リーマン・ペンローズ不等式

数学の一般相対性理論において、ロジャー・ペンローズ卿によって初めて予想されたペンローズ不等式は、時空の質量をそのブラックホールの総面積で推定するものであり、正の質量定理の一般化である。リーマンのペンローズ不等式は重要な特殊なケースである。具体的には、( M ,  g )が非負のスカラー曲率とADM質量mを持つ漸近平坦なリーマン3次元多様体であり、Aが最も外側の極小面の面積(複数の連結成分を持つ可能性あり)である場合、リーマンのペンローズ不等式は以下を主張する。

${\displaystyle m\geq {\sqrt {\frac {A}{16\pi }}}.}$

これは純粋に幾何学的な事実であり、 (3 + 1)次元時空の完全な3次元、空間的な、完全に測地的な 部分多様体の場合に対応します。このような部分多様体は、時空の時間対称初期データセットと呼ばれることがよくあります。( M、  g )が非負のスカラー曲率を持つ条件は、時空が支配的なエネルギー条件に従うことと同等です。

この不等式は、 1997 年にゲルハルト・ヒュイスケンとトム・イルマネンによって、 A が最も外側の極小曲面の最大要素の面積である場合に初めて証明されました。彼らの証明は、彼らが開発した弱く定義された逆平均曲率フローの仕組みに依存していました。1999 年に、ヒューバート・ブレイは、計量の共形フローを使用して上記の不等式の完全な証明を初めて示しました。両方の論文は 2001 年に発表されました。

ペンローズがそのような不等式を推測するに至った元々の物理的な議論は、ホーキングの面積定理と宇宙検閲仮説を引用した。

リーマン・ペンローズ不等式のブレイとフイスケン・イルマネンの証明はどちらも、仮定のもとで、

${\displaystyle m={\sqrt {\frac {A}{16\pi }}},}$

すると、問題の多様体は、その最も外側の極小面の外側にあるシュワルツシルト時空のスライス、つまりシュワルツシルト半径の球に対して等長になります。

より一般的には、ペンローズは、上記のような不等式は、必ずしも時間対称ではない時空の空間的部分多様体に対して成立するはずであると予想しました。この場合、非負のスカラー曲率は支配的なエネルギー条件に置き換えられ、1 つの可能性は、最小表面条件を見かけの地平線条件に置き換えることです。このような不等式を証明することは、ペンローズ予想と呼ばれる一般相対性理論における未解決の問題のままです。

• テレビのホームコメディ『ビッグバン・セオリー』シーズン8の第6話で、シェルドン・クーパー博士は、ノーベル賞受賞スピーチを準備しながら、ペンローズ予想を解決している最中であると主張している。

• Bray, H. (2001). 「正の質量定理を用いたリーマン・ペンローズ不等式の証明」. Journal of Differential Geometry . 59 (2): 177–267. Bibcode :2001JDGeo..59..177B. doi : 10.4310/jdg/1090349428 . MR  1908823.
• Bray, H.; Chruściel, P. (2003). 「ペンローズ不等式」. arXiv : gr-qc/0312047 .
• Huisken, G.; Ilmanen, T. (1997). 「リーマン・ペンローズ不等式」.国際数学研究通知. 1997 (20): 1045–1058. doi : 10.1155/S1073792897000664 . ISSN  1073-7928. MR  1486695.
• Huisken, G.; Ilmanen, T. (2001). 「逆平均曲率フローおよびリーマン・ペンローズ不等式」. Journal of Differential Geometry . 59 (3): 353–437. doi : 10.4310/jdg/1090349447 . hdl : 11858/00-001M-0000-0013-5581-4 . MR  1916951.