配分パラドックス

配分パラドックスとは、配分（個別の対象を何らかの比例関係に従って分割する規則）によって常識や公平性の概念に反する結果が生じる状況のことです。

牛乳のような特定の量は、どのような割合でも分割できますが、馬のような他の量は分割できず、整数でしか分割できません。後者の場合、できる限り比例のルールに従いたいという欲求と、各部分のサイズを離散的な値に制限するという制約との間には、本質的な緊張関係があります。

配分と公平な分配に関連するいくつかのパラドックスが特定されています。場合によっては、配分方法に簡単な調整を加えるだけで、観察されたパラドックスを解決できます。しかし、バリンスキー・ヤングの定理が示すように、競合する公平性の基準をすべて満たす完全に公平な解決策を提供することが常に可能であるとは限りません。^{[1] : 227–235}

1880 年のアメリカ合衆国議会の議席配分の文脈で「アラバマパラドックス」として知られる議席配分のパラドックスの例が発見されました。 ^{[1] : 228–231}国勢調査の計算により、仮に下院の議席総数が増加した場合、アラバマの議席は 8 から 7 に減少することが判明しました。実際の影響は 1900 年に観察されました。バージニア州の人口はより急速に増加していたにもかかわらず、バージニア州はメイン州に議席を奪われました。これは人口パラドックスの例です。^{[1] : 231–232} 1907 年にオクラホマが州になったとき、ニューヨーク州はメイン州に議席を奪われたため、「新州パラドックス」と呼ばれました。^{[1] : 232–233  [2]}

この時期に使用された配分方法は、もともとアレクサンダー・ハミルトンによって提案されたが、ジョージ・ワシントンによって拒否され、1852年まで採用されなかった^{[1] ：228}、次のとおりである。

• まず、各州の公平な割り当て、つまり小数値が許可された場合に各州が獲得する議席の比例割り当てが計算されます。
• 第二に、各州は、その公平な割り当ての整数部分と同じ数の議席を受け取ります。
• 第三に、公平な割り当てが 1 未満の州は、アメリカ合衆国憲法の規定に従い、人口に関係なく 1 議席を獲得します。
• 第四に、残りの議席は、公平な割り当ての端数が最も多い州にそれぞれ 1 議席ずつ分配されます。

ハミルトン法はトーマス・ジェファーソン^{[  1]}が提案した丸め法に代わるもので、 1941年にハンティントン・ヒル法に置き換えられました。^[1]

アラバマのパラドックスは、最初に発見された配分パラドックスでした。米国下院は、10 年ごとに人口に基づいて議席を割り当てることが憲法で義務付けられています。下院の規模は法律で定められています。

1880年の国勢調査後、アメリカ合衆国国勢調査局の主任書記官であったCWシートンは、定数275から350までのすべての下院議員の議席配分を計算し、下院議員数が299の場合、アラバマ州は8議席を獲得するが、定数300の場合は7議席しか獲得できないことを発見した。 ^{[1] : 228–231}一般にアラバマ・パラドックスという用語は、項目の総数を増やすと割り当ての1つが減少する配分シナリオを指す。1900年の国勢調査後に国勢調査局が行った同様の計算では、定数350から400までのすべての下院議員の議席配分が計算され、コロラド州はすべてのケースで3議席を獲得したが、定数357の場合は2議席を獲得した。^[3]

以下は、3 つの州と 10 議席および 11 議席を持つ 簡略化された例 (最大剰余法に従う) です。

議席の追加により、州 C のシェアが 2 から 1 に減少することに注目してください。

この例では、議席数が 10% 増加し、各州の議席数は 10% 増加します。ただし、議席数を固定パーセント増加させると、議席数が大きいほど公平な議席数が増えます (つまり、大きい州は小さい州よりも公平な議席数が増えます)。特に、大きい A と B は、小さい C よりも公平な議席数の増加が速くなりました。したがって、A と B の小数部分は、C よりも速く増加しました。実際、ハミルトン方式では、小数部分の余りが最大である州に応じて議席を割り当てるため、A と B は C の議席数を追い越し、C は議席を失いました。

アラバマのパラドックスは、ハウスの単調性として知られる公理を生み出しました。これは、ハウスのサイズが増加すると、すべての州の割り当てが弱く増加するはずであるというものです。

人口パラドックスは、いくつかの配分手順によって直感に反する結果がもたらされます。2 つの州で人口増加率が異なる場合、人口増加が急速な小規模州は、人口増加が遅い大規模州に議席を奪われる可能性があります。

ハミルトン法などの初期の議会の議席配分方法には、人口パラドックスが見られるものもあった。1900年、バージニア州の人口はメイン州よりも急速に増加していたにもかかわらず、バージニア州はメイン州に議席を奪われた。^{[1] : 231–232}しかし、現在の方法のような除数法では、人口パラドックスは見られない。^[要出典]

下院議員の総数は固定されており（米国下院により決定）、新しい州を追加すると理論上は既存の州の下院議員の数が減る。米国憲法では各州は人口に関わらず少なくとも 1 人の下院議員を擁する権利がある。また、下院議員の数が新しい州の下院議員の数だけ増加したとしても、特定の配分規則が切り上げ方法をどう扱うかによって、既存の州が議席を失う可能性がある。1907 年にオクラホマ州が州になったとき、同州には公平な議席が与えられ、総議席数はその数だけ増加した。下院議員は 386 名から 391 名に増加した。配分の再計算により、他の州のために議席数に影響が出た。ニューヨーク州は議席を 1 つ失い、メイン州は 1 つ増えた。^{[1] : 232–233  [2]}

アラバマのパラドックスは、一貫性として知られる公理を生み出しました。これは、一部の州で配分規則が有効になり、一部の議席がそれらの州に割り当てられる場合、結果は全体的な解決策と同じになるはずだというものです。

1983年、ミシェル・バリンスキーとペイトン・ヤングという2人の数学者が、クォータ規則に違反しない配分方法では、政党（または州、地域など）が4つ以上ある場合は必ずパラドックスが生じることを証明した。^{[4] [5]}より正確には、彼らの定理によれば、3つ以上の州に対して以下の特性を持つ配分システムは存在しない^{[1] : 233–234} （例として、比例代表 制における政党間の議席配分を取り上げます）。

• これによって、クォータ規則違反を回避できます。各政党は、その公平な議席配分に最も近い 2 つの数値のうちの 1 つを獲得します。たとえば、政党の公平な議席配分が 7.34 議席の場合、違反を回避するには 7 議席または 8 議席を獲得する必要があります。それ以外の数値は規則違反になります。
• 人口パラドックスは発生しません。つまり、政党 A の得票数が多く、政党 B の得票数が少ない場合、議席は A から B に移行しません。

人口パラドックスのない配分方法は、常にアラバマパラドックスがないことは注目に値する。しかし、逆は真ではない。ウェブスターの方法は、3つの州がある場合でも矛盾がなく、割り当てを維持することができる。すべての合理的な方法は、単純な2つの州の場合の両方の基準を満たしている。^{[4] [5]}

これらは不可能性を示しています。配分方法はこれらの特性のサブセットを持つことができますが、すべてを持つことはできません。

• ある方法は、アラバマ パラドックスと人口パラドックスの両方から解放されている可能性があります。これらの方法は除数法であり、現在下院議席の割り当てに使用されているハンティントン ヒル法はその 1 つです。ただし、これらの方法は、他の状況では常にクォータに従うことにはならないことは必然です。
• いかなる方法も常に割り当てに従い、人口パラドックスから自由になることはできない。^[6]

選挙における議席の配分は、文化的な関心事として大きな問題となっている。1876 年の米国大統領選挙では、残りの議席の計算方法が勝敗を左右した。ラザフォード・ヘイズは185 票の選挙人票を獲得し、サミュエル・ティルデンは184 票を獲得した。ティルデンが一般投票で勝利した。別の四捨五入方法であれば、最終的な選挙人票の集計結果は逆になっていただろう。^{[1] : 228}ただし、数量を個別の等しいチャンクに分割する数学的に類似した状況は数多く発生する。^{[1] : 233}これらの状況では、バリンスキー - ヤングの定理が適用される。この定理は、非常に合理的な近似値を作成することはできるが、競合する公平性の要素をすべて遵守しながら、残りのわずかな議席を調整する数学的に厳密な方法は存在しないことを示している。^{[1] : 233}一般的に、数学者からの反応は、割り当ての誤差が時には1議席をわずかに超える可能性があることを認め、クォータルールをそれほど重要でない特性として放棄することであった。

割当制に従う方法はアラバマのパラドックスから解放されるかもしれない。バリンスキーとヤングはそうした方法を構築したが、これは政治的に一般的に使用されているわけではない。^[7]

• 憲法とパラドックス
• 配分：バリンスキーとヤングの貢献