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数学の有限群論では、階数 3 の置換群は、 点の安定子が 3 つの軌道を持つような集合に対して推移的に作用します。これらの群の研究は、Higman (1964、1971) によって開始されました。散在単純群のいくつかは、階数 3 の置換群として発見されました。
分類
原始ランク 3 の順列グループはすべて、次のいずれかのクラスに属します。
- キャメロン（1981）は、 T 0の基底Tが単純で、T 0 が次数√nの2推移群であるものを分類した。
- リーベック（1987）は、正規の基本アーベル正規部分群を持つものを分類した。
- バンナイ（1971-72）は、基底が単純な交代群であるものを分類した。
- カンターとリーブラー（1982）は、単純な古典群を基底とするものを分類した。
- Liebeck & Saxl (1986) は、基底が単純な例外的グループまたは散発的グループであるものを分類しました。
例
G が集合Sに作用する任意の 4 推移群である場合、Sの元のペアに対するその作用はランク 3 の置換群である。[1]特に、交代群、対称群、およびマシュー群のほとんどは4 推移作用を持ち、したがってランク 3 の置換群にすることができる。
少なくとも 3 次元の射影空間内の直線上に作用する射影一般線型群は、ランク 3 の置換群です。
いくつかの3 転置群は、（転置に対する作用において）ランク 3 の置換群です。
軌道の 1 つに作用するランク 3 置換群の点安定化がランク 3 置換群であることは一般的です。これにより、鈴木連鎖やフィッシャー群で終わる連鎖など、ランク 3 置換群のいくつかの「連鎖」が得られます。
以下に、いくつかの珍しいランク 3 順列群 (多くは (Liebeck & Saxl 1986) からのもの) を示します。
下の表の各行の「サイズ」と記された列のグリッドでは、等号の左側の数字は、その行に記載されている順列群の順列群の次数です。グリッドでは、等号の右側の合計は、順列群の点の安定子の 3 つの軌道の長さを示します。たとえば、表の見出しの下の最初の行にある式 15 = 1+6+8 は、最初の行の順列群の次数が 15 であり、順列群の点の安定子の 3 つの軌道の長さがそれぞれ 1、6、8 であることを意味します。
注記
- ^ 3 つの軌道とは、固定されたペア自体、固定されたペアと 1 つの要素を共有するペア、および固定されたペアと共通の要素を持たないペアです。
参考文献
- 坂内 栄一 (1971–72)、「有限対称群と交代群の低階数の極大部分群」、東京大学理学部紀要、第 IA 部、数学、18 : 475–486、ISSN 0040-8980、MR 0357559
- ブラウワー、AE。午前、コーエン。 Neumaier、Arnold (1989)、距離正則グラフ、Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete (3) [数学および関連分野の結果 (3)]、vol. 18、ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag、ISBN 978-3-540-50619-5、MR 1002568
- キャメロン、ピーター J. (1981)、「有限置換群と有限単純群」、ロンドン数学会誌、13 (1): 1–22、CiteSeerX 10.1.1.122.1628、doi :10.1112/blms/13.1.1、ISSN 0024-6093、MR 0599634
- Higman、Donald G. (1964)、「ランク 3 の有限順列グループ」(PDF)、Mathematische Zeitschrift、86 (2): 145–156、doi :10.1007/BF01111335、hdl : 2027.42/46298、ISSN 0025-5874、MR 0186724、S2CID 51836896
- Higman、Donald G. (1971)、「ランク 3 順列グループに関するいくつかの質問と結果の調査」、Actes du Congrès International des Mathématiciens (ニース、1970)、vol. 1、ゴーティエ ヴィラール、361–365 ページ、MR 0427435
- Kantor, William M. ; Liebler, Robert A. (1982)、「有限古典群のランク 3 置換表現」(PDF)、アメリカ数学会誌、271 (1): 1–71、doi :10.2307/1998750、ISSN 0002-9947、JSTOR 1998750、MR 0648077
- リーベック、マーティン W. (1987)、「ランク 3 のアフィン置換群」、ロンドン数学会紀要、第 3 シリーズ、54 (3): 477–516、CiteSeerX 10.1.1.135.7735、doi :10.1112/plms/s3-54.3.477、ISSN 0024-6115、MR 0879395
- リーベック、マーティン W. ;サックスル、ヤン(1986)、「ランク 3 の有限原始置換群」、ロンドン数学会誌、18 (2): 165–172、doi :10.1112/blms/18.2.165、ISSN 0024-6093、MR 0818821