ランクインデックス法

配分理論において、順位指数法^{[1] :Sec.8}は、除数法を一般化した配分法の集合である。これらは、エドワード・ヴァーミリー・ハンチントンのアイデアを一般化したものであるため、ハンチントン法^[2]とも呼ばれる。

すべての配分方法と同様に、ランクインデックス法の入力は次のとおりです。

• 割り当てるアイテムの合計数を表す正の整数。ハウス サイズとも呼ばれます。${\displaystyle h}$

• アイテムを割り当てるエージェントの数を表す正の整数。たとえば、連邦州や政党などがこれに該当します。${\displaystyle n}$
• 権利を表す、を含む分数のベクトル-はエージェント の権利、つまり が権利を持つ項目の割合 ( の合計のうち)を表します。${\displaystyle (t_{1},\ldots ,t_{n})}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}t_{i}=1}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle i}$${\displaystyle h}$

その出力は の整数のベクトルで、の配分と呼ばれます。ここで はエージェントiに割り当てられたアイテムの数です。 ${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$${\displaystyle \sum _{i=1}^{n}a_{i}=h}$${\displaystyle h}$${\displaystyle a_{i}}$

すべてのランクインデックス法は、権利が増加し、現在の割り当てが減少するランクインデックス関数 によってパラメータ化されます。配分は次のように反復的に計算されます。 ${\displaystyle r(t,a)}$${\displaystyle t}$${\displaystyle a}$

• 最初はすべてのパーティに対して 0 に設定されます。${\displaystyle a_{i}}$
• 各反復で、が最大となるエージェントに 1 つのアイテムを割り当てます(同点の場合は任意に決定します)。${\displaystyle r(t_{i},a_{i})}$
• 反復後に停止します。${\displaystyle h}$

除数法は、ランクインデックス法の特殊なケースです。除数関数を持つ除数法は、ランクインデックス関数を持つランクインデックス法と同等です。 ${\displaystyle d(a)}$${\displaystyle r(t,a)=t/d(a)}$

すべてのランクインデックス法は、最小最大不等式を使用して定義できます。aは、関数rを持つランクインデックス法の割り当てであり、次の場合に限ります。^{[1] ：Thm.8.1}

${\displaystyle \min _{i:a_{i}>0}r(t_{i},a_{i}-1)\geq \max _{i}r(t_{i},a_{i})}$。

すべてのランクインデックス法はハウス単調です。つまり、が増加すると、各エージェントの割り当てが弱く増加します。これは、反復手順からすぐにわかります。 ${\displaystyle h}$

すべてのランクインデックス法は均一です。つまり、エージェントのサブセットをいくつか取り、それらの組み合わせた割り当てに同じ方法を適用すると、結果はまさにベクトルになります。言い換えると、公平な割り当てのすべての部分も公平です。これは、最小最大不等式から直ちにわかります。 ${\displaystyle 1,\ldots ,k}$${\displaystyle (a_{1},\ldots ,a_{k})}$

さらに：

• 均一で対称的でバランスのとれた配分方法はすべて順位指数法でなければならない。^{[1] : Thm.8.3}
• 均一で、ハウスモノトーンで、バランスのとれた配分方法はすべて、順位指数方式でなければなりません。^[2]

クォータキャップ付き除数法は、まず各州に下限議席を割り当てる配分方法です。次に、議席当たりの得票数の平均が最も高い州に議席を1つずつ追加します。ただし、追加議席によってその州の上限議席数を超えない限りです。^[3]ただし、クォータキャップ付き除数法は参加基準（人口単調性とも呼ばれる）に違反しており、政党がより多くの票を獲得した結果、議席を失う可能性があります。^{[4] : Tbl.A7.2}

すべてのクォータキャップ付き除数法はハウス単調性を満たす。さらに、クォータキャップ付き除数法はクォータ規則を満たす。^{[5] : Thm.7.1}

しかし、クォータ上限付き除数法は参加基準（人口単調性とも呼ばれる）に違反しており、政党がより多くの票を獲得した結果として議席を失う可能性がある。^{[5] : Tbl.A7.2}これは次の場合に発生する。

1. 政党i がより多くの票を獲得します。
2. 除数が大きいため、他の政党jの上限割り当てが減少します。したがって、政党j は現在の反復で議席を獲得する資格がなく、代わりに第三者が議席を獲得します。
3. そして、次の反復では、政党jが再び議席を獲得する資格を得て、政党i に勝ちます。

さらに、他のアルゴリズムの割当上限バージョンは、エラー（国勢調査の誤数など）がある場合に、実際の割当を頻繁に違反します。ジェファーソン法は、割当上限が設定された後でも、実際の割当を頻繁に違反しますが、ウェブスター法とハンティントン・ヒル法は、割当上限がなくても良好なパフォーマンスを発揮します。^[6]