一般相対性理論で使われる質量の概念
システムのコマー質量（アーサー・コマー [1] にちなんで名付けられた）は、一般相対性理論で使用されるいくつかの正式な質量概念の1つです 。 コマー 質量 は 、 すべて の 計量 成分が時間に依存しないように記述できる時空で ある 、 任意 の 定常時空で定義できます。あるいは、定常時空は、時間的な キリングベクトル場 を持つ時空として定義することもできます 。
以下の議論は、(Wald, 1984、288 ページ) の動機づけ治療を拡張し簡略化したものです。
モチベーション シュワルツシルト計量 について考えてみましょう 。シュワルツシルト計量の フレーム場であるシュワルツシルト基底を使用すると、シュワルツシルト座標 r で試験質量を静止させるために必要な半径方向加速度は次の式で表されます 。
1つの
r ^
=
メートル
r
2
1 −
2 メートル
r
c
2
{\displaystyle a^{\hat {r}}={\frac {m}{r^{2}{\sqrt {1-{\frac {2m}{rc^{2}}}}}}}}
メトリックは静的であるため、「粒子を静止状態に保つ」ことには明確な意味があります。
この加速度が「重力」によるものであると解釈すると、法線加速度の積分に面積を掛けたものを計算して、「ガウスの法則」の積分を得ることができます。
4 π メートル
1 −
2 メートル
r
c
2
{\displaystyle {\frac {4\pi m}{\sqrt {1-{\frac {2m}{rc^{2}}}}}}}
これは r が無限大に近づくにつれて定数に近づきますが、 r に依存しない定数ではありません。したがって、上記の積分を囲むシェルの半径 r に依存しないようにするために、補正係数を導入する必要があります。シュワルツシルト計量の場合、この補正係数は、距離 r での「赤方偏移」または「時間の遅れ」係数です 。この係数は、局所的な力を「無限大の力」、つまり、無限大にいる観測者が粒子を静止させるためにひもを通して適用する必要がある力に「補正」するものと見なすこともできます。(Wald、1984)。
グ
t t
{\displaystyle {\sqrt {g_{tt}}}}
さらに進むために、静的メトリックの線要素を書き留めます。
d
s
2
=
グ
t t
d
t
2
+
q あなた 1つの d r 1つの t 私 c
ふ o r メートル
（ d x 、 d ええ 、 d ず ）
{\displaystyle ds^{2}=g_{tt}\,dt^{2}+\mathrm {二次\形式} (dx,\,dy,\,dz)}
ここで 、および二次形式は空間座標 x 、 y 、 z のみの関数であり、時間の関数ではありません。変数名の選択にかかわらず、座標系が直交座標系であると想定しないでください。メトリック係数のいずれも時間の関数ではないという事実により、メトリックは定常に なります。また、時間と空間の両方の要素を含む「交差項」( など) が存在しないという追加の事実により、メトリックは静的になります。
グ
t t
{\displaystyle g_{tt}}
d x d t
{\displaystyle dxdt}
いくつかのメトリック係数がゼロであるという単純化された仮定のため、この動機付け処理における結果の一部は、可能な限り一般的なものにはなりません。
平坦な時空では、位置を維持するために必要な固有加速度は です 。ここで、 u は浮遊粒子の 4 次元速度、は 固有時間です。曲がった時空では、共変微分を取る必要があります。したがって、加速度ベクトルは次のように計算されます。
d あなた
/
d τ
{\displaystyle du/d\tau }
τ
{\displaystyle \tau}
1つの
b
=
∇
あなた
あなた
b
=
あなた
c
∇
c
あなた
b
{\displaystyle a^{b}=\nabla_{u}u^{b}=u^{c}\nabla_{c}u^{b}}
1つの
b
=
あなた
c
∇
c
あなた
b
{\displaystyle a_{b}=u^{c}\nabla _{c}u_{b}}
ここで、は 単位時間的ベクトルであり、
u
b
{\displaystyle u^{b}}
u
b
u
b
=
−
1.
{\displaystyle u^{b}u_{b}=-1.}
加速度ベクトルの表面法線方向の成分は
a
n
o
r
m
=
N
b
a
b
{\displaystyle a_{\mathrm {norm} }=N^{b}a_{b}}
ここで、N b は 表面に対して垂直な単位ベクトルです。
例えばシュヴァルツシルト座標系では、
N
b
a
b
=
∂
g
t
t
∂
r
c
2
2
g
t
t
g
r
r
=
m
r
2
1
−
2
m
r
c
2
{\displaystyle N^{b}a_{b}={\frac {{\frac {\partial g_{tt}}{\partial r}}c^{2}}{2g_{tt}{\sqrt {g_{rr}}}}}={\frac {m}{r^{2}{\sqrt {1-{\frac {2m}{rc^{2}}}}}}}}
予想通り、フレーム フィールドで提示された以前の結果を座標ベースで単純に再導出しました。
私たちは定義します
a
inf
=
g
t
t
a
{\displaystyle a_{\inf }={\sqrt {g_{tt}}}\,a}
シュワルツシルトの例では次のようになります。
N
b
a
inf
b
=
m
/
r
2
.
{\displaystyle N^{b}a_{\inf \,b}=m/r^{2}.}
必要に応じて、スカラーポテンシャル Z から加速度 と調整された「無限遠での加速度」を導き出すことができます が、そうすることで必ずしも特別な利点があるわけではありません。(Wald 1984、158 ページ、問題 4)
a
b
{\displaystyle a_{b}}
a
inf
b
{\displaystyle a_{\inf \,b}}
a
b
=
∇
b
Z
1
Z
1
=
ln
g
t
t
{\displaystyle a_{b}=\nabla _{b}Z_{1}\qquad Z_{1}=\ln {g_{tt}}}
a
inf
b
=
∇
b
Z
2
Z
2
=
g
t
t
{\displaystyle a_{\inf \,b}=\nabla _{b}Z_{2}\qquad Z_{2}={\sqrt {g_{tt}}}}
境界面上の「無限遠加速度」の法線成分を積分すると、包囲球の形状に依存しない量が得られることを実証し 、積分によって球に囲まれた質量を計算できるようにします。
a
inf
{\displaystyle a_{\inf }}
m
=
−
1
4
π
∫
A
N
b
a
inf
b
d
A
{\displaystyle m=-{\frac {1}{4\pi }}\int _{A}N^{b}a_{\inf \,b}\;dA}
このデモンストレーションを行うには、この表面積分を体積積分として表現する必要があります。平坦な時空では、 ストークスの定理を 使用して体積を積分します 。曲がった時空では、このアプローチを少し変更する必要があります。
−
∇
⋅
a
inf
{\displaystyle -\nabla \cdot a_{\inf }}
曲がった時空における電磁気学 の公式を参考にして 、代わりに次のように書きます。
F
a
b
=
a
inf
a
u
b
−
a
inf
b
u
a
{\displaystyle F_{ab}=a_{\inf \,a}\,u_{b}-a_{\inf \,b}\,u_{a}}
ここで、F は「ファラデーテンソル」と同様の役割を果たします。つまり、 これを球体の体積にわたって
評価して積分することで、「重力電荷」の値、つまり質量を見つけることができます。
a
inf
a
=
F
a
b
u
b
{\displaystyle a_{\inf \,a}=F_{ab}u^{b}}
∇
a
F
a
b
u
b
{\displaystyle \nabla ^{a}F_{ab}u^{b}}
別の方法としては微分形式を 使うことです が、上記の方法の方が計算的に便利であり、読者が微分形式を理解する必要もありません。
仮定した線要素から、長いが簡単な（コンピュータ代数による）計算により、次のことがわかります。
−
u
b
∇
a
F
a
b
=
g
t
t
R
00
u
a
u
b
=
g
t
t
R
a
b
u
a
u
b
{\displaystyle -u^{b}\nabla ^{a}F_{ab}={\sqrt {g_{tt}}}R_{00}u^{a}u^{b}={\sqrt {g_{tt}}}R_{ab}u^{a}u^{b}}
つまり、
m
=
g
t
t
4
π
∫
V
R
a
b
u
a
u
b
{\displaystyle m={\frac {\sqrt {g_{tt}}}{4\pi }}\int _{V}R_{ab}u^{a}u^{b}}
時空の真空領域では、リッチ テンソルのすべての成分はゼロでなければなりません。これは、真空の量に関係なく、体積積分は変化しないことを示しています。また、重力質量のすべてを表面内に収める限り、体積積分はどの表面でも一定であることを意味します。ストークスの定理により、表面積分は上記の体積積分に等しいことが保証されるため、表面が重力質量のすべてを囲んでいる限り、表面積分も表面に依存しません。
アインシュタインの場の方程式を使うことで
G
u
v
=
R
u
v
−
1
2
R
I
u
v
=
8
π
T
u
v
{\displaystyle G^{u}{}_{v}=R^{u}{}_{v}-{\frac {1}{2}}RI^{u}{}_{v}=8\pi T^{u}{}_{v}}
u=vとして足し合わせると、次のようになる。
R
=
−
8
π
T
.
{\displaystyle R=-8\pi T.}
これにより、質量式を応力エネルギーテンソルの体積積分として書き直すことができます。
m
=
∫
V
g
t
t
(
2
T
a
b
−
T
g
a
b
)
u
a
u
b
d
V
{\displaystyle m=\int _{V}{\sqrt {g_{tt}}}\left(2T_{ab}-Tg_{ab}\right)u^{a}u^{b}dV}
どこ
V は 積分される体積です。 T ab は 応力エネルギーテンソル です 。 u a は 、 u a u a = -1となる単位時間的ベクトルです 。
体積積分としてのコマール質量 - 一般定常計量 座標の選択に関係なく、コマール質量の式を一般的な定常計量に適用するには、式を少し変更する必要があります。正式な証明なしで、(Wald、1984 式 11.2.10) から適用可能な結果を示します。
m
=
∫
V
(
2
T
a
b
−
T
g
a
b
)
u
a
ξ
b
d
V
,
{\displaystyle m=\int _{V}\left(2T_{ab}-Tg_{ab}\right)u^{a}\xi ^{b}dV,}
どこ
Vは 積分される体積である T ab は 応力エネルギーテンソル です 。 u a は、 u a u a = -1 となる単位時間的ベクトルである。
ξ
b
{\displaystyle \xi ^{b}}
は、任意の定常計量 の 時間変換対称性 を表す キリングベクトル です 。キリングベクトルは、無限大で単位長さになるように正規化されます。つまり、 無限大では となります。
ξ
a
ξ
a
=
−
1
{\displaystyle \xi ^{a}\xi _{a}=-1}
動機付けの結果では
が置き換えられる ことに注意してください。
ξ
b
{\displaystyle \xi ^{b}}
g
t
t
u
b
{\displaystyle {\sqrt {g_{tt}}}u^{b}\,}
メトリック係数のいずれも 時間の関数でない場合、
g
a
b
{\displaystyle g_{ab}}
ξ
a
=
(
1
,
0
,
0
,
0
)
.
{\displaystyle \xi ^{a}=(1,0,0,0).}
メトリック係数が時間に依存しないように定常時空の座標を選択する 必要 はありませんが、そうすること が便利な 場合がよくあります。
このような座標を選択すると、システムの時間的キリングベクトルは 単位座標時間ベクトルのスカラー倍数になります 。 つまり、この場合、式を次のように書き直すことができます。
ξ
a
{\displaystyle \xi ^{a}}
u
a
,
{\displaystyle u^{a},}
ξ
a
=
K
u
a
.
{\displaystyle \xi ^{a}=Ku^{a}.}
m
=
∫
V
(
2
T
00
−
T
g
00
)
K
d
V
{\displaystyle m=\int _{V}\left(2T_{00}-Tg_{00}\right)KdV}
は定義により単位ベクトルな ので、K は の長さ 、つまり K = となります 。
u
a
{\displaystyle u^{a}}
ξ
b
{\displaystyle \xi ^{b}}
−
ξ
a
ξ
a
{\displaystyle {\sqrt {-\xi ^{a}\xi _{a}}}}
の成分に関する知識に基づいて「赤方偏移」係数 K を評価すると 、 K = であることがわかります 。
ξ
a
{\displaystyle \xi ^{a}}
g
t
t
{\displaystyle {\sqrt {g_{tt}}}}
局所的にミンコフスキー 計量を 持つように空間座標を選択すると、 次のことが分かります。
g
a
b
=
η
a
b
{\displaystyle g_{ab}=\eta _{ab}}
g
00
=
−
1
,
T
=
−
T
00
+
T
11
+
T
22
+
T
33
{\displaystyle g_{00}=-1,T=-T_{00}+T_{11}+T_{22}+T_{33}}
これらの座標選択により、コマー積分は次のように書ける。
m
=
∫
V
−
ξ
a
ξ
a
(
T
00
+
T
11
+
T
22
+
T
33
)
d
V
{\displaystyle m=\int _{V}{\sqrt {-\xi ^{a}\xi _{a}}}\left(T_{00}+T_{11}+T_{22}+T_{33}\right)dV}
曲がった時空を全体的にミンコフスキーにするための座標系を選ぶことはできないが、上記の式はコマール質量式の意味についていくらかの洞察を与えてくれる。本質的には、エネルギーと圧力の両方がコマール質量に寄与する。さらに、局所的なエネルギーと質量のシステム質量への寄与は、局所的な「赤方偏移」係数で乗算される。
K
=
g
t
t
=
−
ξ
a
ξ
a
{\displaystyle K={\sqrt {g_{tt}}}={\sqrt {-\xi ^{a}\xi _{a}}}}
面積分としてのコマール質量 - 一般定常計量 また、コマール質量を表面積分として表すための一般的な結果も示したいと思います。
計量とそのキリングベクトルに関するコマール質量の式は、（Wald、1984、289ページ、式11.2.9）である。
m
=
−
1
8
π
∫
S
ϵ
a
b
c
d
∇
c
ξ
d
{\displaystyle m=-{\frac {1}{8\pi }}\int _{S}\epsilon _{abcd}\nabla ^{c}\xi ^{d}}
ここで、は レヴィ・チヴィタ 記号であり 、は 定常計量 の キリング ベクトル であり 、無限大で となるように正規化されています 。
ϵ
a
b
c
d
{\displaystyle \epsilon _{abcd}}
ξ
d
{\displaystyle \xi ^{d}}
ξ
a
ξ
a
=
−
1
{\displaystyle \xi ^{a}\xi _{a}=-1}
上記の面積分は、 多様体上の 2 つの形式の
「自然な」積分として解釈されます。
前述のように、メトリック係数のいずれも 時間の関数でない場合、
g
a
b
{\displaystyle g_{ab}}
ξ
a
=
(
1
,
0
,
0
,
0
)
{\displaystyle \xi ^{a}=\left(1,0,0,0\right)}
参照
注記
^ Komar, Arthur (1963-02-15). 「正定値エネルギー密度と一般相対性理論に対する全体的影響」. Physical Review . 129 (4). American Physical Society (APS): 1873–1876. Bibcode :1963PhRv..129.1873K. doi :10.1103/physrev.129.1873. ISSN 0031-899X.
参考文献 ウォルド、ロバート・M（1984）。 一般相対性理論 。 シカゴ 大学出版局 。ISBN 0-226-87033-2 。 ミスナー、ソーン、ウィーラー（1973年）。 重力 。WHフリーマンアンドカンパニー 。ISBN 0-7167-0344-0 。 {{cite book}}: CS1 maint: multiple names: authors list (link)
