セミラティス

数学において、結合半格子（または上部半格子）は、任意の空でない有限部分集合に対して結合（最小上限）を持つ半順序集合です。双対的に、会合半格子（または下部半格子）は、任意の空でない有限部分集合に対して会合（または最大下限）を持つ半順序集合です。すべての結合半格子は、逆順で会合半格子であり、逆もまた同様です。

半格子は代数的に定義することもできます。join と meet は結合的、可換的、冪等的な 二項演算であり、このような演算は部分順序 (およびそれぞれの逆順序) を誘導し、任意の 2 つの要素に対する演算の結果は、この部分順序に関して要素の最小の上限 (または最大の下限) になります。

格子は、同じ半順序に関して、会合半格子と結合半格子の両方である半順序集合です。代数的には、格子は、対応する吸収法則によってリンクされた 2 つの結合的かつ可換なべき等二項演算を持つ集合です。

集合Sが二 項関係≤によって部分的に順序付けられている場合、 それはmeet-semilatticeである。

Sのすべての要素xとyに対して、集合{ x , y }の最大下限が存在する。

集合{ x , y }の最大の下限はxとyの交点と呼ばれ、x ∧ yと表記されます。

「最大下限」を「最小上限」に置き換えると、結合半束の双対概念になります。 { x、y }の最小上限は、 xとyの結合と呼ばれ、x ∨ yと表記されます。 meet と join はS上の二項演算です。単純な帰納的議論により、定義に従って、すべての可能な対の上限 (最小値) が存在するということは、すべての空でない有限の上限 (最小値) が存在することを意味します。

結合半格子は、最小要素、つまり空集合の結合 を持つ場合に有界です。同様に、会合半格子は、最大要素、つまり空集合の会合 を持つ場合に有界です。

他の特性も想定できます。このテーマに関する詳しい議論については、順序理論における完全性に関する記事を参照してください。この記事では、関連するポセット間の適切なガロア接続の存在という観点から上記の定義を言い換える方法についても説明しています。これは、この概念のカテゴリ理論的研究にとって特に興味深いアプローチです。

ミートセミラティスは、ミートと呼ばれる二項演算∧を持つ集合Sで構成される代数構造 であり、 Sのすべてのメンバーx、y、zに対して次の恒等式が成り立ちます 。${\displaystyle \langle S,\land \rangle }$

結合性

x ∧ ( y ∧ z ) = ( x ∧ y ) ∧ z

可換性

x ∧ y = y ∧ x

べき等性

x ∧ x = x

S に単位元1が含まれ、S内のすべてのxに対してx ∧ 1 = xが成り立つ場合、meet-semilattice は有界です。${\displaystyle \langle S,\land \rangle }$

先ほど定義した∧ の代わりに、joinと呼ばれる記号∨を使用した場合、その構造はjoin-semilatticeと呼ばれます。この操作の記号の選択については曖昧なところがあり、単にsemilatticesと呼ぶこともあります。

半格子は可換で冪等な 半群、つまり可換バンドです。有界半格子は冪等な可換モノイドです。

部分順序は、 x ∧ y = xのときはいつでもx ≤ yと設定することにより、 meet-semilattice 上で誘導されます。 join-semilattice では、 x ∨ y = yのときはいつでもx ≤ yと設定することにより、順序が誘導されます。 境界付き meet-semilattice では、単位元 1 はSの最大元です。同様に、 join semilattice の単位元は最小元です。

順序論的な meet-semilattice ⟨ S , ≤⟩ は、 ⟨ S , ∧⟩が代数的な meet-semilatticeとなるような二項演算 ∧ を生じます。逆に、 meet-semilattice ⟨ S , ∧⟩ は、S を次のように部分的に順序付ける二項関係≤を生じます。 S内のすべての要素xとyについて、x = x ∧ yの場合にのみ、x ≤ yとなります。

このようにして導入された関係≤ は、二項演算∧ を復元できる部分順序を定義します。逆に、代数的に定義された半格子⟨ S , ∧⟩によって誘導される順序は、≤によって誘導される順序と一致します。

したがって、特定の目的にとってどちらがより便利であるかに応じて、2 つの定義を互換的に使用できます。同様の結論は、結合半格子と双対順序 ≥ にも当てはまります。

半格子は、他の順序構造を構築するために、または他の完全性特性と組み合わせて使用​​されます。

• 格子は、結合半格子と会合半格子の両方です。吸収法則によるこれら 2 つの半格子の相互作用が、格子と半格子を真に区別するものです。
• 代数格子のコンパクト要素は、誘導された部分順序の下で、境界のある結合半格子を形成します。
• 要素の数に関する帰納法により、空でない有限の meet 半格子には最小の要素があり、空でない有限の join 半格子には最大要素があります。(どちらの場合も、半格子は必ずしも境界が付けられるわけではありません。)
• 完全に順序付けられた集合は分配格子であり、したがって特に、会合半格子および結合半格子です。つまり、任意の 2 つの異なる要素には、より大きい要素とより小さい要素があり、それが会合と結合です。
  • 整列集合は、集合全体が最小の要素を持つため、 有界結合半格子であり、したがって有界です。
    • 通常の順序≤ を持つ自然数は、最大元 を持たないものの、最小元が 0 である有界結合半格子です。つまり、最小の無限の整列集合です。${\displaystyle \mathbb {N} }$
• 高さ の任意の単一根木（最小元が単一根）は、（一般には無制限の）meet-semilatticesです。たとえば、接頭辞順序で順序付けられた、あるアルファベット上の有限単語の集合を考えてみましょう。これには、meet演算の消滅元である最小元（空単語）がありますが、最大元（恒等元）はありません。${\displaystyle \leq \omega }$
• スコットドメインは、 meet -semilattice です。
• 任意の集合Lのメンバーシップは、基底集合Lを持つ半束のモデルとして考えることができます。これは、半束が集合の外延性の本質を捉えているからです。a ∧ b がa ∈ Lとb ∈ Lを表すものとします。次の 1 つまたは両方においてのみ異なる 2 つの集合:

1. メンバーがリストされている順序。
2. 1人以上のメンバーの多重性、

は実際には同じ集合です。∧の可換性と結合性は(1)、冪等性、(2) を保証します。 この半束はL上の自由半束です。集合はそれ自身の要素ではないため、Lによって 制限されません。

• 古典的な外延的メレオロジーでは、結合をバイナリ融合として読み取った結合半格子が定義されています。この半格子は、世界個体によって上から境界が設定されます。
• 集合Sが与えられたとき、Sの分割のコレクションは結合半格子です。実際、となる場合、半順序は で与えられ、2 つの分割の結合は で与えられます。この半格子は境界付きで、最小の要素はシングルトン分割 です。${\displaystyle \xi }$${\displaystyle \xi \leq \eta }$${\displaystyle \forall Q\in \eta ,\exists P\in \xi }$${\displaystyle Q\subset P}$${\displaystyle \xi \vee \eta =\{P\cap Q\mid P\in \xi \ \&\ Q\in \eta \}}$${\displaystyle \{S\}}$

上記の半格子の代数的定義は、 2つの半格子間の射の概念を示唆している。2つの結合半格子( S , ∨)と( T , ∨)が与えられたとき、 (結合)半格子の準同型は関数f : S → Tであって、

f ( x∨y ) = f ( x ) ∨f ( y )です。

したがって、fは各半格子に関連付けられた2つの半群の準同型に過ぎない。SとTの両方が最小元0を含む場合、 fはモノイド準同型でなければならない。つまり、さらに次のことが求められる。

ｆ（０）＝０である。

順序論的定式化では、これらの条件は、結合半格子の準同型が、バイナリ結合と最小元 (存在する場合) を保存する関数であることを単に述べています。明らかな双対 ( ∧ を∨に、0 を 1 に置き換える) は、結合半格子準同型の定義を、それに相当するミート半格子に変換します。

任意の半格子準同型は、関連する順序関係に関して必ず単調であることに注意してください。説明については、限界の保存の項目を参照してください。

次のように、ゼロの結合半格子と -準同型写像のカテゴリと、コンパクト性- を保つ完全な結合準同型写像を持つ代数格子のカテゴリの間には、よく知られた同値関係があります。ゼロの結合半格子に対して、そのイデアル格子 を関連付けます。 -半格子の-準同型写像に対して、写像 を関連付けます。この写像は、 の任意のイデアルに対して、によって生成されたのイデアルを関連付けます。これにより、関数 が定義されます。逆に、すべての代数格子に対して、 のすべてのコンパクト元の-半格子を関連付け、代数格子間のコンパクト性を保つ完全な結合準同型写像に対して、制限 を関連付けます。これにより、関数 が定義されます。このペアは、と の間のカテゴリ同値関係を定義します。 ${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle (\vee ,0)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \operatorname {Id} \ S}$${\displaystyle (\vee ,0)}$${\displaystyle f\colon S\to T}$${\displaystyle (\vee ,0)}$${\displaystyle \operatorname {Id} \ f\colon \operatorname {Id} \ S\to \operatorname {Id} \ T}$${\displaystyle I}$${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle f(I)}$${\displaystyle \operatorname {Id} \colon {\mathcal {S}}\to {\mathcal {A}}}$${\displaystyle A}$${\displaystyle (\vee ,0)}$${\displaystyle K(A)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle f\colon A\to B}$${\displaystyle K(f)\colon K(A)\to K(B)}$${\displaystyle K\colon {\mathcal {A}}\to {\mathcal {S}}}$${\displaystyle (\operatorname {Id} ,K)}$${\displaystyle {\mathcal {S}}}$${\displaystyle {\mathcal {A}}}$

驚くべきことに、分配性は慣例的に 2 つの二項演算の相互作用を必要とするにもかかわらず、半格子に適用できる「分配性」という概念があります。この概念は 1 つの演算のみを必要とし、格子の分配性条件を一般化します。結合半格子が分配的であるのは、 x ≤ a ∨ b であるすべての a 、 b 、xに対して、x = a ' ∨ b 'となるa ' ≤ aおよびb' ≤ bが存在する場合です。分配的な会合半格子は双対的に定義されます。これらの定義は、二項会合が存在する分配的な結合半格子はすべて分配格子であるという事実によって正当化されます。「分配性 (順序理論)」の項目を参照してください。

結合準格子が分配的であるのは、そのイデアルの格子（包含の下で）が分配的である場合に限ります。

現在、「完全半格子」という用語は一般に受け入れられている意味を持たず、相互に矛盾するさまざまな定義が存在します。完全性が、有限のものだけでなく、すべての無限結合、またはすべての無限会合のいずれかの存在を必要とすると解釈される場合、これはすぐに、実際には完全格子である部分順序につながります。すべての可能な無限結合の存在がすべての可能な無限会合の存在を伴う理由 (およびその逆) については、完全性 (順序理論)の項目を参照してください。

それにもかかわらず、文献では、完全な結合半格子または会合半格子を完全な格子と見なすことがあります。この場合、「完全性」は準同型の範囲に対する制限を示します。具体的には、完全な結合半格子では、準同型がすべての結合を保存することが求められますが、完全性の特性の場合の状況とは逆に、準同型がすべての会合を保存することは求められません。一方、そのようなマッピングはすべて、何らかのガロア接続の下側随伴であると結論付けることができます。対応する（一意の）上側随伴は、完全な会合半格子の準同型になります。これにより、すべての会合または結合を保存する射を持つすべての完全な半格子のカテゴリ間の 便利なカテゴリ双対性が多数生じます。

「完全ミート半格子」の別の用法は、有界完全 cpoを指します。この意味での完全ミート半格子は、必ずしも完全格子ではない「最も完全な」ミート半格子と言えます。実際、完全ミート半格子には、すべての空でないミート (これは有界完全であることに相当) とすべての有向結合があります。このような構造に最大要素 (空集合のミート) もある場合、それは完全格子でもあります。したがって、完全半格子は「おそらくトップがない完全格子」になります。この定義は、特にドメイン理論で興味深いものです。ドメイン理論では、有界完全代数cpo がスコット領域として研究されています。そのため、スコット領域は代数半格子と呼ばれています。

半格子の完全性に関する基数制限概念は文献ではほとんど考慮されていない。^[1]

このセクションでは、圏論に関する知識を前提としています。さまざまな状況で、自由半格子が存在します。たとえば、結合半格子 (およびその準同型) の圏から集合 (および関数) の圏への忘却関手は、左随伴関数を許容します。したがって、集合S上の自由結合半格子F ( S )は、部分集合の包含順に並べられた、Sのすべての空でない有限部分集合のコレクションを取ることによって構築されます。明らかに、S は、 S内の任意の要素s を単集合{ s } に取るマッピングeによってF ( S )に埋め込むことができます。すると、 Sから結合半格子T (より正式には、 Tの基底集合) への任意の関数fは、結合半格子F ( S )とTの間に、f = f' ○ eとなる一意の準同型f' を誘導します。明示的には、f' は次のように与えられます。これで、 f'の明白な一意性は、必要な随伴を得るのに十分です。つまり、関数Fの射部分は、一般的な考察から導くことができます (随伴関数を参照)。自由な meet-semilattices の場合は、反対のサブセット包含を順序付けとして使用する双対です。bottom を持つ join-semilattices の場合は、上記のサブセットのコレクションに空セットを追加するだけです。 ${\textstyle f'(A)=\bigvee \{f(s)|s\in A\}.}$

さらに、半束は他のカテゴリ内の自由オブジェクトの生成元としてよく使用されます。特に、フレームとフレーム準同型のカテゴリからの忘却関手と、分配束と束準同型のカテゴリからの忘却関手はどちらも左随伴を持ちます。

• 有向集合 - 上限を持つ数学的順序 − 結合半格子の一般化
• 注文トピック一覧
• 半環 – 加法的な負の要素を必要としない代数環

• Davey, BA; Priestley, HA (2002).格子と秩序入門（第2版）. Cambridge University Press . ISBN 0-521-78451-4。
• ヴィッカース、スティーブン（1989）。論理によるトポロジー。ケンブリッジ大学出版局。ISBN 0-521-36062-5。

格子理論の標準的な扱いでは、半格子を定義するだけで、それ以上は何も言わないことがよくあります。順序理論と格子理論の項目の参考文献を参照してください。さらに、半群に関する文献に匹敵する規模の半格子に関する文献はありません。

• Jipsen の代数構造ページ: 半格子。