最適な配分

最適配分は、数学的最適化に基づいた配分のアプローチです。

配分の問題では、で表される割り当てるリソースがあります。たとえば、これは下院の議席数を表す整数です。リソースは、いくつかのエージェント間で割り当てる必要があります。たとえば、これらは連邦州または政党です。エージェントはそれぞれ異なる権利を持ち、これは合計が 1 となる分数のベクトルで表されます。たとえば、t _{i は}政党iが獲得した票の割合です。目標は、となるベクトルである割り当てを見つけることです。 ${\displaystyle h}$${\displaystyle n}$ ${\displaystyle t_{1},\ldots ,t_{n}}$${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=h}$

エージェントiの理想的なシェアは、 と定義されるそのエージェントの割り当てです。各エージェントに割り当てを与えることが可能であれば、割り当ては最大限公平です。ただし、割り当ては整数ではなく、割り当ては整数でなければならないため、通常、正確な公平性は達成できません。この困難に対処するには、さまざまなアプローチがあります (割り当ての数学 を参照)。最適化ベースのアプローチは、各インスタンスに対して「可能な限り公平な」割り当てを達成することを目指します。割り当てが「公平」であるのは、 すべてのエージェントiに対して、つまり各エージェントの割り当てが各エージェントの権利に正確に比例している場合です。この場合、割り当ての「不公平さ」は 0 であると言えます。この等式に違反する必要がある場合は、「総不公平さ」の尺度を定義し、それを最小化するように試みることができます。 ${\displaystyle q_{i}:=t_{i}\cdot h}$${\displaystyle a_{i}=q_{i}}$

最も自然な尺度は、功利主義のルールに従って、個々のエージェントの不公平度の合計である：^{[1] ：102–104}

• 各州（または政党）に均等に重みを付ける差の合計、または二乗の合計を最小化することができます。両方の最小化問題はハミルトン法によって解決されます。${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}|a_{i}-q_{i}|}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}(a_{i}-q_{i})^{2}}$
• 合計の要素を人口、または同等の割り当てによって重み付けし、カイ二乗統計量 を最小化するように試みることができます。これはウェブスター法につながります。${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}q_{i}(a_{i}/q_{i}-1)^{2}}$
• 合計の要素に割り当てによって重みを付け、 を最小化するように試みることができます 。これはヒル法につながります。${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}(q_{i}/a_{i}-1)^{2}}$

平等主義のルールのように、最大​​の不公平を最小限に抑えることができます。

• を最小化し、次に大きい不公平などをレキシミン順序を使用して最小化することができます。これにより、レキシミン配分法と呼ばれる方法が得られます。これは、それを計算するための効率的なアルゴリズムを提示したBiro、Koczy、およびSziklaiによって最初に開発されました。^[2]その主な目的は、エージェント間のアイテムの均等配分からの最大逸脱が可能な限り小さくなければならないというヴェネツィア委員会の要件を満たすことです。その欠点は、クォータルールとすべての単調性基準に違反することです。^[3]${\displaystyle \max_{i=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-1|}$
• バートとハリス（1963）はを最小化することを提案した。^[4]${\displaystyle \max_{i,j=1}^{n}|q_{i}/a_{i}-q_{j}/a_{j}|}$
• 最小化はアダムス法につながります。${\displaystyle \max_{i=1}^{n}q_{i}/a_{i}}$
• 最小化はジェファーソンの方法につながります。${\displaystyle \max_{i=1}^{n}a_{i}/q_{i}}$
• を最大化することも、同等に を最小化することもできます。この方法は両方の割り当てを満たします。${\displaystyle \min_{i=1}^{n}(a_{i}-q_{i})}$${\displaystyle \max_{i=1}^{n}(q_{i}-a_{i})}$
• ミニマックス法は公平性基準に基づいて任意の優先順位付けに一般化できる。^[5]