配分の数学

数学と公平な分配において、配分問題とは、同一商品の整数を、実数値の権利を持つ複数の当事者に公平に分配（配分）することです。配分問題の元々の、そして最もよく知られている例は、議会の議席を異なる連邦州または政党に分配することです。^{[1]しかし、配分方法は、}破産問題、^[2]相続法（例：家畜の分配）、^{[3] [4]}人員計画（例：人口割当）、^[5]パーセンテージの丸めなど、他の状況にも適用できます。^[6]

数学的には、配分法は実数を自然数に丸める方法にすぎません。この問題は単純ですが、バリンスキー・ヤングの定理によって証明されているように、すべての丸め方法には 1 つ以上のパラドックスが伴います。配分の数学的理論は、配分法からどのような特性が期待できるかを特定します。

配分の数学的理論は、1907年に数学者アグナー・クラルプ・エルランによって研究されました。^{[要出典]その後、数学者}ミシェル・バリンスキーと経済学者ペイトン・ヤングによって詳細に展開されました。^[7]

配分方法への入力は次のとおりです。

• 割り当てる項目の合計数を表す正の整数。割り当てる項目は多くの場合、下院の議席であるため、ハウス サイズとも呼ばれます。${\displaystyle h}$
• アイテムを割り当てるエージェントの数を表す正の整数。たとえば、連邦州や政党などがこれに該当します。${\displaystyle n}$
• 権利を表す数値のベクトル-は、エージェント の権利、つまり が権利を持つアイテムの量( の合計のうち)を表します。これらの権利は、多くの場合、 のように正規化されます。あるいは、それらの合計が になるように正規化することもできます。この場合、権利は割り当てと呼ばれ、 と表されます (ここで、および ) 。あるいは、人口のベクトルが与えられます。ここで、エージェント の権利は です 。${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle h}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}t_{i}=1}$${\displaystyle h}$${\displaystyle q_{i}}$${\displaystyle q_{i}:=t_{i}\cdot h}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}q_{i}=h}$${\displaystyle (p_{1},\ldots ,p_{n})}$${\displaystyle i}$${\displaystyle t_{i}=p_{i}/\sum _{j=1}^{n}p_{j}}$

出力は の整数のベクトルで、の配分と呼ばれます。ここで、 はエージェントiに割り当てられたアイテムの数です。 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle a_{i}}$

各政党について、実数は の議席割当てまたは議席割当てと呼ばれ、 に与えられるべき議席の正確な数を表します。一般に、「公平な」配分とは、各割り当てが割当てに可能な限り近くなる配分のことです。 ${\displaystyle i}$${\displaystyle q_{i}:=t_{i}\cdot h}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle q_{i}}$

配分法は、配分ベクトルのセットを返すことがあります（言い換えると、多価関数）。これは、2 つの可能な解を区別する公平な方法がない場合があるため必要です。たとえば、（またはその他の奇数）と の場合、 （50,51）と （51,50）はどちらも同等に妥当な解であり、数学的にどちらか一方を選択する方法はありません。実際にはこのような同点は非常にまれですが、理論ではそれを考慮する必要があります（実際には、配分法が複数の出力を返す場合、外部の優先順位ルールやコイン投げによってそのうちの 1 つが選択されることがありますが、これは数学的な配分理論の範囲外です）。 ${\displaystyle h=101}$${\displaystyle t_{1}=t_{2}=1/2}$

配分法は多価関数 で表され、特定の-解はから単一の配分を選択する単価関数です。 ${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$${\displaystyle M}$${\displaystyle f(\mathbf {t} ,h)}$${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$

部分配分法は、およびの特定の固定値に対する配分法であり、 -ベクトルのみを受け入れる多値関数です。 ${\displaystyle n}$${\displaystyle h}$${\displaystyle M^{*}(\mathbf {t} )}$${\displaystyle n}$

場合によっては、入力に最小要件を表す整数のベクトルも含まれることがあります。これは、権限に関係なく、エージェントが受け取る必要があるアイテムの最小数を表します。そのため、出力には、すべての に対する追加の要件があります。 ${\displaystyle r_{1},\ldots ,r_{n}}$${\displaystyle r_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}\geq r_{i}}$${\displaystyle i}$

エージェントが政党の場合、これらの数値は通常 0 なので、このベクトルは省略されます。ただし、エージェントが州または地区の場合、すべてが代表されるように、これらの数値は正になることがよくあります。すべてのエージェントで同じ数値になる場合 (例: 米国の州の場合は 1、フランスの地区の場合は 2) もあれば、異なる数値になる場合もあります (例: カナダまたは欧州議会)。

最大要件のベクトルも存在する場合がありますが、これはあまり一般的ではありません。

合理的な配分方法であれば、必ず満たすべき基本的な性質がある。それらは、著者によって異なる名前が付けられている。左側の名前はプケルスハイムによるものである。^{[8] : 75}右側の括弧内の名前は、バリンスキーとヤングによるものである。^[7]

• 匿名性（=対称性）は、配分がエージェントの名前やインデックスに依存しないことを意味します。正式には、 がの任意の順列である、 内の配分は内の配分の対応する順列とまったく同じです。 ${\displaystyle \mathbf {t'} }$${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle M(\mathbf {t'} ,h)}$${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$
  • この要件は、最小要件がない場合、または要件が同じである場合に意味を持ちます。要件が同じでない場合は、要件が満たされていることを条件に匿名性が保持される必要があります。
• 均衡性(=バランス) とは、2 つのエージェントが同等の権利を持っている場合、それらの割り当ての差は最大でも 1 であるべきであることを意味します。${\displaystyle t_{i}=t_{j}}$${\displaystyle a_{i}\geq a_{j}-1}$
• 一致(=弱い人口単調性) は、より高い権利を持つエージェントが少なくとも同じ数のアイテムを受け取ることを意味します。つまり を意味します。${\displaystyle t_{i}>t_{j}}$${\displaystyle a_{i}\geq a_{j}}$
• 適切性（=均質性）とは、権利ベクトルをスケーリングしても結果が変わらないことを意味します。正式には、すべての定数cに対して（配分方法への入力が正規化されている場合、これは自動的に満たされます）。${\displaystyle M(c\cdot \mathbf {t} ,h)=M(\mathbf {t} ,h)}$
• 正確性（=弱い比例性）とは、完全な解が存在する場合は、それを選択する必要があることを意味します。正式には、正規化された について、各エージェントの割り当てが整数である場合、 には一意のベクトル が含まれている必要があります。言い換えると、h配分がに正確に比例する場合、それは の一意の要素である必要があります。 ${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle q_{i}=t_{i}\cdot h}$${\displaystyle i}$${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$${\displaystyle (q_{1},\ldots ,q_{n})}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {t} }$${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$
  • 強い正確性^{[9] : 13 は}、正確性が「極限」でも成り立つことを意味します。つまり、権利ベクトルのシーケンスが整数割り当てベクトル に収束する場合、シーケンスのすべての要素における唯一の割り当てベクトルは です。弱い正確性との違いを確認するには、次の規則を考えてみましょう。 (a) 各エージェントに切り捨てられた割り当て、 を与えます。 (b) 残りの議席を最大の政党に繰り返し割り当てます。この規則は弱く正確ですが、強く正確ではありません。たとえば、h =6 と仮定し、割り当てベクトルのシーケンス (4+1/ k , 2-1/ k ) を考えます。上記の規則では、k→∞ のときの極限が整数ベクトル (4,2) であるにもかかわらず、すべてのkに対して割り当て (5,1) が生成されます。${\displaystyle (q_{1},\ldots ,q_{n})}$${\displaystyle (q_{1},\ldots ,q_{n})}$${\displaystyle \lfloor q_{i}\rfloor }$
  • 強い比例性^[7]とは、さらに、、かつ、かつ に正確に比例する h 配分が存在する場合、それが の唯一の元であるはずであることを意味します。たとえば、の解の1つが(3,3)である場合、 の唯一の解は(2,2)でなければなりません。^{[なぜ? ]}${\displaystyle \mathbf {a'} \in M(\mathbf {t} ,h')}$${\displaystyle h<h'}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} '}$${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h)}$${\displaystyle M(\mathbf {t} ,6)}$${\displaystyle M(\mathbf {t} ,4)}$
• 完全性とは、収束する権利ベクトルのシーケンスに対して何らかの配分が返される場合、その極限ベクトルに対しても配分が返されることを意味します。言い換えると、セット（配分が可能な権利ベクトルの集合）は位相的に閉じています。不完全な方法は、配分がシーケンス内のすべての権利に属する場合にのみ、任意の極限権利に配分を追加することで「完了」できます。対称的で比例的な配分方法の完了は、完全で対称的で比例的です。^{[7] ：Prop.2.2}${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \{\mathbf {t} |\mathbf {a} \in M(\mathbf {t} ,h)\}}$${\displaystyle \mathbf {a} }$${\displaystyle \mathbf {a} }$
  • 多くの国で実際に行われているように、外部のタイブレーク ルールを適用する方法では、完全性が損なわれます。タイブレーク ルールは極限の場合にのみ適用されるため、完全性が損なわれる可能性があります。
  • 完全性と弱正確性は、共に強正確性を意味する。完全かつ弱正確性の手法に適切なタイブレークルールを追加して修正した場合、結果として得られるルールはもはや完全ではなくなるが、依然として強正確性は維持される。^{[9] : 13}

配分の比例性は議席対投票数の比率とギャラガー指数で測定できる。配分の比例性と選挙基準値は政治の分裂と政治競争への参入障壁に影響を与える。 ^[10]

配分方法は数多くあり、いくつかのアプローチに分類できます。

1. 最大剰余法では、まず、切り捨てられた割り当てのベクトル、つまり を計算します。これらの切り捨てられた値の合計がちょうど である場合、このベクトルが一意の割り当てとして返されます。通常、合計は より小さくなります。この場合、残りの項目は、その剰余に従ってエージェント間に割り当てられます。つまり、最大の剰余を持つエージェントが 1 つの議席を受け取り、次に 2 番目に大きい剰余を持つエージェントが 1 つの議席を受け取り、すべての項目が割り当てられるまでこれを繰り返します。LR 法には、使用される割り当てに応じていくつかのバリエーションがあります。 ${\displaystyle \lfloor q_{1}\rfloor ,\ldots ,\lfloor q_{n}\rfloor }$${\displaystyle h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle q_{i}-\lfloor q_{i}\rfloor }$
   • 単純なクォータは、Hare クォータとも呼ばれ、 です。LR を Hare クォータと共に使用すると、Hamilton 法になります。${\displaystyle t_{i}h}$
   • ハーゲンバッハ・ビショフ割り当て は、正確なドループ割り当てとも呼ばれ、 です。この方法の割り当ては大きいため、残りの項目は少なくなります。理論上は、切り捨てられた割り当ての合計が となり、より大きくなる可能性がありますが、実際にはめったに起こりません。${\displaystyle t_{i}\cdot (h+1)}$${\displaystyle h+1}$${\displaystyle h}$
2. 除数法では、クォータに固定の乗数（またはなど）、丸められたクォータの合計が と正確に等しくなるように乗数を選択するため、割り当てる項目が残りません。 正式には、除数法は丸めに使用する方法によって異なります。 除数法は、各整数 に対して、区間 内の実数を指定する除数関数によってパラメータ化されます。つまり、 内のすべての数値はに切り捨てられ、 内のすべての数値は に切り上げられます。 丸め関数は で表され、 となる。 数値自体は切り上げと切り捨ての両方が可能なため、丸め関数は多値です。たとえば、Adams 法では が使用されます。これは切り上げに相当します。D'Hondt /Jefferson 法ではが使用されます。これは切り捨てに相当します。Webster /Sainte-Laguë 法では が使用されます 。これは最も近い整数に丸めることに対応します。除数法は反復的に計算することもできます。最初に、すべての政党について が 0 に設定されます。次に、各反復で、比率 が最大になる政党に次の議席が割り当てられます 。${\displaystyle h}$${\displaystyle h+1}$${\displaystyle h}$${\displaystyle M(\mathbf {t} ,h):=\{\mathbf {a} |a_{i}=\operatorname {round} (t_{i}\cdot H){\text{ and }}\sum _{i=1}^{n}a_{i}=h{\text{ for some real number }}H\}.}$ ${\displaystyle d(k)}$${\displaystyle k\geq 0}$${\displaystyle [k,k+1]}$${\displaystyle [k,d(k)]}$${\displaystyle k}$${\displaystyle [d(k),k+1]}$${\displaystyle k+1}$${\displaystyle \operatorname {round} ^{d}(x)}$${\displaystyle k}$${\displaystyle d(k-1)\leq x\leq d(k)}$${\displaystyle d(k)}$${\displaystyle d(k)=k}$${\displaystyle d(k)=k+1}$${\displaystyle d(k)=k+0.5}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle {\frac {t_{i}}{d(a_{i})}}}$
3. 順位インデックス法は、で減少する関数によってパラメータ化されます。配分は反復的に計算されます。最初は、すべての政党に対して 0 に設定されます。次に、各反復で、 を最大化するエージェントに次の議席を割り当てます 。除数法は、順位インデックス法の特殊なケースです。除数関数を使用する除数法は、順位インデックス を使用する順位インデックス法と同等です 。${\displaystyle r(t,a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle a_{i}}$${\displaystyle r(t_{i},a_{i})}$${\displaystyle d(a)}$${\displaystyle r(t,a)=t/d(a)}$
4. 最適化ベースの方法は、各インスタンスについて、そのインスタンスに対して「可能な限り公平な」割り当てを達成することを目的としています。割り当てが「公平」なのは、 すべてのエージェントiに対しての場合です。この場合、割り当ての「不公平さ」は 0 であると言えます。この等式が満たされない場合は、「総不公平さ」の尺度を定義し、それを最小限に抑えることができます。不公平さの合計、または最大の不公平さを最小化することができます。各最適化基準によって、最適な割り当てルールは異なります。${\displaystyle a_{i}=q_{i}}$

エージェントの正確な割当量はである。配分方法の基本要件は、割当量が整数である場合は各エージェントに割当量を割り当てることである。そうでない場合は、正確な割当量に近い整数、つまり下限割当量または上限割当量を割り当てる必要がある。^[11]配分方法は、 ${\displaystyle i}$${\displaystyle q_{i}=t_{i}\cdot h}$${\displaystyle i}$${\displaystyle q_{i}}$ ${\displaystyle \lfloor q_{i}\rfloor }$ ${\displaystyle \lceil q_{i}\rceil }$

• すべて の場合、下限クォータを満たします(これは の場合に成立します)。${\displaystyle a_{i}\geq \lfloor q_{i}\rfloor }$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}+1>q_{i}}$
• すべて に対して の上限を満たします( の場合に限り有効)。${\displaystyle a_{i}\leq \lceil q_{i}\rceil }$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}-1<q_{i}}$
• 上記の条件が両方とも満たされる場合、両方の割り当てを満たします(これは の場合に当てはまります)。${\displaystyle {\frac {q_{i}}{a_{i}+1}}<1<{\frac {q_{i}}{a_{i}-1}}}$

ハミルトンの最大剰余法は、構成上、下限値と上限値の両方を満たす。これは除数法には当てはまらない。^{[7] : 命題6.2, 6.3, 6.4, 6.5}

• エージェントが 2 台の場合、すべての除数メソッドは両方の割り当てを満たします。
• ウェブスター法は、3 つのエージェントの両方の割り当てを満たす唯一の除数法です。
• アダムス法は、任意の数のエージェントに対して上限を満たす唯一の除数法です。
• ジェファーソン法は、任意の数のエージェントに対してより低い割り当てを満たす唯一の除数法です。
• 除数メソッドは、1 つのエージェントの上限割り当てと別のエージェントの下限割り当てを同時に違反しません。

したがって、いかなる除数法も、エージェントの数に関係なく上限と下限の両方を満たすことはできない。ジェファーソンとアダムスの一意性は、ランクインデックス法のはるかに大きなクラスでも当てはまる。^[12]

これは除数法の欠点とみなすことができるが、割当基準の欠点とも考えられる: ^{[7] : 129}

「例えば、表 10.1 で D に 25 議席ではなく 26 議席を与えるということは、より小さな州 A、B、または C から議席を 1 つ奪うことを意味します。このような議席の移譲は、D 州が下限議席数より 1 議席少ない議席を獲得することによって受ける不利益よりも、絶対的にも相対的にも、より小さな州の 1 人当たりの議席数に大きな不利益をもたらします。一部の州が上限議席数より多くを獲得することが合理的であるような類似の例を作り上げることができます。議席数内にとどまることは、比例性の考え方とはまったく相容れないと主張できます。なぜなら、より小さな州の 1 人当たりの議席数に大きな州よりも大きなばらつきを許すことになるからです。」

モンテカルロシミュレーションでは、ウェブスター法は両方の割り当てを非常に高い確率で満たします。さらに、ウェブスター法は、ほぼ割り当てを満たす唯一の分割法です。^{[7] : Thm.6.2}からに席を移動することで、両方の割り当てに近づくエージェントは存在しません。${\displaystyle i,j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$

${\displaystyle q_{i}-(a_{i}-1)~<~a_{i}-q_{i}~~{\text{ and }}~~(a_{j}+1)-q_{j}~<~q_{j}-a_{j}}$。

ジェファーソン法は、両方の割り当てを満たすように修正することができ、クォータ・ジェファーソン法となる。^[11]さらに、任意の除数法も、両方の割り当てを満たすように修正することができる。 ^[13]これにより、クォータ・ウェブスター法、クォータ・ヒル法などが得られる。この一連の方法は、クォータとハウス単調性の両方を満たすため、しばしば四元法と呼ばれる^[12]。

配分方法を評価する方法の 1 つは、エージェントのペア間の不平等の量を最小化するかどうかです。明らかに、不平等はさまざまな権利を考慮に入れる必要があります。つまり、 の場合、エージェントは「平等に」扱われます (権利に関して)。そうでない場合、 の場合、エージェントが優遇され、の場合、エージェントが優遇されます。ただし、平等を再配置する方法は 16 通りあるため、不平等を定義する方法もそれに応じて多数あります。^{[7] : 100–102}${\displaystyle a_{i}/t_{i}=a_{j}/t_{j}}$${\displaystyle a_{i}/t_{i}>a_{j}/t_{j}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle a_{i}/t_{i}<a_{j}/t_{j}}$${\displaystyle j}$${\displaystyle a_{i}/t_{i}=a_{j}/t_{j}}$

• ${\displaystyle |a_{i}/t_{i}-a_{j}/t_{j}|}$ウェブスター法は、エージェントとの各ペアについて、この差が最小化される唯一の配分法です（つまり、座席を から へ、またはその逆に移動しても、差は小さくなりません）。${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$
• ${\displaystyle a_{i}-(t_{i}/t_{j})a_{j}}$これは アダムスの方法につながります。${\displaystyle a_{i}/t_{i}\geq a_{j}/t_{j}}$
• ${\displaystyle a_{i}(t_{j}/t_{i})-a_{j}}$について。これはジェファーソンの方法につながります。${\displaystyle a_{i}/t_{i}\geq a_{j}/t_{j}}$
• ${\displaystyle |t_{i}/a_{i}-t_{j}/a_{j}|}$これがディーンの手法につながります。
• ${\displaystyle \left|{\frac {a_{i}/t_{i}}{a_{j}/t_{j}}}-1\right|}$これがハンチントン・ヒル法につながります。

この分析は1920年代にハンチントンによって行われた。 ^{[14] [15] [16]}いくつかの可能性は安定した解をもたらさない。例えば、不平等を と定義すると、任意の割り当てに対して、あるエージェントから別のエージェントに議席を移動することで、そのペア間の不平等が減少する可能性がある。人口（737,534,329）と16議席を持つ3つの州の例がある。^{[7] ：命題3.5}${\displaystyle |a_{i}/a_{j}-t_{i}/t_{j}|}$

配分の議席偏向とは、配分方法が大規模政党または小規模政党のいずれかを体系的に有利にする傾向のことです。ジェファーソンの方法とドループの方法は、大規模州に大きく有利に偏っています。アダムスの方法は小規模州に有利に偏っています。ウェブスターの方法とハンティントン・ヒルの方法は、大規模州にも小規模州にも実質的に偏りがありません。

一貫性プロパティは、特定の配分ではなく、配分方法を特徴付けるプロパティです。各一貫性プロパティは、異なる入力に対する特定の方法の結果を比較します。このようなプロパティはいくつか研究されています。

国家人口単調性とは、あるエージェントの権利が増加しても、その配分は減少しないことを意味する。この名前は、エージェントが連邦国家であり、その権利が人口によって決定されるという設定に由来する。この特性に反する状態は人口パラドックスと呼ばれる。この特性にはいくつかのバリエーションがある。その 1 つであるペアワイズ PMは、除数法によってのみ満たされる。つまり、配分法がペアワイズ PM であるのは、それが除数法である場合のみである。 ^{[7] : Thm.4.3}

かつのとき、どの部分配分法もペアワイズPM、下限割り当て、上限割り当てを満たさない。^{[7] ：Thm.6.1}前のステートメントと組み合わせると、どの除数法も両方の割り当てを満たさないことが示される。 ${\displaystyle n\geq 4}$${\displaystyle h\geq n+3}$

ハウス単調性とは、議席の総数が増加しても、議席を失うエージェントがいないことを意味する。この特性の違反はアラバマのパラドックスと呼ばれる。これは、議会の規模が10年ごとに増加した米国の初期の時代に特に重要であると考えられていた。ハウス単調性はペアワイズPMよりも弱い。すべてのランクインデックス法（したがってすべての除数法）はハウス単調である - これは反復手順から明らかである。除数法の他に、他のハウス単調法があり、それらのいくつかは両方のクォータも満たす。たとえば、 BalinskyとYoungのクォータ法は、構成上ハウス単調性と上限クォータを満たし、下限クォータも満たすことが証明できます。 ^[11]これは一般化可能であり、ハウス単調で両方のクォータを満たすすべての配分方法を生成する一般的なアルゴリズムが存在しますしかし、これらのクォータベースの方法（クォータ・ジェファーソン、クォータ・ヒルなど）はすべて、ペアワイズPMに違反する可能性がある。つまり、一方のエージェントが人口を増やしても議席を失う例がある。 ^{[7] : Sec.7}${\displaystyle h}$

均一性（一貫性とも呼ばれる^[17]）とは、エージェントの一部のサブセットを取り、それらの組み合わせた割り当てに同じ方法を適用すると、結果がベクトルになることを意味します。すべてのランクインデックス法（したがってすべての除数法）は均一です。なぜなら、これらの方法は、エージェントに事前に決定された方法（によって決定され、この順序は他のエージェントの有無に依存しない）で席を割り当てるからです。さらに、匿名かつバランスの取れたすべての均一な方法は、ランクインデックス法でなければなりません。^{[7] : Thm.8.3}${\displaystyle 1,\ldots ,k}$${\displaystyle h_{k}=a_{1}+\cdots +a_{k}}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{k})}$${\displaystyle r(t,a)}$

匿名で弱正確かつ一致する（＝を意味する）すべての一様法は、必ず除数法である。^{[7] : Thm.8.4}さらに、すべての匿名法の中で：^[12]${\displaystyle t_{i}>t_{j}}$${\displaystyle a_{i}\geq a_{j}}$

• ジェファーソン方式は、より低い割り当てを満たす唯一の統一方式です。
• アダムス法は上限を満たす唯一の統一的な方法です。
• ウェブスター法は、割り当てに近い唯一の統一的な方法です。
• 両方の割り当てを満たす統一的な方法はありません。特に、ハミルトン法と割り当て法は統一的ではありません。ただし、割り当て法は、ハウス単調性と「割り当て一貫性」(統一性の弱い形式) に加えて、両方の割り当てを満たす唯一の方法です。

エージェントが政党である場合、それらは分裂したり合併したりすることがよくあります。そのような分裂/合併が配分にどのような影響を与えるかは、政治的断片化に影響を与えます。特定の配分方法によって 2 人のエージェントにそれぞれいくつかの議席が与えられ、その後これら 2 人のエージェントが連立を形成し、その方法が再び有効になったとします。 ${\displaystyle i,j}$${\displaystyle a_{i},a_{j}}$

• 配分方式では、2 つの政党の連立政権が少なくとも議席を獲得する場合、常に 連立政権が促進されます (言い換えると、分裂防止方式、つまり政党が分裂して議席を獲得できない方式)。${\displaystyle a_{i}+a_{j}}$
• 配分方式では、連立政権が獲得できる議席が最大でも以下の場合、常に 分裂が促進されます （言い換えると、合併不可能であり、2 つの政党が合併して議席を獲得することはできません）。${\displaystyle a_{i}+a_{j}}$

除数法には次のようなものがある: ^{[7] : Thm.9.1, 9.2, 9.3}

• ジェファーソン法は、分割不可能な唯一の除数法です。
• アダムス法は、マージ不可能な唯一の除数法です。
• ウェブスターの方法は分裂防止でも合併防止でもないが、「連立中立」である。つまり、票がランダムに配分される（一律の剰余金を持つ）場合、連立政権が議席を獲得するか失う可能性は等しい。^{[7] : 命題9.4}

これらは異なる方法であるため、どの除数法も正確に議席数を持つ連立政権を導き出すことはできない。さらに、この一意性は、ランクインデックス法というはるかに大きなクラスに拡張することができる。^[12]${\displaystyle i,j}$ ${\displaystyle a_{i}+a_{j}}$

「連立安定性」と呼ばれるより弱い特性は、 のすべての連立政権が ～ 議席を獲得する必要があることです。 したがって、政党は合併/分裂によって最大で 1 議席しか獲得できません。 ${\displaystyle i,j}$${\displaystyle a_{i}+a_{j}-1}$${\displaystyle a_{i}+a_{j}+1}$

• ハミルトン法は連合的に安定である。^{[18] : Thm.2  [12] : 付録}
• 除数を持つ除数法は、次の場合に限り連立安定である。これは5つの標準的な除数法すべてに当てはまる。^{[18] : Thm.1}${\displaystyle d}$${\displaystyle d(a_{1}+a_{2})\leq d(a_{1})+d(a_{2})\leq d(a_{1}+a_{2}+1)}$

さらに、両方の割り当てを満たすすべての方法は「ほぼ連立安定」であり、その間のすべての連立政権に議席を与える。 [ ^12]${\displaystyle a_{i}+a_{j}-2}$${\displaystyle a_{i}+a_{j}+2}$

次の表は、配分方法のクラスごとの一意性の結果をまとめたものです。たとえば、左上のセルは、ジェファーソン法が下限割当ルールを満たす一意の除数法であることを示しています。

• いくつかの一般的な配分ルールの Javascript デモ

• 比例代表制
• 異なる権利を持つ比例ケーキカット
• 公平なアイテムの割り当て

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