ADM形式

アーノウィット・デザー・ミスナー（ADM）形式論（著者のリチャード・アーノウィット、スタンレー・デザー、チャールズ・W・ミスナーにちなんで名付けられた）は、一般相対性理論のハミルトン定式化であり、標準的な量子重力理論と数値相対論で重要な役割を果たしている。1959年に初めて発表された。^[2]

著者らが1962年に発表した形式論の包括的なレビュー^[3]は、一般相対性理論と重力誌^[4]に再掲載されており、オリジナルの論文はPhysical Reviewのアーカイブ^[2]に保存されている。^[5]

この形式主義では、時空は、時間座標 でラベル付けされ、各スライス上の座標が で与えられる空間的表面の族に葉状化されると仮定します。この理論の動的変数は、3 次元空間スライスの計量テンソルとその共役運動量であるとみなされます。これらの変数を使用して、ハミルトニアン を定義し、それによって一般相対性理論の運動方程式をハミルトン方程式の形式で記述することができます。 ${\displaystyle \Sigma _{t}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle x^{i}}$${\displaystyle \gamma _{ij}(t,x^{k})}$ ${\displaystyle \pi ^{ij}(t,x^{k})}$

12 個の変数とに加えて、ラグランジュ乗数は 4 つあります。ラグランジュ乗数は、減衰関数、およびシフト ベクトル場の成分です。これらは、時空の葉理の各「葉」がどのように結合されるかを表します。これらの変数の運動方程式は自由に指定できます。この自由は、空間と時間における座標系の配置方法を指定する自由に対応します。 ${\displaystyle \gamma _{ij}}$${\displaystyle \pi ^{ij}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle \Sigma _{t}}$

ほとんどの参考文献では、4 次元テンソルは抽象的なインデックス表記法で書かれ、ギリシャ語のインデックスは値 (0, 1, 2, 3) を取る時空インデックスであり、ラテン語のインデックスは値 (1, 2, 3) を取る空間インデックスであるという表記法が採用されています。ここでの導出では、3 次元スライスの計量テンソルや完全な 4 次元時空の計量テンソルなど、通常 3 次元と 4 次元の両方のバージョンを持つ量に上付き文字 (4) が付加されます。 ${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle {^{(4)}}g_{\mu \nu }}$

ここでのテキストでは、繰り返されるインデックスの合計を想定する アインシュタイン表記法を使用しています。

2 種類の導関数が使用されます。 偏導関数は、演算子またはコンマが前に付いた下付き文字で 示されます。共変導関数は、演算子またはセミコロンが前に付いた下付き文字で 示されます。${\displaystyle \partial _{i}}$${\displaystyle \nabla _{i}}$

計量テンソル係数の行列式の絶対値は、（添え字なし）で表されます。添え字なしで書かれたその他のテンソル記号は、 などの対応するテンソルのトレースを表します。 ${\displaystyle g}$${\displaystyle \pi =g^{ij}\pi _{ij}}$

ADM分割は、時空メトリックを 3 つの空間コンポーネントと 1 つの時間コンポーネント (葉構造) に分離することを意味します。これにより、時空メトリックが空間部分と時間部分に分離され、重力場の進化の研究が容易になります。基本的な考え方は、時空メトリックを、超曲面間の時間発展を表すラプス関数と、これらの超曲面間の空間座標の変化を表すシフト ベクトル、および 3D 空間メトリックで表現することです。数学的には、この分離は次のように記述されます。

${\displaystyle ds^{2}=-N^{2}dt^{2}+g_{ij}(dx^{i}+N^{i}dt)(dx^{j}+N^{j}dt)}$

ここで、は適切な時間発展をエンコードする経過関数、は空間座標が超曲面間でどのように変化するかをエンコードするシフト ベクトルです。は各超曲面上の出現する 3D 空間メトリックです。 この分解により、時空発展方程式を制約 (空間超曲面上の初期データに関係する) と発展方程式 (時空の幾何学が 1 つの超曲面から別の超曲面にどのように変化するかを記述する) に分離できます。 ${\displaystyle N}$${\displaystyle N_{i}}$${\displaystyle g_{ij}}$

ADM定式化の出発点はラグランジアンである

${\displaystyle {\mathcal {L}}={^{(4)}R}{\sqrt {-^{(4)}g}},}$

これは、全時空の4次元計量テンソルの行列式の平方根とそのリッチスカラーの積です。これは、アインシュタイン-ヒルベルト作用からのラグランジアンです。

導出の望ましい結果は、4次元時空における3次元空間スライスの埋め込みを定義することである。3次元スライスの計量は

${\displaystyle g_{ij}={^{(4)}}g_{ij}}$

はハミルトン定式化の一般化座標となる。共役運動量は次のように計算できる。

${\displaystyle \pi ^{ij}={\sqrt {-^{(4)}g}}\left({^{(4)}}\Gamma _{pq}^{0}-g_{pq}{^{(4)}}\Gamma _{rs}^{0}g^{rs}\right)g^{ip}g^{jq},}$

標準的な技術と定義を用いて、記号は完全な4次元時空の計量に関連付けられた クリストッフェル記号です。${\displaystyle {^{(4)}}\Gamma _{ij}^{0}}$

${\displaystyle N=\left(-{^{(4)}g^{00}}\right)^{-1/2}}$

そしてシフトベクトル

${\displaystyle N_{i}={^{(4)}g_{0i}}}$

4 次元計量テンソルの残りの要素です。

定式化に必要な量を特定したら、次のステップはこれらの変数を使ってラグランジアンを書き直すことです。ラグランジアンの新しい表現は

${\displaystyle {\mathcal {L}}=-g_{ij}\partial _{t}\pi ^{ij}-NH-N_{i}P^{i}-2\partial _{i}\left(\pi ^{ij}N_{j}-{\frac {1}{2}}\pi N^{i}+\nabla ^{i}N{\sqrt {g}}\right)}$

は、２つの新しい量で便利に表される。

${\displaystyle H=-{\sqrt {g}}\left[^{(3)}R+g^{-1}\left({\frac {1}{2}}\pi ^{2}-\pi ^{ij}\pi _{ij}\right)\right]}$

そして

${\displaystyle P^{i}=-2\pi ^{ij}{}_{;j},}$

これらはそれぞれハミルトン制約と運動量制約として知られています。ラグランジアンでは、この遅れとシフトはラグランジュ乗数として現れます。

ラグランジアン内の変数は4次元時空に埋め込まれた3次元空間上の計量テンソルを表すが、ラグランジアン力学の通常の手順を使用して計量とその共役運動量の両方の時間発展を記述する「運動方程式」を導くことは可能であり望ましい。結果 ${\displaystyle g_{ij}}$${\displaystyle \pi ^{ij}}$

${\displaystyle \partial _{t}g_{ij}={\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi _{ij}-{\tfrac {1}{2}}\pi g_{ij}\right)+N_{i;j}+N_{j;i}}$

そして

${\displaystyle {\begin{aligned}\partial _{t}\pi ^{ij}=&-N{\sqrt {g}}\left(R^{ij}-{\tfrac {1}{2}}Rg^{ij}\right)+{\frac {N}{2{\sqrt {g}}}}g^{ij}\left(\pi ^{mn}\pi _{mn}-{\tfrac {1}{2}}\pi ^{2}\right)-{\frac {2N}{\sqrt {g}}}\left(\pi ^{in}{\pi _{n}}^{j}-{\tfrac {1}{2}}\pi \pi ^{ij}\right)\\&+{\sqrt {g}}\left(\nabla ^{i}\nabla ^{j}N-g^{ij}\nabla ^{n}\nabla _{n}N\right)+\nabla _{n}\left(\pi ^{ij}N^{n}\right)-{N^{i}}_{;n}\pi ^{nj}-{N^{j}}_{;n}\pi ^{ni}\end{aligned}}}$

は非線形の偏微分方程式の集合です。

経過とシフトに関する変化を取ることで制約方程式が得られる

${\displaystyle H=0}$

そして

${\displaystyle P^{i}=0,}$

また、座標系が空間と時間の両方で自由に指定できることを反映して、経過とシフト自体も自由に指定できます。

ADM定式化を用いると、量子力学における与えられたハミルトニアンに対応するシュレーディンガー方程式を構築するのと同じ方法で、重力の量子理論を構築しようとすることが可能である。つまり、正準運動量と空間計量関数を線形関数微分演算子に 置き換える。${\displaystyle \pi ^{ij}(t,x^{k})}$

${\displaystyle {\hat {g}}_{ij}(t,x^{k})\mapsto g_{ij}(t,x^{k}),}$

${\displaystyle {\hat {\pi }}^{ij}(t,x^{k})\mapsto -i{\frac {\delta }{\delta g_{ij}(t,x^{k})}}.}$

より正確には、古典的な変数を演算子に置き換えることは交換関係によって制限されます。帽子は量子論における演算子を表します。これは、Wheeler-DeWitt 方程式につながります。

アインシュタイン場の方程式の正確な解は比較的少数しか知られていません。他の解を見つけるために、数値相対論と呼ばれる活発な研究分野があり、スーパーコンピュータを使用して方程式の近似解を見つけています。このような解を数値的に構築するために、ほとんどの研究者は、ADM 定式化に密接に関連するアインシュタイン方程式の定式化から始めます。最も一般的なアプローチは、ADM 形式に基づく 初期値問題から始まります。

ハミルトン定式化では、基本的なポイントは、2 次方程式のセットを別の 1 次方程式のセットに置き換えることです。この 2 番目の方程式のセットは、ハミルトン定式化によって簡単に得ることができます。もちろん、これは数値物理学に非常に役立ちます。なぜなら、微分方程式の次数を減らすことは、コンピューター用の方程式を準備する場合に便利なことが多いからです。

ADM エネルギーは、一般相対論におけるエネルギーを定義する特別な方法であり、無限遠で明確に定義された計量テンソルに漸近的に近づく特殊な時空形状、たとえばミンコフスキー空間に漸近的に近づく時空にのみ適用されます。これらの場合の ADM エネルギーは、計量テンソルの規定された漸近形式からの偏差の関数として定義されます。言い換えると、ADM エネルギーは無限遠での重力場の強度として計算されます。

要求される漸近形式が時間に依存しない場合（ミンコフスキー空間自体など）、それは時間並進対称性を尊重します。すると、ネーターの定理はADM エネルギーが保存されることを意味します。一般相対性理論によれば、全エネルギーの保存則は、より一般的な時間依存の背景では成り立ちません。たとえば、物理宇宙論では完全に破られています。特に宇宙インフレーションは、真空のエネルギー密度がほぼ一定であるのに宇宙の体積が指数関数的に増加するため、「無」からエネルギー（および質量）を生み出すことができます。

2009年にDeruelleらは、ADM分解を使用し、追加の補助場を導入することで、 「ラグランジアンがリーマンテンソルの任意の関数である」修正重力理論のギボンズ・ホーキング・ヨーク境界項を見つける方法を発見した。^[6]

• ADM定式化を一般相対論の他のハミルトン定式化にリンクする

これは、M. Montesinos と J. Romero の「ADM 定式化と一般相対性理論の他のハミルトニアン定式化との関連付け」、Phys. Rev. D 107、044052 (2023) で行われています。DOI 10.1103/PhysRevD.107.044052

• 標準座標
• ハミルトン・ヤコビ・アインシュタイン方程式
• ペレスメトリック
• 形状ダイナミクス

• キーファー、クラウス（2007年）。『量子重力』オックスフォード、ニューヨーク：オックスフォード大学出版局。ISBN 978-0-19-921252-1。