53平均律

音楽において、53 平均律( 53 TET、53  EDO、または53 ETとも呼ばれる) は、オクターブを 53 の均等なステップ (等しい周波数比) に分割することによって得られる平均律です。 各ステップは^、周波数比2 ^{1 ∕ 53}  、つまり 22.6415 セント(再生^ⓘ ) を表し、この音程はホルドリアンのコンマと呼ばれることもあります。  

53 TET は平均律の調律で、図 1 に示すように、平均律の完全五度の幅は 701.89 セントで、連続する音程は 22.642 セントずつ離れています。

53-TETチューニングはユニゾンに相当し、または音程を調整します。 32 805 /32 768⁠、スキスマとして知られ、 ⁠ 15 625 /15 552⁠、別名クライスマ。これらは両方とも 5 つの極限音程であり、因数分解には素数 2、3、5 のみが含まれます。53 TET が両方を和らげるという事実は、これを 5 極限音律として完全に特徴付けています。これは、これらの音程、つまりコンマの両方を和らげる唯一の正規の音律であり、この事実は日本の音楽理論家田中正平によって最初に認識されたようです。これらを和らげるため、53 TET は、スキスマを和らげるスキスマ音律と、クライスマを和らげるハンソン音律 (クライスミックとも呼ばれる)の両方に使用できます。

⁠の間隔 7 /4⁠は43番目の音符（0から数えて）に最も近く、 2 ^{43 ∕ 53} = 1.7548  は倍音7度からわずか4.8セントだけ高い  = ⁠   7 /4⁠ 53 TET で、これを7 限界和音に使用すると、 7 度クライスマ、つまり間隔⁠ 225 /224⁠、また、焼き入れされます。

この区分に対する理論的関心は古代にまで遡る。中国の音楽理論家である景芳（紀元前78-37年）は、53の 純正五度 （[ ⁠ 3 /2⁠ ] ⁵³ ）は31オクターブ（ 2 ³¹ ）に非常に近い。彼はこの差を6桁の精度で計算し、 ⁠ 177 147 /176 776⁠ ^{[2] [3]その後、数学者で音楽理論家の}ニコラウス・メルカトル（ 1620年頃-  1687年）も同様の観察を行い、この値を次のように正確に計算しました。 ⁠ 3 ⁵³ / 2 ⁸⁴ ⁠ = ⁠ 19 383 245 667 680 019 896 796 723 /19 342 813 113 834 066 795 298 816⁠、^{[検証が必要]これは}メルカトルコンマとして知られています。 ^[4]メルカトルコンマはそもそも非常に小さな値（≈ 3.615セント）ですが、53平均律では各5度がわずか⁠1/ 53 ⁠そのコンマ（ ≈ 0.0682セント ≈ ⁠1/ 315 ⁠ 同調コンマ ≈ ⁠1/ 344 ⁠ ピタゴラス音律）。したがって、53 音平均律は、実質的には拡張ピタゴラス音律。

メルカトルの後、ウィリアム・ホルダーは1694年に論文を発表し、53平均律も長三度に非常に近い（1.4セント以内）ことを指摘し、その結果53平均律は5限界 純正律の音程に非常によく適合していると述べた。^{[5] [6]} 53 TETのこの特性は以前から知られていた可能性があり、アイザック・ニュートンの未発表の原稿によると、彼は1664年から1665年には早くもこれに気づいていたようだ。^[7]

19世紀には、53 TETの楽器が考案され始め、5音域に近い音楽を演奏することを目指しました。そのような楽器は、RHM Bosanquet ^{[8] (p 328–329)}とアメリカの調律師 JP White ^{[8] (p 329)}によって考案されました。その後、この音律は西洋の作曲家によって時折使用されるようになり、20世紀初頭までに、53 TETはオスマン帝国の古典音楽における最も一般的な調律形式となり、古い不均等調律に取って代わりました。アラブ音楽は、その理論の大部分を四分音に基づいていますが、この音律も多少は使用されています。シリアのバイオリニストで音楽理論家の Twfiq Al-Sabagh は、オクターブを24の部分に均等に分割する代わりに、53 TETの24音階をアラブ音楽のマスタースケールとして使用すべきであると提案しました。^[要出典]

クロアチアの作曲家ヨシップ・シュトルツェル＝スラヴェンスキは、ボサンケのエンハルモニウムを第1楽章に使用した『自然音階のための音楽』と題する作品を作曲したが、これは出版されていない。^{[9] [10] [11] [a]}

さらに、トンプソン将軍はロンドンを拠点とするギター製作者ルイ・パノルモと協力してエンハーモニック・ギターを製作した。^[12]

7 文字の音符にシャープやフラットを加えた標準的な記譜法を使おうとすると、すぐに混乱してしまいます。これは、曖昧さがほとんどない19 TETや31 TETの場合とは異なります。平均全音ではないため、より注意を要する問題がいくつか生じます。具体的には、ピタゴラスの長 3 度 (二全音) と純正な長 3 度が区別され、ピタゴラスの短 3 度 (半二全音) と純正な短 3 度も区別されます。シントニック コンマが調整されないということは、音符と音程をより正確に定義する必要があることを意味します。オスマン帝国の古典音楽では、 9 コンマ トーンにフラットとシャープの記譜法が使用されています。

さらに、53 は 12 の倍数ではないため、G ♯や A ♭などの音は異名同音ではなく、対応する調号も同様です。その結果、多くの調号では、ダブルシャープ (G ♯メジャー / E ♯マイナーなど)、ダブルフラット (F ♭メジャー / D ♭マイナーなど)、または微分音の変更を使用する必要があります。

シャープとフラットのみを使用する拡張ピタゴラス記法では、次の半音階が得られます。

• C、B ♯、A ♯、E、D ♭、C♯ 、 B、F、E、
• Ｄ、Ｃ、B ♯、F、E ♭、D♯、C♯、G、F ♭、
• E、D、C/あ、G、
• ファ、ホ、ニ、A、G ♭、F♯ 、 E、D/B、A、
• 女子、女子、E ♯、B、A ♭、G♯、F♯、C、B、
• A、G、F/D、C、B ♭、A♯、G♯、D、C ♭、
• B、A、G/E、D、C

残念ながら、音符は文字の順序どおりに並んでおらず、シャープとフラットが最大 4 つ必要になります。その結果、純正な長 3 度は減 4 度として表記する必要があります。

アップスダウン記法^[13]は音符の順序を保ち、シャープとフラットの伝統的な意味も保持します。上下矢印を使用し、通常はサンセリフ フォントでキャレットまたは小文字の "v" として表記します。1 つの矢印は 53-TET の 1 ステップに相当します。音名では、コード名を容易にするため矢印が最初に来ます。多くの異名同音の等価性により、綴りの自由度が高まります。

• C、^C、^^C、vvC ♯ /vD ♭、vC ♯ /D ♭、C ♯ /^D ♭、^C ♯ /^^D ♭、vvD、vD、
• D、^D、^^D、vvD ♯ /vE ♭、vD ♯ /E ♭、D ♯ /^E ♭、^D ♯ /^^E ♭、vvE、vE、
• E、^E、^^E/vvF、vF、
• F、^F、^^F、vvF ♯ /vG ♭、vF ♯ /G ♭、F ♯ /^G ♭、^F ♯ /^^G ♭、vvG、vG、
• G、^G、^^G、vvG ♯ /vA ♭、vG ♯ /A ♭、G ♯ /^A ♭、^G ♯ /^^A ♭、vvA、vA、
• A、^A、^^A、vvA ♯ /vB ♭、vA ♯ /B ♭、A ♯ /^B ♭、^A ♯ /^^B ♭、vvB、vB、
• B、^B、^^B/vvC、vC、C

53-TET はピタゴラス音階で、ほぼ純正五度であるため、正確な調律の長三和音と短三和音をミーントーン調律と同じ方法で表記することはできません。代わりに、長三和音は CF ♭ -G のようなコードです (ピタゴラス音階に基づく記法を使用)。ここで、長三度は減四度です。これは分離音律の特徴です。同様に、短三和音は CD ♯ -G のようなコードです。53-TET では、属七和音はCF ♭ -GB ♭と表記されますが、音調四和音は CF ♭ -GCです。CF ♭ -GA♯はもう一つの7度和音です。音調四和音の反転である音調四和音はCD♯ -GGと表記されます。。

さらに7音和音には減三和音があり、CD ♯ -G ♭とCFの2つの形式があります。-G ♭、サブマイナー トライアド、CF-G、スーパーメジャートライアドCD-Gおよび対応する四分子CF-イギリスおよびCD-GA ♯。 53-TET は中隔クライスマを和らげるため、中隔クライスマはトライアド CF ♭ -Bを増強します。様々な転回形もこのシステムのコードである。オーウェルの四重奏、CF ♭ -Dも同様である。-Gさまざまな反転形で。

アップス・アンド・ダウン記法は、より慣習的な綴りを可能にする。また、53TETの音程も命名しているため、^[14]正確なコード名も提供している。ピタゴラスの短音階のコードには、⁠ 32 /27⁠ 3度は依然としてCmと呼ばれ、依然としてC–E ♭ –Gと綴られます。しかし、5度上のマイナーコードはアップマイナー3度6/5を使用し、C–^E ♭ –Gと綴られます。このコードはC^mと呼ばれます。^Cm (^C–^E ♭ –^G)と比較してください。

• 長三和音: C-vE-G (ダウンメジャー)
• マイナートライアド: C-^E ♭ -G (アップマイナー)
• ドミナント 7th: C-vE-GB ♭ (ダウン アド 7)
• 音階四和音: C-vE-G-vB ♭ (ダウン7)
• 全音四進法: C-^E ♭ -G-^A (upminor6)
• 減三和音: C-^E ♭ -G ♭ (上減三和音)
• 減三和音: C-vE ♭ -G ♭ (ダウンディム)
• サブマイナートライアド：C-vE ♭ -G（ダウンマイナー）
• スーパーメジャートライアド: C-^EG (アップメジャー)
• 亜短四進法: C-vE ♭ -G-vA (downminor6)
• スーパーメジャーテトラッド: C-^EG-^B ♭ (上7)
• 増三和音: C-vE-vvG ♯ (ダウンオーグ ダッド-5)
• オーウェルの三和音: C-vE-vvG-^A (ダウンメジャー ダッド-5 アップ6)

この音階の31ステップの距離は、ほぼ完全五度に等しいため 、 理論的にはこの音階は、 53音に拡張されたピタゴラス音律のわずかに緩和された形式であると考えることができます。そのため、使用可能な音程は、（実質的に）純粋な五度、ちょうど（約⁠）から離れた長三度など、ピタゴラス音律と同じ特性を持つことができます。 81 /64⁠ より純粋なものに反対する⁠ 5 /4⁠、逆に狭い短3度（ ⁠ 32 /27⁠と比較して⁠ 6 /5⁠）。

しかし、53 TET には純正律に非常に近い追加の音程が含まれています。たとえば、17 ステップの音程も長 3 度ですが、非常に純粋な純正律よりも 1.4 セントだけ狭いだけです。 5 /4⁠ . 53 TETは、5の限界純正律におけるあらゆる音程の近似値として非常に優れています。同様に、純正律音程⁠ 6 /5⁠ は、 53 TET の 14 ステップよりもわずか 1.3 セント広いだけです。

第7倍音を含む正確な音程との一致はやや劣ります（43ステップは4.8セントシャープです。 7 /4⁠）、しかし、そのような間隔はすべて非常に近い一致を示しており、最も偏差が大きいのは ⁠ です。 7 /5⁠ トライトーン。11 番目の倍音とそれを含む音程は、下の表の 10 進数の中立 2 度と 3 度で示されているように、それほど一致していません。7 限界比率は薄い灰色で表示され、11 限界比率と 13 限界比率は濃い灰色で表示されます。

以下は半音階の 53 音のうち 21 音です。残りは簡単に追加できます。

音楽理論と調律において、ホルドリアン・コンマはホルダー・コンマとも呼ばれ、まれにアラビアン・コンマとも呼ばれる^[15]。これは約22.6415 セント^[15]の小さな音程で、53平均律の1ステップ、つまり（演奏は^ⓘ ）。しかし、 「コンマ」という名前は技術的には誤解を招くもので、この音程は無理数であり、どの調律システムの音程間の妥協点も表していない。この音程が「コンマ」と呼ばれるのは、いくつかのコンマ、最も有名なのはホルダーの時代に音の測定単位として広く使用されていたシントニック・コンマ（21.51セント）（演奏は^ⓘ ）に近いためである。 ${\displaystyle \ {\sqrt[{53}]{2\;}}\ }$

ホルダーのカンマの起源は、古代ギリシャ人（少なくともローマのボエティウス^{[b] ）が、}ピタゴラス音律では音を9つのカンマに分割でき、そのうち4つが全音階の半音、5つが半音階の半音を形成すると信じていたことにある。これらのカンマがすべて同じサイズであれば、5音+2全音階の半音、  5 × 9 + 2 × 4 = 53の等しいカンマのオクターブが得られる。ホルダー^[18]は、オクターブを53等分することをニコラウス・メルカトル^[c]に帰しており、メルカトル自身も次 のように提案していた。1/ 53 ⁠オクターブの この部分は

メルカトルのコンマは、ニコラウス・メルカトルとの関連から、密接に関連した音程によく使われる名前です。^{[d]これらの音程の1つは、}紀元前45年に景芳 によって初めて説明されました。^[15]メルカトルは対数を適用して、 (≈ 21.8182セント) がシントニック・コンマの ≈ 21.5063セント (当時普及していた中全音律の特徴) にほぼ等しいことを決定しました。彼はまた、31オクターブは53の純正五度で実質的に近似できるため、の「人工コンマ」が有用かもしれないと考えまし た。ホルドリアン・コンマの名前の由来となったホルダーは、53平均律の音程が55TETよりも純正律に近いため、この後者の単位を好みました。したがって、メルカトルのコンマとホルドリアン・コンマは、2つの異なるがほぼ等しい音程です。 ${\displaystyle \ {\sqrt[{55}]{2\;}}\ }$${\displaystyle \ {\sqrt[{53}]{2\;}}\ }$

ホルドリア・コンマは、主にオスマン帝国/トルコの音楽理論において、ケマル・イレリチやトルコの作曲家エロル・サヤンによって採用されてきました。このコンマのトルコ語名はHolder komasıです。

たとえば、ラスト・マカーム（西洋の長音階、より正確には正しく調律された長音階に似ている）は、ホルドリアン・コンマの観点から考えることができます。

どこはホルドリアンのコンマフラット^[e]を表します が、対照的に、ニハーヴェンド・マカム（西洋の短音階に似ています）は次のようになります。

ここで♭は5コンマのフラットを表し、中度二度はd–e ♭、e–f、g–a ♭、a ♭ –b ♭、b ♭ –c ′の間にあり、中度二度は8コンマと9コンマの間である。^[15]

• ロジャース、プレント (2007 年 5 月)。「53 EDO のウィスパー ソング」。バンパー ミュージック(ポッドキャスト) (スロー エディション)。
• Hanson, Larry (1989). 「53音鍵盤レイアウトの開発」(PDF) . Xenharmonicon . XII . Hanover, NH: Frog Peak Music: 68–85 . 2021年1月4日閲覧– Anaphoria.com経由。
• 「音調関数の代数」Sonantometry (ブログ) 2007 年 5 月 1 日。— 53 TET グレードとしての音調機能。
• バルビエリ、パトリツィオ (2008)。 「調和のとれた楽器と音楽、1470 ～ 1900 年」。ラティーナ、イル レヴァンテ リブレリア エディトリス。イタリア。 2009 年 2 月 15 日にオリジナルからアーカイブされました。 ^{[リンク切れ‍ ]}
• ジム・ククラ（2005年8月）。「1オクターブあたり53ピッチの平均律」。相互依存科学。フラクタル微分音音楽。 2021年1月4日閲覧。