光フロント計算手法

量子場理論の光フロント量子化^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}は、通常の等時間量子化に代わる有用な方法を提供する。特に、量子力学的波動関数を用いて束縛系の相対論的記述を行うことができる。この量子化は、光フロント座標の選択に基づいている^{[ 4 ]}。${\displaystyle x^{+}\equiv ct+z}$は時間の役割を果たし、対応する空間座標は${\displaystyle x^{-}\equiv ct-z}$。 ここ、${\displaystyle t}$通常の時間では、${\displaystyle z}$はデカルト座標であり、${\displaystyle c}$は光速です。他の2つのデカルト座標は、${\displaystyle x}$そして${\displaystyle y}$は、そのままの状態であり、横断または垂直と呼ばれることが多く、次のタイプの記号で表されます。${\displaystyle {\vec {x}}_{\perp }=(x,y)}$時間の参照フレームの選択${\displaystyle t}$そして${\displaystyle z}$軸は定義されますが、厳密に解ける相対論的理論では指定せずに残しておくことができますが、実際の計算では、いくつかの選択肢が他の選択肢よりも適している場合があります。

LFQCD ハミルトニアン固有値方程式の解法は、量子力学の利用可能な数学的手法を活用し、原子核を含む大規模量子システムの高度な計算技術の開発に貢献する。例えば、離散化光円錐量子化法 (DLCQ) ^{[ 5 ] [ 6 ] [ 7 ] [ 8 ] [ 9 ] [ 10 ]}では、周期条件が導入され、運動量が離散化され、ローレンツ不変性を損なうことなくフォック空間のサイズが制限される。量子場理論の解法は、大きな疎なエルミート行列の対角化に帰着する。DLCQ 法は、任意のフレーバー数とクォーク質量に対して、1 次元または 2 次元の QCD などの多数のモデル量子場理論において、完全なスペクトルと光​​フロント波動関数を取得するために成功裏に使用されてきた。この方法を超対称理論に拡張したSDLCQ ^{[ 11 ] [ 12 ]}は、光面ハミルトニアンが昇降ラダー演算子の積として因数分解できるという事実を利用しています。SDLCQは、マルダセナが予想した超重力/超ヤン・ミルズ双対性^{[ 13 ]}の直接的な数値的証拠を含む、多くの超対称理論に関する新たな洞察を提供しました。

フォック法に基づいて作業すると便利です${\displaystyle \{|n:p_{i}^{+},{\vec {p}}_{\perp i}\rangle \}}$光面運動量が$\displaystyle {\mathcal {P}}^{+}}$そして$\displaystyle {\vec {\mathcal {P}}}_{\perp }}$斜めです。${\displaystyle |{\underline {P}}\rangle }$展開によって与えられる

${\displaystyle |{\underline {P}}\rangle =\sum _{n}\int [dx]_{n}\,[d^{2}k_{\perp }]_{n}\,\psi _{n}(x,{\vec {k}}_{\perp })|n:xP^{+},x{\vec {P}}_{\perp }+{\vec {k}}_{\perp }\rangle \,,}$

と

${\displaystyle [dx]_{n}=4\pi \delta (1-\sum _{i=1}^{n}x_{i})\prod _{i=1}^{n}{\frac {dx_{i}}{4\pi {\sqrt {x_{i}}}}}\,,\;\;\;[d^{2}k_{\perp }]_{n}=4\pi ^{2}\delta (\sum _{i=1}^{n}{\vec {k}}_{\perp i})\prod _{i=1}^{n}{\frac {d^{2}k_{\perp i}}{4\pi ^{2}}}\,.}$

$\displaystyle \psi _{n}}$は、状態からの寄与の波動関数として解釈される。${\displaystyle n}$粒子。固有値問題${\displaystyle {\mathcal {P}}^{-}|{\underline {P}}\rangle ={\frac {M^{2}+P_{\perp }^{2}}{P^{+}}}|{\underline {P}}\rangle }$これは、これらの波動関数に関する連立積分方程式のセットです。提示された表記法は1種類の粒子タイプのみをサポートしていますが、複数種類への一般化は容易です。

固有値問題の離散化に対する体系的なアプローチは、パウリとブロツキーによって最初に提案されたDLCQ法である。^{[ 5 ] [ 6 ]}本質的には、縦方向および横方向の運動量に等間隔の区間を持つ台形近似によって積分を置き換えることである。

${\displaystyle p^{+}\rightarrow {\frac {2\pi }{L}}n\,,\;\;{\vec {p}}_{\perp }\rightarrow ({\frac {\pi }{L_{\perp }}}n_{x},{\frac {\pi }{L_{\perp }}}n_{y}),}$

区間における周期境界条件に対応する${\displaystyle -L<x^{-}<L}$そして${\displaystyle -L_{\perp }<x,y<L_{\perp }}$長さスケール${\displaystyle L}$そして${\displaystyle L_{\perp }}$計算の解像度を決定します。運動量のプラス成分は常に正であるため、限界は${\displaystyle L\rightarrow \infty }$整数分解能の観点から制限と交換可能${\displaystyle K\equiv {\frac {L}{2\pi }}P^{+}}$運動量成分の組み合わせによって定義される${\displaystyle H_{\rm {LC}}=P^{+}{\mathcal {P}}^{-}}$は${\displaystyle L}$縦方向の運動量の割合${\displaystyle x_{i}\equiv p_{i}^{+}/P^{+}}$整数の比になる${\displaystyle n_{i}/K}$なぜなら${\displaystyle n_{i}}$すべて正の値の場合、DLCQ は自動的に粒子の数を最大に制限します。${\displaystyle K}$横運動量に制限を設けることで、有限行列の問題が得られますが、現在の数値計算手法では行列が大きすぎる場合があります。そこで、粒子数を明示的に切り捨てる、つまりタム・ダンコフ近似の光円錐版を用いることができます。基底サイズが大きい場合は、行列の対角化に特別な手法が必要となり、一般的にはランチョスアルゴリズムが用いられます。空間次元が1次元の場合、任意のクォーク質量と色に対して、QCDのハドロンスペクトルを容易に解くことができます。

ほとんどの DLCQ 計算はゼロ モードなしで行われます。しかし、原理的には、周期境界条件を持つ任意の DLCQ 基底は、非ゼロ運動量を持つ他のモードに依存する制約モードとしてそれらを含めることができます。制約は、場のオイラー・ラグランジュ方程式の空間平均から来ています。この制約方程式は、最も単純な理論であっても解くのが難しい場合があります。しかし、DLCQ 法自体の基礎となる近似と一致する近似解を見つけることができます。^{[ 14 ]}この解は、光フロント ハミルトニアンの有効なゼロ モード相互作用を生成します。

ゼロモードを考慮せずに質量セクターで計算を行うと、通常は正しい結果が得られます。ゼロモードを無視すると、収束が悪化するだけです。ただし、スペクトルがマイナス無限大まで広がる3次スカラー理論は例外です。ゼロモードを考慮しないDLCQ計算では、この無限大を検出するために慎重な外挿が必要となりますが、ゼロモードを考慮した計算では、すぐに正しい結果が得られます。反周期境界条件を使用すれば、ゼロモードは回避されます。

超対称DLCQ形式（SDLCQ）^{[ 11 ] [ 12 ]}は、離散近似において超対称性を維持するように特別に設計されている。通常のDLCQは、連続極限で存続しない項によって超対称性を破る。SDLCQ構成は超電荷を離散化する。${\displaystyle Q^{-}}$そしてハミルトニアンを定義する${\displaystyle {\mathcal {P}}^{-}}$超代数関係により${\displaystyle {\mathcal {P}}^{-}=\{Q^{-},Q^{-}\}/2{\sqrt {2}}}$横方向運動量の範囲は、運動量値の単純なカットオフによって制限される。ゼロモードの影響は相殺されると予想される。

スペクトルの計算に加えて、この手法は期待値の計算にも使用できます。そのような量の1つが相関関数です。${\displaystyle \langle T^{++}(x)T^{++}(y)\rangle }$応力エネルギーテンソルの は、マルダセナ予想の検証として計算されました。この計算のために、非常に効率的なランチョス法が開発されました。最新の結果は、この予想の直接的な証拠を提供しています。^{[ 13 ]}

横格子法^{[ 15 ] [ 16 ]}は、量子場理論における 2 つの強力なアイデア、すなわち光フロントハミルトニアン量子化と格子ゲージ理論を統合します。格子ゲージ理論は、宇宙のすべての可視物質を記述するゲージ理論を計算するための非常に一般的な手段です。特に、原子核の陽子と中性子の中にクォークとグルーオンを保持する QCD の線形閉じ込めを明確に示します。一般に、連続的に無限の自由度を持つ量子場理論の解を得るには、量子状態の空間に運動学的カットオフまたはその他の制限を設ける必要があります。これによって生じる誤差を取り除くために、連続極限が存在する場合はこれらのカットオフを外挿し、および/またはカットオフを超える自由度を考慮するために観測量を再規格化することができます。ハミルトニアン量子化の目的のためには、連続的な時間方向が必要です。光面ハミルトニアン量子化の場合、連続光面時間に加えて${\displaystyle x^{+}}$維持する必要がある${\displaystyle x^{-}}$方向連続性は、ある方向における明白なローレンツブースト不変性を維持し、小さな光フロントエネルギーを含める場合に必要となる。${\displaystyle p^{-}}$したがって、残りの横方向の空間方向には格子カットオフを課すことしかできない。このような横方向の格子ゲージ理論は、1976年にバーディーンとピアソンによって初めて提案された。^{[ 15 ]}

横格子ゲージ理論を用いた実用的な計算のほとんどは、もう1つの要素、すなわち色誘電展開を利用している。誘電展開とは、QCDの場合グルーオン場を生成元とするゲージ群要素を、短距離スケールでのゆらぎの平均を表す集団変数（スミアード変数、ブロック変数など）に置き換える定式化である。これらの誘電変数は質量を持ち、色を担い、ゼロ場において古典作用が最小となる有効ゲージ場理論を形成する。つまり、古典レベルでは真空から色流束が排除される。これにより、光フロント真空構造の自明性は維持されるが、有効理論の運動量カットオフが低い場合（QCDでは横格子間隔が約1/2 fmに相当）にのみ生じる。結果として、有効カットオフハミルトニアンは初期段階では制約が不十分となる。色誘電率展開は、ローレンツ対称性の回復の要件とともに、ハミルトニアン内の相互作用を実用的な解に適した方法で整理するためにうまく利用されてきた。${\displaystyle N_{c}}$このようにしてグルーボールが得られ、また、さまざまな実験データと一致するパイオン光フロント波動関数も得られた。

基底光フロント量子化（BLFQ）アプローチ^{[ 17 ]}は、フォック状態波動関数を表すために、単粒子基底関数の積の展開を使用します。通常、縦方向（${\displaystyle x^{-}}$) 依存性は平面波の DLCQ 基底で表され、横方向の依存性は 2 次元調和振動子関数で表されます。後者は閉じ込め空洞への応用に理想的であり、光フロントホログラフィック QCDと一致します。^{[ 18 ] [ 19 ] [ 20 ] [ 21 ] [ 22 ]}単粒子基底関数の積の使用は、積が容易に (反対称) 対称化されるため、ボソンおよびフェルミオン統計の組み込みにも便利です。縦方向の回転対称性を持つ 2 次元基底関数 (調和振動子関数が例として使用されます) を使用することで、質量固有状態の全角運動量の決定を容易にする全角運動量射影量子数が保存されます。横方向の運動量が保存される外部空洞のない応用では、ラグランジュ乗数法を使用して相対的な横方向の運動を全システムの運動から分離します。

BLFQ を QED に初めて適用した研究では、2 次元横方向閉じ込め空洞内の電子について解かれ、異常磁気モーメントが空洞の強度に応じてどのように振る舞うかが示されました。^{[ 23 ]} BLFQ を QED に 2 度目に適用した研究では、自由空間における電子の異常磁気モーメントが解かれ、^{[ 24 ] [ 25 ]}適切な極限においてシュウィンガーモーメントと一致することが示されました。

BLFQ を時間依存領域に拡張した時間依存 BLFQ (tBLFQ) は容易であり、現在活発に開発が進められています。tBLFQ の目標は、リアルタイム (時間依存の背景場の有無にかかわらず) で光フロント場理論を解くことです。典型的な応用分野には、高強度レーザー( 「光フロント量子化#高強度レーザー」を参照) や相対論的重イオン衝突などがあります。

光フロント結合クラスター法 (LFCC) ^{[ 26 ]}は、光フロント波動関数の無限結合積分方程式系に対する特定の形式の切り捨てです。場の理論的シュレーディンガー方程式から得られる方程式系も、積分演算子を有限にするために正則化が必要です。粒子数が制限される従来のフォック空間でのシステムの切り捨てでは、通常、保持される部分と相殺されるはずの無限部分を取り除くことで正則化が崩れます。これを回避する方法はありますが、完全に満足できるものではありません。

LFCC法は、方程式のセットを全く異なる方法で切り捨てることで、これらの困難を回避します。粒子の数を切り捨てる代わりに、波動関数同士の関係を切り捨てます。高次のフォック状態の波動関数は、低次の状態の波動関数と演算子の指数関数によって決定されます。${\displaystyle T}$具体的には、固有状態は次の形式で記述されます。${\displaystyle {\sqrt {Z}}e^{T}|\phi \rangle }$、 どこ${\displaystyle {\sqrt {Z}}}$は正規化係数であり、${\displaystyle |\phi \rangle }$は、構成要素の数が最小の状態です。演算子${\displaystyle T}$粒子数を増加させ、光フロント運動量を含むすべての関連する量子数を保存する。これは原理的には正確だが、依然として無限である。${\displaystyle T}$無限個の項を持つことができる。ゼロモードは、その生成を項として含めることによって含めることができる。${\displaystyle T}$; これは、ゼロモードの一般化されたコヒーレント状態として、非自明な真空状態を生成する。

行われた切り捨ては、${\displaystyle T}$元の固有値問題は、価電子状態に関する有限サイズの固有値問題となる。${\displaystyle |\phi \rangle }$、保持される項の補助方程式と組み合わせる${\displaystyle T}$:

${\displaystyle P_{v}{\overline {{\mathcal {P}}^{-}}}|\phi \rangle ={\frac {M^{2}+P_{\perp }^{2}}{P^{+}}}|\phi \rangle ,\;\;\;\;(1-P_{v}){\overline {{\mathcal {P}}^{-}}}|\phi \rangle =0.}$

ここ${\displaystyle P_{v}}$これは価電子セクターへの投影であり、${\displaystyle {\overline {{\mathcal {P}}^{-}}}\equiv e^{-T}{\mathcal {P}}^{-}e^{T}}$はLFCC有効ハミルトニアンです。${\displaystyle 1-P_{v}}$は、切り捨てられた関数を決定するのに十分な補助方程式のみを提供するように切り捨てられます。${\displaystyle T}$演算子。有効ハミルトニアンは、そのベーカー・ハウスドルフ展開から計算される。${\displaystyle {\overline {{\mathcal {P}}^{-}}}={\mathcal {P}}^{-}+[{\mathcal {P}}^{-},T]+{\frac {1}{2}}[[{\mathcal {P}}^{-},T],T]+\cdots }$これは、切り捨てられた投影によって保持される粒子数よりも多くの粒子が生成される時点で終了することができる。${\displaystyle 1-P_{v}}$指数関数の使用${\displaystyle T}$他の関数よりもこの関数の方が便利なのは、ベーカー・ハウスドルフ展開のためだけでなく、より一般的には可逆性を持つためです。原理的には、他の関数を使用することも可能で、切り捨てが行われるまでは正確な表現が得られます。

切り捨て${\displaystyle T}$体系的に扱うことができます。項は、消滅する構成要素の数と粒子数の正味増加によって分類できます。たとえば、QCD では、最低次の寄与は 1 つの粒子を消滅させ、合計を 1 つ増加させます。これらは、クォークからの 1 つのグルーオン放出、1 つのグルーオンからのクォーク対生成、および 1 つのグルーオンからのグルーオン対生成です。それぞれ、1 つの粒子から 2 つの粒子への遷移の相対運動量の関数を含みます。高次の項は、より多くの粒子を消滅させ、または合計を 1 つ以上増加させます。これらは、より複雑な価電子状態の高次の波動関数、さらには低次の波動関数にも追加の寄与を与えます。たとえば、${\displaystyle |q{\bar {q}}g\rangle }$中間子のフォック状態は、項からの寄与を受ける可能性がある。${\displaystyle T}$それは${\displaystyle q{\bar {q}}}$ペアを生成し、ペアとグルーオンを生成する。これがメソン価電子状態に作用すると${\displaystyle |q{\bar {q}}\rangle }$。

LFCC法の数学は、原子核物理学や量子化学で使用される多体結合クラスター法に由来する。^{[ 27 ]}しかし、その物理的性質は全く異なる。多体法は多数の粒子の状態を扱い、指数関数を用いる。${\displaystyle T}$励起とより高い単粒子状態の相関関係を構築するため、粒子数は変化しません。LFCC法は、価電子状態にある少数の構成要素から始まり、${\displaystyle e^{T}}$より多くの粒子を持つ状態を構築する。価電子状態固有値問題の解法は明示されていない。

演算子の行列要素から物理量の計算を行うには、注意が必要です。直接計算するには、フォック空間上の無限和が必要になります。代わりに、多体結合クラスター法^{[ 27 ]}から、右および左固有状態から期待値を計算する構成を借用することができます。この構成は、非対角行列要素とゲージ射影を含むように拡張できます。その後、右および左LFCC固有状態から物理量を計算できます。

繰り込みの概念、特に量子論や統計力学における繰り込み群法は、長い歴史を持ち、非常に幅広い範囲に及んでいます。力学のフロント形式で量子化された理論において有用と思われる繰り込みの概念は、理論物理学の他の分野と同様に、基本的に2種類に分類されます。この2種類の概念は、理論の応用に関わる2種類の理論的課題と関連しています。1つは、明確に定義された理論において観測量（操作的に定義された量の値）を計算することです。もう1つは、理論を明確に定義することです。これについては以下で説明します。

力学のフロント形式は、ハドロンをクォークとグルーオンの束縛状態として説明することを目的としており、束縛機構は摂動論では記述できないため、この場合に必要な理論の定義は摂動展開に限定することはできません。たとえば、ループ積分の正則化を次数ごとに使用し、それに応じて質量、結合定数、場の正規化定数も次数ごとに再定義するだけでは不十分です。言い換えれば、事前の摂動スキームに基づかない相対論的理論のミンコフスキー時空定式化を設計する必要があります。ハミルトニアン力学のフロント形式は、既知の選択肢の中でこの目的に最も適した枠組みであると多くの研究者によって認識されています。^{[ 1 ] [ 2 ] [ 3 ]}

相対論的理論の望ましい定義には、理論に現れるすべてのパラメータを決定するために必要な数の観測量を計算することが含まれる。パラメータと観測量の関係は、理論に含まれる自由度の数に依存する可能性がある。

例えば、理論の候補となる定式化における仮想粒子を考えてみましょう。形式的には、特殊相対性理論では、参照系を変更することで粒子の運動量を任意の値だけ変化させることができるため、粒子の運動量の範囲は無限でなければなりません。定式化において慣性参照系を区別しない場合、粒子は任意の運動量を持つことができなければなりません。異なる運動量を持つ粒子に対応する量子場モードは異なる自由度を形成するため、無限に多くの運動量値を含めるという要件は、理論が無限に多くの自由度を含む必要があることを意味します。しかし、数学的な理由から、十分な精度で計算するためにコンピュータを使用せざるを得ないため、有限個の自由度で作業する必要があります。運動量の範囲を何らかのカットオフ値で制限しなければなりません。

数学的な理由から有限のカットオフを持つ理論を構築する場合、物理的に重要な観測量にカットオフが現れないように、カットオフを十分に大きく設定できることを期待する。しかし、ハドロン物理学で関心のある局所量子場理論では、状況はそれほど単純ではない。すなわち、異なる運動量の粒子は、ダイナミクスを通じて非自明な方法で結合しており、観測量を予測することを目的とした計算結果は、カットオフに依存する。しかも、その依存度は異なる。

運動量以外にも、カットオフパラメータは存在する可能性がある。例えば、空間の体積が限られていると仮定すると、理論の並進不変性が損なわれる。また、仮想粒子の数が限られていると仮定すると、すべての仮想粒子がさらに多くの仮想粒子に分裂するという仮定が損なわれる。こうした制約はすべて、理論の定義の一部となる一連のカットオフにつながる。

したがって、あらゆる観測可能な計算結果${\displaystyle X_{\rm {observable}}(\mu )}$物理的なスケールによって特徴付けられる${\displaystyle \mu }$理論のパラメータセットの関数の形をとる。${\displaystyle p}$カットオフのセット、例えば${\displaystyle \Lambda }$、そしてその規模${\displaystyle \mu }$したがって、結果は次の形式になります。

${\displaystyle X_{\rm {observable}}(\mu )=X_{\rm {theory}}(p,\Lambda ,\mu )\,.}$

しかし、実験は、自然過程を説明するために使用される理論のカットオフに関係なく、自然過程を特徴付ける観測量の値を提供します。カットオフが自然の性質を記述せず、単に理論を計算可能にするために導入されている場合、どのように依存するかを理解する必要があります。${\displaystyle \Lambda }$脱落する可能性がある${\displaystyle X_{\rm {theory}}(p,\Lambda ,\mu )}$カットオフは、対象となる物理システムの自然な特徴を反映している場合もある。例えば、結晶格子内の原子間隔によって結晶中の音波の波数ベクトルに紫外カットオフが生じるモデルケースなどが挙げられる。自然なカットオフは、スケールに比べて非常に大きい場合がある。${\displaystyle \mu }$すると、スケールでの観測量の結果が理論でどのように起こるのかという疑問が生じる。${\displaystyle \mu }$それらはカットオフの巨大なサイズでもなく、そうでない場合、どのようにスケールに依存するのか${\displaystyle \mu }$。

上述の2種類の繰り込み概念は、以下の2つの疑問と関連している。

• パラメータはどのように設定すべきか${\displaystyle p}$カットオフ値によって異なる${\displaystyle \Lambda }$すべての観測可能${\displaystyle X(p,\Lambda ,\mu )}$物理的に興味深いものは、${\displaystyle \Lambda }$形式的に無限大に送ることでカットオフを取り除く場合も含むのか？
• 必要なパラメータセットは何ですか？${\displaystyle p}$？

最初の質問に関連する繰り込み群の概念^{[ 28 ] [ 29 ]}は、2番目の質問に関連する概念よりも古い。^{[ 30 ] [ 31 ] [ 32 ] [ 33 ]}確かに、2番目の質問に対する適切な答えがあれば、最初の質問にも答えることができる。2番目の質問に対する適切な答えがない場合、パラメータの特定の選択とそのカットオフ依存性が、すべての観測量のカットオフ独立性を保証できる理由が疑問に思うかもしれない。${\displaystyle X(p,\Lambda ,\mu )}$有限スケールで${\displaystyle \mu }$。

上記の最初の質問に関連する繰り込み群の概念は、ある有限集合が${\displaystyle p(\Lambda )}$望ましい結果が得られる、

${\displaystyle X_{\rm {observable}}(\mu )=\lim _{\Lambda \rightarrow \infty }X_{\rm {theory}}[p(\Lambda ),\Lambda ,\mu ]\,.}$

この考え方では、次のような理論が期待できる。${\displaystyle n}$パラメータの計算${\displaystyle n}$あるスケールでの観測量${\displaystyle \mu }$すべてのパラメータを関数として固定すれば十分です。${\displaystyle \Lambda }$なので、次のようなコレクションが存在することを期待するかもしれない。${\displaystyle n}$スケールにおける有効パラメータ${\displaystyle \mu }$、対応する${\displaystyle n}$スケールでの観測可能量${\displaystyle \mu }$これらのパラメータで表現された予測が依存しないように理論​​をパラメータ化するのに十分である。${\displaystyle \Lambda }$スケールが${\displaystyle \mu }$は任意であり、そのようなファミリー全体${\displaystyle n}$-パラメータセットはラベル付けされています${\displaystyle \mu }$が存在するはずであり、そのファミリーのすべてのメンバーは同じ物理法則に対応します。 の 1 つの値を変更することによって、そのようなファミリーから別のファミリーに移動します。${\displaystyle \mu }$ある変化を別の変化に変換することは、繰り込み群の作用として記述されます。群という言葉が正当化されるのは、群の公理が満たされているからです。すなわち、そのような変化が2つあると、別のそのような変化が生成され、ある変化を反転させることができる、といったことが成り立ちます。

しかし、カットオフ依存性を固定する理由が依然として残る。${\displaystyle n}$パラメータ${\displaystyle p}$の上${\displaystyle \Lambda }$使用${\displaystyle n}$条件${\displaystyle n}$選択された観測量は以下に依存しない${\displaystyle \Lambda }$は、すべての観測値を物理的範囲内で実現するのに十分である。${\displaystyle \mu }$依存しない${\displaystyle \Lambda }$こうした奇跡が起こる理論もあれば、起こらない理論もある。こうした奇跡が起こる理論は、パラメータを適切に正規化することでカットオフに依存しない結果が得られるため、再正規化可能理論と呼ばれる。

通常、セット${\displaystyle p(\Lambda )}$非摂動効果を記述するモデルと組み合わせた摂動計算を用いて確立される。例えば、クォークとグルーオンの摂動QCD図は、クォークとグルーオンがハドロンに結合する様子を記述するパートンモデルと組み合わされる。パラメータのセット${\displaystyle p(\Lambda )}$カットオフ依存の質量、電荷、および場の正規化定数を含む。このように構築された理論の予測力は、必要なパラメータのセットが比較的小さいという状況に依存する。正則化は、ファインマン図の次元正則化と同様に、局所理論の形式的対称性を可能な限り多く保持し、計算に利用するように、次数ごとに設計されている。パラメータのセットが${\displaystyle p(\Lambda )}$すべての観測量に対して有限でカットオフに依存しない限界をもたらすことは、何らかの形の摂動理論を使用する必要性と、束縛状態に関するモデル仮定の包含によって限定される。

上記の2番目の質問に関連する繰り込み群の概念は、最初の質問に関連する繰り込み群の概念が、摂動計算における発散に対処するための単なる有効な方法ではなく、意味を持つようになるにはどうすればよいかを説明するために考案されたものである。^{[ 34 ]}すなわち、2番目の質問に答えるために、理論を定義するために必要なパラメータのセットを特定する計算（下記参照）を設計する。出発点は、場の変数の関数であり、必要なすべてのパラメータを含めることで修正する必要のある局所ラグランジアン密度などの特定の初期仮定である。必要なパラメータのセットがわかれば、必要なセットのカットオフ依存性を定義するのに十分な観測量のセットを確立することができる。観測量は任意の有限スケールを持つことができる。${\displaystyle \mu }$、そしてどんなスケールでも使用できます${\displaystyle \mu }$パラメータを定義する${\displaystyle p(\Lambda )}$実験に適合させる必要のある有限部分まで含め、観測された対称性などの特徴も含まれる。

したがって、第一種の繰り込み群が存在する可能性が理解できるだけでなく、必要なカットオフ依存パラメータの集合が有限である必要がない代替的な状況も見出される。後者の理論の予測力は、必要なパラメータ間の既知の関係と、関連するすべてのパラメータを確立するための選択肢から生じる。^{[ 35 ]}

第2種の繰り込み群の概念は、パラメータの集合を発見するために使用される数学的計算の性質に関連している。${\displaystyle p}$本質的に、計算はカットオフを持つ特定の形式の理論から始まります。${\displaystyle \Lambda }$そして、より制限的な意味で、より小さなカットオフを持つ対応する理論を導き出す。${\displaystyle \Lambda /2}$カットオフを単位として再パラメータ化すると、類似したタイプの新しい理論が得られるが、新しい項が含まれる。これは、カットオフを用いた開始理論が、${\displaystyle \Lambda }$カットオフの存在と整合性を保つためには、新しい項も含まれていなければならない。最終的には、必要な項の係数の変化を除いて自己複製する項のセットを見つけることができる。これらの係数は、ステップ数に応じて変化し、各ステップでカットオフを2分の1に減らし、変数を再スケーリングする。2以外の係数を使用することもできるが、2が便利である。

要約すると、必要なパラメータの数に等しい次元の空間における点の軌跡が得られ、その軌跡に沿った動きは、新しい種類の群を形成する変換によって記述されます。異なる初期点が異なる軌跡につながる可能性がありますが、ステップが自己相似であり、同一の変換の多重作用に還元される場合、例えば${\displaystyle T}$では、何が起こるかを特徴の観点から説明することができる。${\displaystyle T}$これは繰り込み群変換と呼ばれる。${\displaystyle T}$パラメータ空間内の点を変換することで、一部のパラメータが減少したり、増加したり、変化しなかったりする場合があります。固定点やリミットサイクルが存在する場合もあれば、カオス的な運動を引き起こす場合もあります。

仮に${\displaystyle T}$理論には固定点が存在する。この点から手順を開始すると、カットオフを2倍ずつ無限に減らしていく操作を繰り返すと、カットオフのスケール以外は理論の構造に何の変化も生じない。つまり、初期カットオフは任意に大きく設定できる。このような理論は特殊相対性理論の対称性を持つ可能性がある。なぜなら、カットオフを超える運動量を生み出すローレンツ変換を行う際に、カットオフを拡張しても何の代償も伴わないからである。

繰り込み群の2つの概念は、フロント形式のダイナミクスを用いて構築された量子論において考慮することができる。最初の概念では、少数のパラメータを操作して一貫性を追求することが可能であり、これは他のアプローチから期待される結果が分かっている場合、摂動論において有用な戦略となる。特に、フロント形式のダイナミクスは瞬間形式とは異なるため、そこに現れる新たな摂動特性を研究することができる。主な違いは、フロント変数が${\displaystyle x^{-}}$（または${\displaystyle p^{+}}$）は横方向変数とはかなり異なる。${\displaystyle x^{\perp }}$（または${\displaystyle p^{\perp }}$) なので、それらの間に単純な回転対称性はありません。コンピュータを使用して計算を実行できる十分に単純化されたモデルを研究し、摂動論によって提案された手順がそれを超えて機能するかどうかを確認することもできます。 2 番目の概念により、定義を摂動展開に限定することなく、ab initio で相対論的理論を定義する問題に取り組むことができます。このオプションは、QCD における束縛状態の記述の問題に特に関連しています。ただし、この問題に取り組むには、カットオフの削減のアイデアに基づく繰り込み群手順では容易に解決できないいくつかの困難を克服する必要があります。困難を回避するために、類似性繰り込み群手順を使用できます。困難と類似性の両方については、次のセクションで説明します。

カットオフ値を下げる手順の難しさの一端${\displaystyle \Lambda }$切断する${\displaystyle \Lambda /2}$ハミルトニアンの正面形式では、強い相互作用のダイナミクスは、ハミルトニアンの固有値問題を考察することによって得られる。${\displaystyle H}$、

${\displaystyle H\psi =E\psi ,}$

どこ${\displaystyle H=H_{0}+H_{I}}$、${\displaystyle H_{0}}$既知のスペクトルを持ち、${\displaystyle H_{I}}$相互作用を記述します。固有状態を仮定しましょう。${\displaystyle \psi }$は、の固有状態の重ね合わせとして記述できる。${\displaystyle H_{0}}$そして、2つの射影演算子を導入します。${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$、したがって${\displaystyle P}$固有状態に関するプロジェクト${\displaystyle H_{0}}$固有値がより小さい${\displaystyle \Lambda /2}$そして${\displaystyle Q}$固有状態に関するプロジェクト${\displaystyle H_{0}}$固有値は${\displaystyle \Lambda /2}$そして${\displaystyle \Lambda }$固有値問題を射影した結果は${\displaystyle H}$使用${\displaystyle P}$そして${\displaystyle Q}$これは2つの連立方程式のセットです

${\displaystyle H_{0}Q\psi +QH_{I}Q\psi +QH_{I}P\psi =EQ\psi \,,}$

${\displaystyle H_{0}P\psi +PH_{I}Q\psi +PH_{I}P\psi =EP\psi \,.}$

最初の式は評価に使用できます${\displaystyle Q\psi }$に関しては${\displaystyle P\psi }$、

${\displaystyle Q\psi ={\frac {1}{E-H_{0}-QH_{I}Q}}\ QH_{I}P\psi \,.}$

この式により、次の式を書くことができます。${\displaystyle P\psi }$形式で

${\displaystyle H_{\rm {eff}}P\psi =EP\psi \,,}$

どこ

${\displaystyle H_{\rm {eff}}=H_{0}+PH_{I}P+PH_{I}Q{\frac {1}{E-H_{0}-QH_{I}Q}}QH_{I}P.}$

の方程式${\displaystyle P\psi }$は、固有値問題に似ているように見える。${\displaystyle H_{\rm {eff}}}$カットオフのある理論では有効です${\displaystyle \Lambda /2}$しかし、その有効ハミルトニアンは${\displaystyle H_{\rm {eff}}}$未知の固有値に依存する${\displaystyle E}$しかし、もし${\displaystyle \Lambda /2}$よりはるかに大きい${\displaystyle E}$興味深いことに、無視することができる${\displaystyle E}$と比較して${\displaystyle QH_{0}Q}$ただし、${\displaystyle QH_{I}Q}$に比べて小さい${\displaystyle QH_{0}Q}$。

漸近的に自由なQCDでは、実際に${\displaystyle H_{0}}$エネルギー分母の支配的な項として${\displaystyle H_{\rm {eff}}}$小さな固有値の場合${\displaystyle E}$実際には、これはカットオフで発生します。${\displaystyle \Lambda }$最小固有値よりもはるかに大きい${\displaystyle E}$物理的に興味深いことに、対応する固有値問題は複雑すぎて、必要な精度で解くことができません。つまり、自由度が多すぎるのです。カットオフをさらに大幅に減らす必要があります。この問題は、QCDの束縛状態問題へのすべてのアプローチで発生し、ダイナミクスのフロントフォームに限ったことではありません。相互作用が十分に小さい場合でも、排除するという追加の困難に直面します。${\displaystyle Q}$-状態。つまり、小さな相互作用の場合、固有値を排除することができます。${\displaystyle E}$適切な有効ハミルトニアンから${\displaystyle P}$- 部分空間は、${\displaystyle H_{0}}$したがって、上記の分母に類似した分母は、${\displaystyle H_{\rm {eff}}}$固有値の差のみを含む${\displaystyle H_{0}}$1つ上${\displaystyle \Lambda /2}$そしてその下。^{[ 30 ] [ 31 ]}残念ながら、このような差はカットオフ付近では任意に小さくなる可能性がある。${\displaystyle \Lambda /2}$そして、カットオフのすぐ下とすぐ上の状態間の結合により、有効理論において強い相互作用が生じる。${\displaystyle \Lambda /2}$これは特に、${\displaystyle H_{0}}$カットオフ付近では高度に縮退しており、結合定数のべき乗による単純な展開では、束縛状態問題をカットオフより下と上の部分に分割することはできない。

いずれにしても、カットオフを下げると${\displaystyle \Lambda }$に${\displaystyle \Lambda /2}$、 その後${\displaystyle \Lambda /2}$に${\displaystyle \Lambda /4}$など、QCD ハミルトニアンにおける相互作用の強さは増大し、特に相互作用が引力である場合、${\displaystyle QH_{I}Q}$キャンセルできます${\displaystyle H_{0}}$そして${\displaystyle E}$縮小カットオフに比べてどれほど小さくても、無視することはできません。特に、この困難は束縛状態に関係しており、相互作用によって構成要素の自由な相対運動が支配的になるのを防ぎ、空間的にコンパクトなシステムを形成する必要があります。今のところ、固有値を正確に除去することは不可能であるようです。${\displaystyle E}$十分低いエネルギーの固有状態に射影することによって得られる有効ダイナミクスから${\displaystyle H_{0}}$信頼性の高い計算を容易にするため。

幸いなことに、代わりに基底変換を用いることができる。^{[ 36 ]}すなわち、基底状態を回転させて、行列要素が${\displaystyle H_{I}}$基底状態の間で消滅する${\displaystyle H_{0}}$エネルギーがランニングカットオフよりも異なる、${\displaystyle \lambda }$ランニングカットオフはエネルギー帯域幅と呼ばれます。この名前は、エネルギー順に並べられた新しい基底におけるハミルトニアン行列のバンド対角形式に由来します。${\displaystyle H_{0}}$実行カットオフの異なる値${\displaystyle \lambda }$これは、異なる回転基底状態を使用することに対応する。回転は、固有値に全く依存しないように設計されている。${\displaystyle E}$計算したい。

その結果、回転基底において、カットオフへの依存性を持つ有効なハミルトニアン行列固有値問題が得られる。${\displaystyle \Lambda }$新しい行列要素の明示的な依存関係においてのみ現れる可能性がある${\displaystyle H_{\rm {eff}}}$[ ^{36 ]}類似性の2つの特徴は、(1 ⁾${\displaystyle \Lambda }$固有値問題を解く前に、依存性が明確になる。${\displaystyle H_{\rm {eff}}}$（２）エネルギー帯域幅が小さい有効ハミルトニアンは、求める固有値に依存しない可能性があり、発散するカットオフ依存性に対する必要な対項を事前に発見できる。完全な対項のセットは、有限のエネルギー帯域幅を持つ理論を定義するために必要なパラメータのセットを定義する。${\displaystyle \lambda }$また、バンド内にはカットオフ依存性はありません。対項と対応するパラメータを発見する過程で、初期ハミルトニアンを継続的に変更していきます。最終的に、完全なハミルトニアンは、束縛状態を含め、カットオフに依存しない固有値を持つ可能性があります。

QCDのフロントフォームハミルトニアンの場合、類似性繰り込み群手順の摂動バージョンがWilsonらによって概説されている^{[ 37 ]} 。類似性繰り込み群の概念から派生した計算方法のさらなる議論は次のセクションで提供される。

#類似性変換で議論されている類似性繰り込み群手順は、Wilson ら^{[ 37 ] が概説し、Glazek と Wilson [ 38 ]が数値的に解けるモデルで示した一般的な}計算スキームに従って、QCD を使用してクォークとグルーオンの束縛状態を記述する問題に適用できます。これらの研究が完了して以来、この方法は弱結合展開を使用してさまざまな物理システムに適用されてきました。最近では、類似性は有効粒子の繰り込み群手順、または RGPEP と呼ばれる計算ツールに発展しました。原理的には、RGPEP は現在、何らかの摂動展開を参照する必要なく定義されています。RGPEP の最新の説明は、ハミルトニアン内の任意の強さの質量混合項を介して相互作用する相対論的フェルミオンの基本的で厳密に解けるモデルの観点から Glazek によって^{与えられています。}

有効粒子は、電流から構成クォークへのメロッシュ変換に類似した動的変換の結果として生じると考えられる。^{[ 41 ]}すなわち、RGPEP変換は、正準理論における裸の量子を、エネルギー帯域幅を持つハミルトニアンを持つ等価な有効理論における有効量子に変換する。${\displaystyle \lambda }$;バンドの説明については、#類似変換とその中の参照を参照してください。${\displaystyle \lambda }$グループを作る。

有効粒子は変換によって導入される

${\displaystyle \psi _{s}=U_{s}\,\psi _{0}\,U_{s}^{\dagger }\,,}$

どこ${\displaystyle \psi _{s}}$は、サイズの有効粒子の生成演算子と消滅演算子から構築された量子場演算子です。${\displaystyle s\sim 1/\lambda }$そして${\displaystyle \psi _{0}}$は、正準理論の点状裸量子に対する生成消滅演算子から構築された、元の量子場演算子です。簡潔に言えば、正準ハミルトニアン密度は場から構築されます。${\displaystyle \psi _{0}}$そしてスケールにおける有効ハミルトニアン${\displaystyle s}$フィールドから構築されています${\displaystyle \psi _{s}}$しかし、ハミルトニアン自体は変更しない。したがって、

${\displaystyle H_{s}(\psi _{s})=H_{0}(\psi _{0})\,,}$

つまり、同じダイナミクスが、異なる値に対して異なる演算子で表現されるということである。${\displaystyle s}$係数${\displaystyle c_{s}}$ハミルトニアンの場演算子のべき乗展開において${\displaystyle \psi _{s}}$による${\displaystyle s}$そして現場のオペレーターは${\displaystyle s}$しかし、ハミルトニアンは変化しない${\displaystyle s}$RGPEPは係数の式を提供する${\displaystyle c_{s}}$関数として${\displaystyle s}$。

原理的には、QCDのフロントフォームハミルトニアンに対するRGPEP方程式を厳密に解いた場合、固有値問題は、任意の値に対応する有効クォークとグルーオンを用いて記述できる。${\displaystyle s}$特に、${\displaystyle s}$非常に小さい場合、固有値問題には、帯域幅まで大きな運動量伝達と相互作用できる非常に多数の仮想構成要素が含まれることになる。${\displaystyle \lambda \sim 1/s}$対照的に、大きな量子に対応する量子で記述された同じ固有値問題は${\displaystyle s}$ハドロンの大きさに匹敵するこの粒子は、構成要素であるクォークモデルに似た単純な方程式の形をとることが期待されている。これがQCDのRGPEPでまさに起こっていることを数学的に証明することは、重大な課題である。

ベテ・サルピーター振幅は、ベテ・サルピーター方程式^{[ 42 ] [ 43 ] [ 44 ]}を満たし（中西によるレビュー^{[ 45 ] [ 46 ]}を参照）、光面平面に投影すると、光面波動関数が得られます。「光面投影」の意味は次のとおりです。座標空間では、ベテ・サルピーター振幅は 2 つの 4 次元座標の関数です。${\displaystyle x_{1,2}=(ct_{1,2},{\vec {x}}_{1,2})}$すなわち：${\displaystyle \Phi =\Phi (x_{1},x_{2};p)}$、 どこ${\displaystyle p}$は系の全四元運動量である。運動量空間では、フーリエ変換によって次のように表される。

${\displaystyle \Phi (k_{1},k_{2};p)=\int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\Phi (x_{1},x_{2};p)\exp(ik_{1}x_{1}+ik_{2}x_{2})}$

（運動量空間ベテ・サルピーター振幅）${\displaystyle \Phi (k_{1},k_{2};p)}$このように定義されるものは、運動量保存則を担うデルタ関数を内包している。${\displaystyle k_{1}+k_{2}=p}$) 光面投影とは、引数が${\displaystyle x_{1},x_{2}}$これらは光面平面上にある、つまり、（共変形式において）以下の条件によって制約される。${\displaystyle \omega \cdot x_{1}=\omega \cdot x_{2}=0}$これは、フーリエ変換に該当するデルタ関数を挿入することによって実現されます。${\displaystyle \delta (\omega \cdot x_{1,2})}$:

${\displaystyle \psi _{LF}\propto \int d^{4}x_{1}d^{4}x_{2}\delta (\omega \cdot x_{1})\delta (\omega \cdot x_{2})\Phi (x_{1},x_{2};p)\exp(ik_{1}x_{1}+ik_{2}x_{2}).}$

このようにして、光面波動関数を求めることができる。${\displaystyle \psi _{LF}}$この式を、与えられた全角運動量を持つベテ・サルピーター振幅に適用すると、光フロントの量子化#角運動量で説明されている光フロント波動関数の角運動量構造が再現されます。特に、角運動量を持つ2つのスピンレス粒子のシステムに対応するベテ・サルピーター振幅を投影すると、${\displaystyle l}$光面波動関数を再現する

${\displaystyle \psi _{lm}({\vec {k}},{\hat {n}})=f_{1}(k,{\vec {k}}\cdot {\hat {n}})Y_{lm}({\hat {k}})+f_{2}(k,{\vec {k}}\cdot {\hat {n}})Y_{lm}({\hat {n}}),}$

光フロント量子化#角運動量で与えられます。

ベテ・サルピーター振幅は外部粒子の伝播関数を含むため、特異値を持つ。これは非特異関数を通して中西積分^{[ 47 ]の形で表すことができる。}${\displaystyle g(\gamma ,z)}$:

どこ${\displaystyle k=(k_{1}-k_{2})/2}$は相対的な4元運動量である。中西重み関数${\displaystyle g(\gamma ,z)}$は方程式から求められ、以下の性質を持つ。${\displaystyle g(\gamma ,z=\pm 1)=0}$、${\displaystyle g(\gamma \to \infty ,z)\to 0}$ベテ・サルピーター振幅（1）を光面平面に投影すると、光面波動関数の次の有用な表現が得られます（CarbonellとKarmanovのレビュー^{[ 48 ]}を参照）。

${\displaystyle \psi _{LF}(k_{\perp },x)={\frac {1}{\sqrt {4\pi }}}\int _{0}^{\infty }{\frac {x(1-x)g(\gamma ',1-2x)d\gamma '}{{\Bigl [}\gamma '+k_{\perp }^{2}+m^{2}-x(1-x)M^{2}{\Bigr ]}^{2}}}.}$

2体システムの質量は、ベテ・サルピーター方程式から求められ、${\displaystyle \Phi (k,p)}$そして光面方程式から${\displaystyle \psi _{LF}(k_{\perp },x)}$同じ物理的内容に対応するカーネル、例えば 1 ボソン交換 (ただし、両方のアプローチで解析形式が大きく異なる) は互いに非常に近い。電磁フォームファクターについても同じことが言える^{[ 49 ]}これは疑いなく 3 体力の存在を証明するが、もちろん相対論的起源の寄与がすべての寄与を網羅するわけではない。同じ相対論的ダイナミクスは 4 体力などを生成するはずである。原子核では、小さな結合エネルギー (核子質量に比) は運動エネルギーとポテンシャルエネルギー (核子質量に匹敵し、したがって相対論的) の相殺によって生じるため、原子核における相対論的効果は顕著である。したがって、実験データに微調整するためには、多体力を考慮に入れる必要がある。

光円錐量子化の利点の1つは、空の状態、いわゆる摂動真空が物理的な真空であることです。^{[ 50 ] [ 51 ] [ 52 ] [ 53 ] [ 54 ] [ 55 ] [ 56 ] [57] [ 58 ] [ 59 ] [ 60 ]理論の質量のある状態は、真空構造からの寄与なしにこの最低状態に基づいて構築でき、これらの質量のある状態の}波動関数には真空の寄与が含まれません。これは、各${\displaystyle p_{i}^{+}}$は正であり、この理論の相互作用は、運動量保存則に違反することなく、運動量ゼロの真空から粒子を生成することはできない。光円錐真空を正規順序付ける必要はない。

しかし、いくつかの理論の特定の側面は真空構造と関連している。例えば、標準模型のヒッグス機構は、理論の真空における自発的対称性の破れに依存している。^{[ 61 ] [ 62 ] [ 63 ] [ 64 ] [ 65 ] [ 66 ]}インスタント形式の通常のヒッグス真空期待値は、${\displaystyle k^{+}=0}$ゼロモードは、フロント形式を使用して標準モデルを量子化すると、一定のシュタルク場に類似します。^{[ 67 ]}量子色力学のカイラル対称性の破れは、インスタント形式では、QCD真空中のクォークとグルーオンの凝縮と関連付けられることが多いです。しかし、フロント形式を使用すると、これらの効果はハドロン波動関数自体の特性になります。^{[ 59 ] [ 60 ] [ 68 ] [ 69 ]}これにより、測定された宇宙定数と量子場理論の間の何桁もの矛盾も解消されます。^{[ 68 ]}

光フロント量子化における真空構造のいくつかの側面は、質量状態の特性を調べることによって分析できます。特に、最も低い質量状態間の縮退の出現を調べることにより、自発的対称性の破れに関連する臨界結合強度を決定できます。また、等時間量子化で分析を開始し、選択したパラメータの極限として光フロント座標に到達する極限プロセスを使用することもできます。^{[ 70 ] [ 71 ]}より直接的なアプローチは、これらのモードから構築された非自明な光フロント真空の計算に、縦方向運動量がゼロのモード（ゼロモード）を含めることです。ハミルトニアンには、真空構造を決定し、質量状態の構成要素間のゼロモード交換相互作用を提供する有効な相互作用が含まれます。

• 光フロント量子化
• 光フロント量子化アプリケーション
• 量子場理論
• 量子色力学
• 量子電磁力学
• 光フロントホログラフィー