する誤差です。誤差が非定常であるという帰無仮説を棄却できる場合、非定常系列は${\displaystyle \{y_{t}\}}$トレンド定常性と呼ばれる。最小二乗法は、誤差が独立に正規分布に従うと仮定する。そうでない場合は、未知のパラメータに関する仮説検定を行う。${\displaystyle a}$そして${\displaystyle b}$不正確な場合があります。最も簡単なのは、${\displaystyle e}$はすべて同じ分布を持つが、そうでない場合（分散が大きいデータポイントがあり、それらのデータポイントの確実性が実質的に低い場合）、最小二乗法によるフィッティングの際に、各ポイントの分散の逆数で重み付けすることで、これを考慮に入れることができる。

一般的に、分析対象となる時系列が1つしかない場合、${\displaystyle e}$'sは、トレンドを当てはめて推定パラメータ値を取得することによって推定されます。${\displaystyle {\hat {a}}}$そして${\displaystyle {\hat {b}},}$これにより予測値が可能になります

${\displaystyle {\hat {y}}={\hat {a}}t+{\hat {b}}}$

データから差し引かれる$\displaystyle y_t}}$（このようにしてデータからトレンドを除去し、残差を残す）$\displaystyle {\hat {e}}_{t}}$トレンド除去データとして、分散を推定する${\displaystyle e_{t}}$残差から 's を推定する — これは多くの場合、 の分散を推定する唯一の方法です。${\displaystyle e_{t}}$の。

系列の「ノイズ」がわかれば、傾向の有意性は、傾向が、${\displaystyle a}$は 0 と異ならない。既知の分散を持つランダムデータの傾向に関する上記の議論から、計算された傾向の分布はランダム（傾向のない）データから期待される。推定された傾向が、${\displaystyle {\hat {a}}}$が特定の有意水準の臨界値よりも大きい場合、推定された傾向はその有意水準でゼロとは有意に異なるとみなされ、基礎となる傾向がゼロであるという帰無仮説は棄却される。

線形トレンドラインの使用は批判の対象となっており、モデル推定においてその使用を避けるための代替手法が模索されてきた。代替手法の一つとして、計量経済学における単位根検定と共和分分析が挙げられる。

時間などの線形トレンド変数に関連付けられた推定係数は、未知の、あるいは既知ではあるものの測定不可能な多数の要因が、ある一定期間にわたって従属変数に与える影響の尺度として解釈されます。厳密に言えば、この解釈は推定期間にのみ適用されます。この期間外では、これらの測定不可能な要因が質的にも量的にもどのように振る舞うかを判断することはできません。

これらの疑問に答える形で、数学者、統計学者、計量経済学者、経済学者による研究結果が発表されています。例えば、回帰モデルにおける線形時間トレンドの意味に関する詳細な解説は、Cameron (2005) に記載されています。^{[ 1 ]} Granger、Engle、その他多くの計量経済学者は、定常性、単位根検定、共和分、および関連する問題について執筆しています（この分野のいくつかの研究の概要は、スウェーデン王立科学アカデミー (2003) の情報論文^{[ 2 ]}に記載されています）。また、Ho-Trieu & Tucker (1990) は対数時間トレンドについて執筆し、線形時間トレンドはサイクルの特殊なケースであることを示す結果を発表しました。

最小二乗法によるフィッティングでは、r二乗（r² ）^{という値が得られます。これは、}残差の分散と従属変数の分散の比を1から引いた値です。この値は、フィッティングされたトレンドラインによって説明されるデータの分散の割合を示します。トレンドラインの統計的有意性とは関係ありません（グラフを参照）。トレンドの統計的有意性は、t統計量によって決定されます。多くの場合、系列をフィルタリングするとr²^は増加しますが、フィッティングされたトレンドにはほとんど変化がありません。

これまで、データはトレンドとノイズから構成されていると想定されてきました。各データポイントのノイズは、正規分布に従う独立同分布の確率変数です。実際のデータ（例えば、気候データ）は、これらの基準を満たさない場合があります。これは、データ系列から最大限の情報を抽出するために統計を分析する際の容易さに大きな違いをもたらすため、重要です。独立変数と相関のある他の非線形効果（周期的影響など）がある場合、トレンドの最小二乗推定は有効ではありません。また、変動が結果として得られる直線トレンドよりも著しく大きい場合、開始点と終了点の選択によって結果が大きく変わる可能性があります。つまり、モデルが数学的に誤って指定されているということです。標準的な仮定からの逸脱が適切に考慮されない限り、統計的推論（トレンドの存在の検定、トレンドの信頼区間など）は無効です。例えば、次のように考慮する必要があります。

• 依存性: 自己相関のある時系列は、自己回帰移動平均モデルを使用してモデル化できます。
• 非定常分散：最も単純なケースでは、重み付き最小二乗法が使用される場合があります。
• 誤差の非正規分布：最も単純なケースでは、一般化線形モデルが適用できる可能性がある。
• 単位根：データの1階（または場合によっては2階）差分を取ることで、差分のレベルはさまざまな単位根検定によって特定されます。^{[ 4 ]}

Rでは、データの線形トレンドは、forecastパッケージのtslm関数を使用して推定できます。

医学および生物医学研究では、多くの場合、3つの異なる疾患における臨床的または科学的指標などのデータセット間の関連性を明らかにしようとします。しかし、データは時間的にも関連付けられる場合があり（ベースラインから1か月後、2か月後への薬剤効果の変化など）、研究者および/または被験者によって決定される場合とされない場合がある外部要因によって関連付けられる場合もあります（痛みなし、軽度の痛み、中程度の痛み、重度の痛みなど）。これらの場合、効果検定統計量（例えば、スタチンがコレステロール値に及ぼす影響、鎮痛剤が痛みの程度に及ぼす影響、または測定可能な指標に対する異なる強度の薬剤の用量増加、すなわち用量反応効果）は、効果が現れるにつれて直接的に変化すると予想されます。スタチン処方前後の平均コレステロール値が、ベースラインの5.6 mmol/Lから1か月後に3.4 mmol/L、2か月後に3.7 mmol/Lに低下したとします。十分な検出力があれば、ANOVA（分散分析）では1か月後と2か月後に有意な減少が見られる可能性が高いが、減少は線形ではない。さらに、事後検定が必要になる場合がある。代替検定としては、データの性質に応じて、反復測定（2要因）ANOVAまたはフリードマン検定が考えられる。ただし、グループが順序付けられているため、標準的なANOVAは不適切である。コレステロールが5.4から4.1、3.7に減少する場合、明確な線形傾向がある。同じ原理は対立遺伝子/遺伝子型頻度の影響にも適用でき、ヌクレオチドXX、XY、YYの単一ヌクレオチド多型は実際にはYなし、Y1つ、Y2つの傾向であると主張できる。^{[ 3 ]}

線形傾向推定の数学は、標準ANOVAの変種であり、異なる情報を提供するため、研究者が検定統計量に傾向効果を仮定する場合に最も適切な検定となります。 1つの例として、年齢の10歳刻み（10～19歳から60～69歳まで）で並べた6つの被験者グループにおける血清トリプシンのレベルがあります。トリプシンのレベル（ng/mL）は、128、152、194、207、215、218の直接的な線形傾向で上昇します（データはAltmanによる）。当然のことながら、「標準」ANOVAではp  <  0.0001となりますが、線形傾向推定ではp  =  0.00006となります。ちなみに、年齢は自然な連続変数指標であるため、10歳刻みに分類すべきではなく、年齢と血清トリプシンの影響は相関によって求められる（生データが利用可能であると仮定した場合）と合理的に主張できます。もう1つの例として、異なるグループで4つの時点において測定された物質があります。

これは明確な傾向です。ANOVAでは、全体の分散が平均値を超えているためp  = 0.091となりますが、線形傾向推定ではp = 0.012となります。ただし、同じ被験者から4つの時点でデータが収集されていた場合、線形傾向推定は不適切であり、2要因（反復測定）ANOVAが適用されていたでしょう。   

• 推定
• 外挿
• 予測
• 最小二乗法
• 最小二乗スペクトル解析
• ラインフィッティング
• 予測区間
• 回帰分析

• Bianchi, M.; Boyle, M.; Hollingsworth, D. (1999). 「トレンド推定方法の比較」. Applied Economics Letters . 6 (2): 103–109 . doi : 10.1080/135048599353726 .
• キャメロン、S. (2005). 「回帰分析をより有用にする方法、II」。計量経済学。メイデンヘッド：マグロウヒル高等教育。pp. 171–198。ISBN  0-07-710428-5。
• Chatfield, C. (1993). "区間予測の計算". Journal of Business and Economic Statistics . 11 (2): 121– 135. doi : 10.1080/07350015.1993.10509938 .
• Ho-Trieu, NL; Tucker, J. (1990). 「対数時間トレンドの使用に関する別の注記」。Review of Marketing and Agricultural Economics . 58 (1): 89–90 . doi : 10.22004/ag.econ.12288。
• Kungl. Vetenskapsakademien (2003). 「時系列計量経済学：共和分と自己回帰条件付き異分散性」。アルフレッド・ノーベル記念スウェーデン銀行経済学賞に関する事前情報。スウェーデン王立科学アカデミー。
• Arianos, S.; Carbone, A.; Turk, C. (2011). "高次移動平均の自己相似性" . Physical Review E . 84 (4) 046113. Bibcode : 2011PhRvE..84d6113A . doi : 10.1103/physreve.84.046113 . PMID 22181233 . 
• Altman, DG ( 1991). 『医学研究のための実践統計学』ロンドン：Chapman and Hall、pp. 212–220。ISBN  0-412-27630-5。