Q上の線形独立代数的数の指数関数の代数的独立性について
超越数論
において 、 リンデマン・ワイエルシュトラスの定理は、数の 超越性 を証明するのに非常に役立つ結果です 。それは次のことを述べています。
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理 — α 1 、...、α n が 有理数 に対して 線形 独立な 代数数 である 場合 、 e α 1 、...、 e α n は に対して 代数的に独立 です 。
質問
{\displaystyle \mathbb {Q} }
質問
{\displaystyle \mathbb {Q} }
言い換えると、 拡大体は 上で 超越次数 n を 持ちます 。
質問
（
e
α
1
、 … 、
e
α
ん
）
{\displaystyle \mathbb {Q} (e^{\alpha _{1}},\dots ,e^{\alpha _{n}})}
質問
{\displaystyle \mathbb {Q} }
Baker 1990、第 1 章、定理 1.4 からの同等の定式化は次のとおりです。
同等の定式化 - α 1 、...、α n が 異なる代数的数である場合 、指数 e α 1 、...、 e α n は 代数的数に対して線形独立です。
この同値性は、引数がすべて互いに 共役である 対称多項式 が有理数を与える
という事実を利用して、 代数的数上の線形関係を 上の代数的関係に変換します。
質問
{\displaystyle \mathbb {Q} }
この定理は フェルディナント・フォン・リンデマン と カール・ワイエルシュトラス にちなんで名付けられました。リンデマンは1882年に、 e αは すべての非ゼロ代数的数 αに対して超越数であることを証明し、 それによって π が超越数であることを証明しました（下記参照）。 [1] ワイエルシュトラスは1885年に上記のより一般的な命題を証明しました。 [2]
この定理は、ゲルフォン・シュナイダーの定理 とともに、 ベイカーの定理 [3] によって拡張され 、 これらすべては シャヌエルの予想 によってさらに一般化される。
命名規則 この定理は、エルミート・リンデマン定理 や エルミート・リンデマン・ワイエルシュトラス の定理とも呼ばれる 。 シャルル・エルミートは、 α i 指数が 有理数整数 で、線型独立性が有理数整数に対してのみ保証されるという、より 単純な定理を最初に証明した。 [4] [5] この結果は、エルミートの定理と呼ばれることもある。 [6] これは上記の定理の特殊なケースのように見えるが、一般的な結果はこのより単純なケースに還元できる。リンデマンは、1882年にエルミートの研究に代数的数を取り入れた最初の人物である。 [1] その後まもなく、ワイエルシュトラスが完全な結果を得て、 [2]さらに数人の数学者、特に デイヴィッド・ヒルベルト [7] と ポール・ゴードン によって簡略化が行われた 。 [8]
超越の e そして π e と π の 超越 性 はこの定理の直接的な帰結です。
α が 非ゼロの代数的数である とすると、 {α} は有理数上の線型独立集合となり、したがって定理の最初の定式化により、 { e α } は 代数的に独立な集合となります。言い換えれば、 e α は超越数です。特に、 e 1 = eは超越数です。( e が超越数であることのより基本的な証明は、 超越数 に関する記事で概説されています 。)
あるいは、定理の2番目の定式化により、 αが ゼロ以外の代数的数である場合、 {0、α}は 異なる代数的数の集合であり、したがって集合 { e 0 、 e α } = {1、 e α }は 代数的数に対して線形独立であり、特に e αは 代数的ではないため超越的である。
π が超越数であることを証明するためには、π が 代数的でないことを証明します。πが 代数的であれば、 π i も 代数的になり、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理により e π i = −1 ( オイラーの恒等 式を参照) は超越数となり、矛盾が生じます。したがって、 π は 代数的ではなく、超越数であることを意味します。
同じ証明を少し変更すると、 α が ゼロ以外の代数的数である場合、 sin(α)、cos(α)、tan(α) およびそれらの 双曲的 対応物も超越的であることが示されます。
p -進予想
p 進リンデマン・ワイエルシュトラス予想。 — p が何らかの 素数 あり 、 α 1 、...、 α n が に対して代数的かつ線形独立な p 進数 であり 、 すべての i に対して| α i | p < 1/ p が 成り立つと仮定します。 このとき、 p 進指数 exp p (α 1 )、...、exp p (α n ) は に対して代数的に独立なp 進数 です 。
質問
{\displaystyle \mathbb {Q} }
質問
{\displaystyle \mathbb {Q} }
モジュラー予想 モジュラー関数 j
に関する定理の類似は、 1997年にダニエル・ベルトランによって予想されたが、未解決の問題のままである。 [9] ノーム の2乗を q = e 2 π i τ 、 j (τ) = J ( q )と書くと 、 予想は次のようになる。
モジュラー予想 — q 1 , ..., q n を 複素単位円 内の非ゼロ代数数とし 、 3 n 個 の数
{
J （
q
1
） 、
J ′
（
q
1
） 、
J ″
（
q
1
） 、 … 、 J （
q
ん
） 、
J ′
（
q
ん
） 、
J ″
（
q
ん
）
}
{\displaystyle \left\{J(q_{1}),J'(q_{1}),J''(q_{1}),\ldots ,J(q_{n}),J'(q_{n}),J''(q_{n})\right\}}
は代数的に従属しています。すると、2つのインデックス 1 ≤ i < j ≤ nが 存在し 、 q i と q j は 乗法的に依存します。
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理
リンデマン・ワイエルシュトラスの定理 （ベーカーの再定式化）。— a 1 , ..., a n が代数的数であり、 α 1 , ..., α n が 異なる代数的数である場合 、 [10]
a
1
e
α
1
+
a
2
e
α
2
+
⋯
+
a
n
e
α
n
=
0
{\displaystyle a_{1}e^{\alpha _{1}}+a_{2}e^{\alpha _{2}}+\cdots +a_{n}e^{\alpha _{n}}=0}
すべてに対して 些細な解決策しかない
a
i
=
0
{\displaystyle a_{i}=0}
i
=
1
,
…
,
n
.
{\displaystyle i=1,\dots ,n.}
証拠 証明は2つの予備的な 補題 に依存しています。補題B自体は、リンデマン・ワイエルシュトラスの定理の元のステートメントを導き出すのに十分であることに注意してください。
予備的補題
補題A — c (1), ..., c ( r ) を 整数 とし 、 1 から r までのすべての k に対して、 { γ ( k ) 1 , ..., γ ( k ) m ( k ) } を整数係数を持つ 非ゼロ 多項式 の根とする。 ( k , i ) ≠ ( u , v ) のときはいつでも γ ( k ) i ≠ γ ( u ) v で あれば、
T
k
(
x
)
{\displaystyle T_{k}(x)}
c
(
1
)
(
e
γ
(
1
)
1
+
⋯
+
e
γ
(
1
)
m
(
1
)
)
+
⋯
+
c
(
r
)
(
e
γ
(
r
)
1
+
⋯
+
e
γ
(
r
)
m
(
r
)
)
=
0
{\displaystyle c(1)\left(e^{\gamma (1)_{1}}+\cdots +e^{\gamma (1)_{m(1)}}\right)+\cdots +c(r)\left(e^{\gamma (r)_{1}}+\cdots +e^{\gamma (r)_{m(r)}}\right)=0}
すべてに対して 些細な解決策しかない
c
(
i
)
=
0
{\displaystyle c(i)=0}
i
=
1
,
…
,
r
.
{\displaystyle i=1,\dots ,r.}
補題Aの証明。 表記を簡略化するために次のようにする。
n
0
=
0
,
n
i
=
∑
k
=
1
i
m
(
k
)
,
i
=
1
,
…
,
r
n
=
n
r
,
α
n
i
−
1
+
j
=
γ
(
i
)
j
,
1
≤
i
≤
r
,
1
≤
j
≤
m
(
i
)
β
n
i
−
1
+
j
=
c
(
i
)
.
{\displaystyle {\begin{aligned}&n_{0}=0,&&\\&n_{i}=\sum \nolimits _{k=1}^{i}m(k),&&i=1,\ldots ,r\\&n=n_{r},&&\\&\alpha _{n_{i-1}+j}=\gamma (i)_{j},&&1\leq i\leq r,\ 1\leq j\leq m(i)\\&\beta _{n_{i-1}+j}=c(i).\end{aligned}}}
すると、文は次のようになる。
∑
k
=
1
n
β
k
e
α
k
≠
0.
{\displaystyle \sum _{k=1}^{n}\beta _{k}e^{\alpha _{k}}\neq 0.}
p を 素数 とし 、 次の多項式を定義します。
f
i
(
x
)
=
ℓ
n
p
(
x
−
α
1
)
p
⋯
(
x
−
α
n
)
p
(
x
−
α
i
)
,
{\displaystyle f_{i}(x)={\frac {\ell ^{np}(x-\alpha _{1})^{p}\cdots (x-\alpha _{n})^{p}}{(x-\alpha _{i})}},}
ここで ℓは 0でない整数で、 すべての 代数的整数 となる。 [11]を定義する。
ℓ
α
1
,
…
,
ℓ
α
n
{\displaystyle \ell \alpha _{1},\ldots ,\ell \alpha _{n}}
I
i
(
s
)
=
∫
0
s
e
s
−
x
f
i
(
x
)
d
x
.
{\displaystyle I_{i}(s)=\int _{0}^{s}e^{s-x}f_{i}(x)\,dx.}
部分積分法を 用いると 、
I
i
(
s
)
=
e
s
∑
j
=
0
n
p
−
1
f
i
(
j
)
(
0
)
−
∑
j
=
0
n
p
−
1
f
i
(
j
)
(
s
)
,
{\displaystyle I_{i}(s)=e^{s}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)-\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(s),}
ここで は の 次数 、 はの j 次導関数 です。これは s 複素数にも当てはまります(この場合、積分は 0 から s までの直線部分に沿った等高線積分として意図される必要があります )。
n
p
−
1
{\displaystyle np-1}
f
i
{\displaystyle f_{i}}
f
i
(
j
)
{\displaystyle f_{i}^{(j)}}
f
i
{\displaystyle f_{i}}
−
e
s
−
x
∑
j
=
0
n
p
−
1
f
i
(
j
)
(
x
)
{\displaystyle -e^{s-x}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(x)}
は のプリミティブです 。
e
s
−
x
f
i
(
x
)
{\displaystyle e^{s-x}f_{i}(x)}
次の合計を考えてみましょう。
J
i
=
∑
k
=
1
n
β
k
I
i
(
α
k
)
=
∑
k
=
1
n
β
k
(
e
α
k
∑
j
=
0
n
p
−
1
f
i
(
j
)
(
0
)
−
∑
j
=
0
n
p
−
1
f
i
(
j
)
(
α
k
)
)
=
(
∑
j
=
0
n
p
−
1
f
i
(
j
)
(
0
)
)
(
∑
k
=
1
n
β
k
e
α
k
)
−
∑
k
=
1
n
∑
j
=
0
n
p
−
1
β
k
f
i
(
j
)
(
α
k
)
=
−
∑
k
=
1
n
∑
j
=
0
n
p
−
1
β
k
f
i
(
j
)
(
α
k
)
{\displaystyle {\begin{aligned}J_{i}&=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}I_{i}(\alpha _{k})\\[5pt]&=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}\left(e^{\alpha _{k}}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)-\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\right)\\[5pt]&=\left(\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)\right)\left(\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}e^{\alpha _{k}}\right)-\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{np-1}\beta _{k}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\\[5pt]&=-\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{np-1}\beta _{k}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\end{aligned}}}
最後の行では、補題の結論が偽であると仮定しました。証明を完了するには、矛盾を見つける必要があります。2つの異なる方法で
推定することで、矛盾を見つけます。
|
J
1
⋯
J
n
|
{\displaystyle |J_{1}\cdots J_{n}|}
まず 、 は 代数的整数で、 に対しては p ! で割り切れ、 および の 場合を除き 、 に対してはゼロである 。 および の場合には、 と等しい。
f
i
(
j
)
(
α
k
)
{\displaystyle f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})}
j
≥
p
{\displaystyle j\geq p}
j
<
p
{\displaystyle j<p}
j
=
p
−
1
{\displaystyle j=p-1}
k
=
i
{\displaystyle k=i}
ℓ
n
p
(
p
−
1
)
!
∏
k
≠
i
(
α
i
−
α
k
)
p
.
{\displaystyle \ell ^{np}(p-1)!\prod _{k\neq i}(\alpha _{i}-\alpha _{k})^{p}.}
p が十分に大きい
場合、これは p で割り切れません。そうでなければ、
δ
i
=
∏
k
≠
i
(
ℓ
α
i
−
ℓ
α
k
)
{\displaystyle \delta _{i}=\prod _{k\neq i}(\ell \alpha _{i}-\ell \alpha _{k})}
(これは非ゼロの代数的整数です) と その共役の積 (これも非ゼロです) を呼び出すと、 p で が割り切れるという結果になりますが 、これは誤りです。
d
i
∈
Z
{\displaystyle d_{i}\in \mathbb {Z} }
ℓ
p
(
p
−
1
)
!
d
i
p
{\displaystyle \ell ^{p}(p-1)!d_{i}^{p}}
非ゼロ代数整数は ( p − 1) で 割り切れ ます 。
J
i
{\displaystyle J_{i}}
J
i
=
−
∑
j
=
0
n
p
−
1
∑
t
=
1
r
c
(
t
)
(
f
i
(
j
)
(
α
n
t
−
1
+
1
)
+
⋯
+
f
i
(
j
)
(
α
n
t
)
)
.
{\displaystyle J_{i}=-\sum _{j=0}^{np-1}\sum _{t=1}^{r}c(t)\left(f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t-1}+1})+\cdots +f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t}})\right).}
それぞれは 整数係数の固定多項式を で割ることによって得られるので 、次の形式となる。
f
i
(
x
)
{\displaystyle f_{i}(x)}
(
x
−
α
i
)
{\displaystyle (x-\alpha _{i})}
f
i
(
x
)
=
∑
m
=
0
n
p
−
1
g
m
(
α
i
)
x
m
,
{\displaystyle f_{i}(x)=\sum _{m=0}^{np-1}g_{m}(\alpha _{i})x^{m},}
ここで は i に依存しない多項式（整数係数）です 。導関数についても同様です 。
g
m
{\displaystyle g_{m}}
f
i
(
j
)
(
x
)
{\displaystyle f_{i}^{(j)}(x)}
したがって、対称多項式の基本定理 により 、
f
i
(
j
)
(
α
n
t
−
1
+
1
)
+
⋯
+
f
i
(
j
)
(
α
n
t
)
{\displaystyle f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t-1}+1})+\cdots +f_{i}^{(j)}(\alpha _{n_{t}})}
は、 で評価される有理係数を持つ固定多項式です(これは 、展開に現れる の同じ累乗をグループ化し、これらの代数的数が共役の完全なセットであるという事実を使用することでわかります)。したがって 、 についても同じことが言えます。つまり、 は に等しくなります 。ここで、 G は i に依存しない有理係数を持つ多項式です 。
α
i
{\displaystyle \alpha _{i}}
α
n
t
−
1
+
1
,
…
,
α
n
t
{\displaystyle \alpha _{n_{t-1}+1},\dots ,\alpha _{n_{t}}}
J
i
{\displaystyle J_{i}}
G
(
α
i
)
{\displaystyle G(\alpha _{i})}
最後に、 は有理数（これも対称多項式の基本定理より）であり、 は で割り切れる非ゼロの代数的整数です （ は で割り切れる代数的整数であるため ）。したがって、
J
1
⋯
J
n
=
G
(
α
1
)
⋯
G
(
α
n
)
{\displaystyle J_{1}\cdots J_{n}=G(\alpha _{1})\cdots G(\alpha _{n})}
(
p
−
1
)
!
n
{\displaystyle (p-1)!^{n}}
J
i
{\displaystyle J_{i}}
(
p
−
1
)
!
{\displaystyle (p-1)!}
|
J
1
⋯
J
n
|
≥
(
p
−
1
)
!
n
.
{\displaystyle |J_{1}\cdots J_{n}|\geq (p-1)!^{n}.}
しかし、明らかに次のことが言えます。
|
I
i
(
α
k
)
|
≤
|
α
k
|
e
|
α
k
|
F
i
(
|
α
k
|
)
,
{\displaystyle |I_{i}(\alpha _{k})|\leq {|\alpha _{k}|}e^{|\alpha _{k}|}F_{i}({|\alpha _{k}|}),}
ここで、 F i は 係数がf i の係数の絶対値である多項式です （これは の定義から直接導かれます ）。したがって、
I
i
(
s
)
{\displaystyle I_{i}(s)}
|
J
i
|
≤
∑
k
=
1
n
|
β
k
α
k
|
e
|
α
k
|
F
i
(
|
α
k
|
)
{\displaystyle |J_{i}|\leq \sum _{k=1}^{n}\left|\beta _{k}\alpha _{k}\right|e^{|\alpha _{k}|}F_{i}\left(\left|\alpha _{k}\right|\right)}
そして の構成により、 p に依存しない 十分に大きい C に対してが得られる 。これは前の不等式と矛盾する。これは補題 A を証明する。 ∎
f
i
{\displaystyle f_{i}}
|
J
1
⋯
J
n
|
≤
C
p
{\displaystyle |J_{1}\cdots J_{n}|\leq C^{p}}
補題B — b (1), ..., b ( n )が整数で γ (1), ..., γ ( n )が異なる 代数的数 である場合 、
b
(
1
)
e
γ
(
1
)
+
⋯
+
b
(
n
)
e
γ
(
n
)
=
0
{\displaystyle b(1)e^{\gamma (1)}+\cdots +b(n)e^{\gamma (n)}=0}
すべてに対して 些細な解決策しかない
b
(
i
)
=
0
{\displaystyle b(i)=0}
i
=
1
,
…
,
n
.
{\displaystyle i=1,\dots ,n.}
補題Bの証明: 仮定
b
(
1
)
e
γ
(
1
)
+
⋯
+
b
(
n
)
e
γ
(
n
)
=
0
,
{\displaystyle b(1)e^{\gamma (1)}+\cdots +b(n)e^{\gamma (n)}=0,}
矛盾を導き出し、補題Bを証明します。
すべての で消える整数係数の多項式を選択し 、 そのすべての異なる根を とします。b ( n + 1) = ... = b ( N ) = 0 とします。
γ
(
k
)
{\displaystyle \gamma (k)}
γ
(
1
)
,
…
,
γ
(
n
)
,
γ
(
n
+
1
)
,
…
,
γ
(
N
)
{\displaystyle \gamma (1),\ldots ,\gamma (n),\gamma (n+1),\ldots ,\gamma (N)}
多項式
P
(
x
1
,
…
,
x
N
)
=
∏
σ
∈
S
N
(
b
(
1
)
x
σ
(
1
)
+
⋯
+
b
(
N
)
x
σ
(
N
)
)
{\displaystyle P(x_{1},\dots ,x_{N})=\prod _{\sigma \in S_{N}}(b(1)x_{\sigma (1)}+\cdots +b(N)x_{\sigma (N)})}
仮定により はで消えます 。積は対称なので、任意の に対して 単項式 と は P の展開において同じ係数を持ちます 。
(
e
γ
(
1
)
,
…
,
e
γ
(
N
)
)
{\displaystyle (e^{\gamma (1)},\dots ,e^{\gamma (N)})}
τ
∈
S
N
{\displaystyle \tau \in S_{N}}
x
τ
(
1
)
h
1
⋯
x
τ
(
N
)
h
N
{\displaystyle x_{\tau (1)}^{h_{1}}\cdots x_{\tau (N)}^{h_{N}}}
x
1
h
1
⋯
x
N
h
N
{\displaystyle x_{1}^{h_{1}}\cdots x_{N}^{h_{N}}}
したがって、 それに応じて展開し、同じ指数を持つ項をグループ化すると、結果の指数が 共役の完全なセットを形成し、2 つの項が共役指数を持つ場合は、同じ係数が乗算されることがわかります。
P
(
e
γ
(
1
)
,
…
,
e
γ
(
N
)
)
{\displaystyle P(e^{\gamma (1)},\dots ,e^{\gamma (N)})}
h
1
γ
(
1
)
+
⋯
+
h
N
γ
(
N
)
{\displaystyle h_{1}\gamma (1)+\dots +h_{N}\gamma (N)}
つまり、補題 A の状況です。矛盾を突き止めるには、係数の少なくとも 1 つが非ゼロであることを確認するだけで十分です。これは、 C に辞書式順序を装備し、積の各因子に対して、この順序に従って最大指数を持つ非ゼロ係数の項を選択することでわかります。これらの項の積は、展開時に非ゼロ係数を持ち、他の項によって簡略化されません。これにより、補題 B が証明されます。 ∎
最終ステップ ここで定理を証明しましょう。a ( 1), ..., a ( n ) を非ゼロ 代数的数 とし、 α (1), ..., α ( n ) を異なる代数的数とします。次に、次のことを仮定します。
a
(
1
)
e
α
(
1
)
+
⋯
+
a
(
n
)
e
α
(
n
)
=
0.
{\displaystyle a(1)e^{\alpha (1)}+\cdots +a(n)e^{\alpha (n)}=0.}
これが矛盾につながることを示し、定理を証明します。証明は補題 B の証明と非常に似ていますが、今回は a ( i ) の選択が行われます。
すべてのi ∈ {1, ..., n } について、 a ( i ) は代数的であるため、次数 d ( i ) の整数係数を持つ既約多項式の根です。この多項式の異なる根を a ( i ) 1 、...、 a ( i ) d ( i ) と表し 、 a ( i ) 1 = a ( i ) とします。
S を、(1, ..., d (1))、(1, ..., d (2))、...、(1, ..., d ( n )) の各シーケンスから 1 つの要素を選択する関数 σ とします。この場合、1 ≤ i ≤ n のそれぞれについて、σ( i ) は 1 と d ( i )の間の整数になります 。変数の多項式を作成します。
x
11
,
…
,
x
1
d
(
1
)
,
…
,
x
n
1
,
…
,
x
n
d
(
n
)
,
y
1
,
…
,
y
n
{\displaystyle x_{11},\dots ,x_{1d(1)},\dots ,x_{n1},\dots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n}}
Q
(
x
11
,
…
,
x
n
d
(
n
)
,
y
1
,
…
,
y
n
)
=
∏
σ
∈
S
(
x
1
σ
(
1
)
y
1
+
⋯
+
x
n
σ
(
n
)
y
n
)
.
{\displaystyle Q(x_{11},\dots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n})=\prod \nolimits _{\sigma \in S}\left(x_{1\sigma (1)}y_{1}+\dots +x_{n\sigma (n)}y_{n}\right).}
積はすべての可能な選択関数 σ にわたっているため、 Q は 任意の i に対して で対称です 。したがって、 Q は、任意の i に対して、および変数 y i に対して、上記の変数の基本対称多項式で整数係数を持つ多項式です 。後者の対称多項式のそれぞれは、 で評価すると有理数になります 。
x
i
1
,
…
,
x
i
d
(
i
)
{\displaystyle x_{i1},\dots ,x_{id(i)}}
a
(
i
)
1
,
…
,
a
(
i
)
d
(
i
)
{\displaystyle a(i)_{1},\dots ,a(i)_{d(i)}}
評価された多項式は 、選択肢の1つがすべての iに対して σ( i ) = 1であるため、消えます 。この場合、対応する因子は上記の仮定に従って消えます。したがって、評価された多項式は、次の形式の和です。
Q
(
a
(
1
)
1
,
…
,
a
(
n
)
d
(
n
)
,
e
α
(
1
)
,
…
,
e
α
(
n
)
)
{\displaystyle Q(a(1)_{1},\dots ,a(n)_{d(n)},e^{\alpha (1)},\dots ,e^{\alpha (n)})}
b
(
1
)
e
β
(
1
)
+
b
(
2
)
e
β
(
2
)
+
⋯
+
b
(
N
)
e
β
(
N
)
=
0
,
{\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(N)e^{\beta (N)}=0,}
ここで、同じ指数を持つ項はすでにグループ化されています。したがって、左側には、 それぞれが代数的（代数的数の和）であり、係数である異なる値 β(1)、...、β( N ) があります。合計は自明ではありません。 辞書式順序で が最大である場合、 の係数は a ( i ) j の積（重複の可能性あり）にすぎず 、ゼロではありません。
b
(
1
)
,
…
,
b
(
N
)
∈
Q
{\displaystyle b(1),\dots ,b(N)\in \mathbb {Q} }
α
(
i
)
{\displaystyle \alpha (i)}
e
|
S
|
α
(
i
)
{\displaystyle e^{|S|\alpha (i)}}
この式に適切な整数因子を掛け合わせると、 b (1)、...、 b ( N ) がすべて整数になる点を除いて同一の式が得られます。したがって、補題 B によれば、等式は成立せず、証明を完了させる矛盾に至ります。∎
補題 A はe が 無理数で あることを証明するのに十分であることに注意してください 。なぜなら、そうでなければ e = p / q と書くことができ、ここで p と q は両方ともゼロでない整数ですが、補題 A により qe − p ≠ 0となり 、これは矛盾です。補題 A は π が無理数であることを証明するのにも十分です。なぜなら、そうでなければ π = k / n と書くことができ、ここで k と n は 両方とも整数であり、± i π は n 2 x 2 + k 2 = 0の根である ため、2 − 1 − 1 = 2 e 0 + e i π + e − i π ≠ 0 となりますが、これは誤りです。
同様に、補題Bはe が超越的であることを証明するのに十分である 。なぜなら補題Bは、 a 0 , ..., a n が整数であり、そのすべてが0ではない場合、
a
n
e
n
+
⋯
+
a
0
e
0
≠
0.
{\displaystyle a_{n}e^{n}+\cdots +a_{0}e^{0}\neq 0.}
補題 B は πが超越的であることを証明するのにも十分です。そうでなければ、1 + e i π ≠ 0
となるからです 。
2つの文の同等性 ベイカーの定理の定式化は明らかに最初の定式化を示唆している。確かに、 が に対して線型独立な代数的数である場合 、そして
α
(
1
)
,
…
,
α
(
n
)
{\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
P
(
x
1
,
…
,
x
n
)
=
∑
b
i
1
,
…
,
i
n
x
1
i
1
⋯
x
n
i
n
{\displaystyle P(x_{1},\ldots ,x_{n})=\sum b_{i_{1},\ldots ,i_{n}}x_{1}^{i_{1}}\cdots x_{n}^{i_{n}}}
が有理係数の多項式である場合、
P
(
e
α
(
1
)
,
…
,
e
α
(
n
)
)
=
∑
b
i
1
,
…
,
i
n
e
i
1
α
(
1
)
+
⋯
+
i
n
α
(
n
)
,
{\displaystyle P\left(e^{\alpha (1)},\dots ,e^{\alpha (n)}\right)=\sum b_{i_{1},\dots ,i_{n}}e^{i_{1}\alpha (1)+\cdots +i_{n}\alpha (n)},}
は有理数に対して線形独立な代数数な ので、これらの数は代数的であり、異なる n 組 に対しては異なります 。したがって、ベイカーの定理の定式化から、 すべての n 組に対してが得られます 。
α
(
1
)
,
…
,
α
(
n
)
{\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}
i
1
α
(
1
)
+
⋯
+
i
n
α
(
n
)
{\displaystyle i_{1}\alpha (1)+\cdots +i_{n}\alpha (n)}
(
i
1
,
…
,
i
n
)
{\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{n})}
b
i
1
,
…
,
i
n
=
0
{\displaystyle b_{i_{1},\ldots ,i_{n}}=0}
(
i
1
,
…
,
i
n
)
{\displaystyle (i_{1},\dots ,i_{n})}
ここで、定理の最初の定式化が成り立つと仮定します。Baker の定式化は自明であるため、 、を 非ゼロの代数的数、および異なる代数的数として、次の式 が成り立つと仮定します 。
n
=
1
{\displaystyle n=1}
n
>
1
{\displaystyle n>1}
a
(
1
)
,
…
,
a
(
n
)
{\displaystyle a(1),\ldots ,a(n)}
α
(
1
)
,
…
,
α
(
n
)
{\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}
a
(
1
)
e
α
(
1
)
+
⋯
+
a
(
n
)
e
α
(
n
)
=
0.
{\displaystyle a(1)e^{\alpha (1)}+\cdots +a(n)e^{\alpha (n)}=0.}
前のセクションで見たように、同じ表記法で、多項式の値は
Q
(
x
11
,
…
,
x
n
d
(
n
)
,
y
1
,
…
,
y
n
)
=
∏
σ
∈
S
(
x
1
σ
(
1
)
y
1
+
⋯
+
x
n
σ
(
n
)
y
n
)
,
{\displaystyle Q(x_{11},\ldots ,x_{nd(n)},y_{1},\dots ,y_{n})=\prod \nolimits _{\sigma \in S}\left(x_{1\sigma (1)}y_{1}+\dots +x_{n\sigma (n)}y_{n}\right),}
で
(
a
(
1
)
1
,
…
,
a
(
n
)
d
(
n
)
,
e
α
(
1
)
,
…
,
e
α
(
n
)
)
{\displaystyle \left(a(1)_{1},\ldots ,a(n)_{d(n)},e^{\alpha (1)},\ldots ,e^{\alpha (n)}\right)}
という形式の表現がある
b
(
1
)
e
β
(
1
)
+
b
(
2
)
e
β
(
2
)
+
⋯
+
b
(
M
)
e
β
(
M
)
=
0
,
{\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(M)e^{\beta (M)}=0,}
ここで、同じ指数を持つ指数をグループ化しています。ここで、上で証明したように、 は有理数であり、すべてがゼロに等しいわけではなく、各指数は整数係数を持つ の線形結合です 。次に、 と は ペアごとに異なるため、 によって生成される の -ベクトル部分空間は自明ではなく、 の 基底を形成するために を 選択できます。 各 について 、次が成り立ちます。
b
(
1
)
,
…
,
b
(
M
)
{\displaystyle b(1),\ldots ,b(M)}
β
(
m
)
{\displaystyle \beta (m)}
α
(
i
)
{\displaystyle \alpha (i)}
n
>
1
{\displaystyle n>1}
α
(
1
)
,
…
,
α
(
n
)
{\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}
Q
{\displaystyle \mathbb {Q} }
V
{\displaystyle V}
C
{\displaystyle \mathbb {C} }
α
(
1
)
,
…
,
α
(
n
)
{\displaystyle \alpha (1),\ldots ,\alpha (n)}
α
(
i
1
)
,
…
,
α
(
i
k
)
{\displaystyle \alpha (i_{1}),\ldots ,\alpha (i_{k})}
V
.
{\displaystyle V.}
m
=
1
,
…
,
M
{\displaystyle m=1,\dots ,M}
β
(
m
)
=
q
m
,
1
α
(
i
1
)
+
⋯
+
q
m
,
k
α
(
i
k
)
,
q
m
,
j
=
c
m
,
j
d
m
,
j
;
c
m
,
j
,
d
m
,
j
∈
Z
.
{\displaystyle {\begin{aligned}\beta (m)=q_{m,1}\alpha (i_{1})+\cdots +q_{m,k}\alpha (i_{k}),&&q_{m,j}={\frac {c_{m,j}}{d_{m,j}}};\qquad c_{m,j},d_{m,j}\in \mathbb {Z} .\end{aligned}}}
それぞれについて、 の すべての の最小公倍数を とし 、 と置きます 。 は 代数的数であり、 の基数を形成し 、それぞれは整数係数を持つ の線形結合です 。関係を乗算することにより、
j
=
1
,
…
,
k
,
{\displaystyle j=1,\ldots ,k,}
d
j
{\displaystyle d_{j}}
d
m
,
j
{\displaystyle d_{m,j}}
m
=
1
,
…
,
M
{\displaystyle m=1,\ldots ,M}
v
j
=
1
d
j
α
(
i
j
)
{\displaystyle v_{j}={\tfrac {1}{d_{j}}}\alpha (i_{j})}
v
1
,
…
,
v
k
{\displaystyle v_{1},\ldots ,v_{k}}
V
{\displaystyle V}
β
(
m
)
{\displaystyle \beta (m)}
v
j
{\displaystyle v_{j}}
b
(
1
)
e
β
(
1
)
+
b
(
2
)
e
β
(
2
)
+
⋯
+
b
(
M
)
e
β
(
M
)
=
0
,
{\displaystyle b(1)e^{\beta (1)}+b(2)e^{\beta (2)}+\cdots +b(M)e^{\beta (M)}=0,}
によって 、 が 十分に大きい正の整数である場合、 を有理係数で結び付ける非自明な代数関係が得られ 、これは定理の最初の定式化に反する。
e
N
(
v
1
+
⋯
+
v
k
)
{\displaystyle e^{N(v_{1}+\cdots +v_{k})}}
N
{\displaystyle N}
e
v
1
,
⋯
,
e
v
k
{\displaystyle e^{v_{1}},\cdots ,e^{v_{k}}}
参照
注記
^ ab リンデマン 1882a、リンデマン 1882b。 ^ ab Weierstrass 1885、pp. 1067–1086、 ^ マーティ＆ラス 2014 ^ エルミート1873、pp.18-24。 ^ エルミート 1874 ^ ゲルフォン 2015. ^ ヒルベルト1893、216-219頁。 ^ ゴードン1893、222-224頁。 ^ ベルトラン1997、339-350頁。 ^ (フランス語) french Proof's Lindemann-Weierstrass (pdf) [ リンク切れ ] ^ 因数を除いて、これは e が超越数である ことの証明 に現れる積分と同じであり、ここで β 1 = 1、...、 β m = m である。 補題の残りの証明はその証明に類似している。
参考文献 ベイカー、アラン （1990）、超越数論、ケンブリッジ数学図書館（第2版）、 ケンブリッジ大学出版局 、 ISBN 978-0-521-39791-9 、 MR 0422171 ベルトラン、D. (1997)、「シータ関数と超越性」、 ラマヌジャンジャーナル 、 1 (4): 339–350、 doi :10.1023/A:1009749608672、 S2CID 118628723 ゲルフォンド、AO (2015) [1960]、超越数と代数数、ドーバー数学の本、ボロン、レオF.訳、ニューヨーク： ドーバー出版 、 ISBN 978-0-486-49526-2 、 MR 0057921 Gordan, P. (1893)、「Transcendenz von e und π.」、 Mathematische Annalen 、 43 (2–3): 222–224、 doi :10.1007/bf01443647、 S2CID 123203471 Hermite, C. (1873)、「Sur la fonction exponentielle.」、 Comptes rendus de l'Académie des Sciences de Paris 、 77 : 18–24 Hermite, C. (1874)、Sur la fonction exponentielle.、パリ: Gauthier-Villars Hilbert, D. (1893)、「Ueber die Transcendenz der Zahlen e und π.」、 Mathematische Annalen 、 43 (2–3): 216–219、 doi :10.1007/bf01443645、 S2CID 179177945、2017 年にオリジナルからアーカイブ10-06 、 2018-12-24 取得 リンデマン、F. (1882)、「Über die Ludolph'sche Zahl.」、 Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin 、 2 : 679–682 Lindemann, F. (1882)、「Über die Zahl π.」、 Mathematische Annalen 、 20 (2): 213–225、 doi :10.1007/bf01446522、 S2CID 120469397、2017 年 10 月 6 日にオリジナルからアーカイブ、 取得 2018-12-24 Murty, M. Ram; Rath, Purusottam (2014)。「ベイカーの定理」。超越数。pp. 95–100。doi : 10.1007 / 978-1-4939-0832-5_19。ISBN 978-1-4939-0831-8 。 Weierstrass, K. (1885)、「Zu Lindemann's Abhandlung. "Über die Ludolph'sche Zahl".」、 Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissen-schaften zu Berlin 、 5 : 1067–1085
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![{\displaystyle {\begin{aligned}J_{i}&=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}I_{i}(\alpha _{k})\\[5pt]&=\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}\left(e^{\alpha _{k}}\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)-\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\right)\\[5pt]&=\left(\sum _{j=0}^{np-1}f_{i}^{(j)}(0)\right)\left(\sum _{k=1}^{n}\beta _{k}e^{\alpha _{k}}\right)-\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{np-1}\beta _{k}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\\[5pt]&=-\sum _{k=1}^{n}\sum _{j=0}^{np-1}\beta _{k}f_{i}^{(j)}(\alpha _{k})\end{aligned}}}](https://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/f0de96adc88817887c3c5e3a336141d9b7445e02)
