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音楽理論において、補数とは、伝統的な音程補数、または十二音技法とセリアリズムの総合的な補数を指します。
音程の補数法では、補数は元の音程に追加されると、合計で 1オクターブに及ぶ音程です。たとえば、長 3 度は短 6 度の補数です。任意の音程の補数は、その逆音または反転とも呼ばれます。オクターブとユニゾンは互いの補数であり、トライトーンはそれ自体の補数であることに注意してください (ただし、後者は文脈に応じて増 4 度または減 5 度として「再表記」されます)。
十二音音楽とセリアリズムの総合的な補完では、半音階の 1 セットの音の補完に、その音階の他のすべての音が含まれます。たとえば、ABCDEFG は、B ♭ -C ♯ -E ♭ -F ♯ -A ♭で補完されます。
音楽集合論では、両方の意味の定義がいくらか広がること に注意してください。
区間補完
9のルール
9の法則は、どの音程が互いに補完し合うかを判断する簡単な方法です。[1]音程の名前を基数（4度などは4になる）とすると、たとえば4 + 5 = 9となります。したがって、4度と5度は互いに補完し合います。より一般的な名前（半音や三全音など）を使用する場合、この法則は適用できません。ただし、オクターブとユニゾンは一般的なものではなく、同じ名前の音符を具体的に指すため、8 + 1 = 9となります。
完全音程は（異なる）完全音程を補完し、長音程は短音程を補完し、増音程は減音程を補完し、二重減音程は二重増音程を補完します。
12のルール
整数表記と12 を法とする法(数値は 12 で「折り返される」ため、12 とその倍数は 0 と定義されます) を使用すると、合計が 0 (mod 12) になる 2 つの音程は補数 (mod 12)になります。この場合、ユニゾンの 0 はそれ自身の補数ですが、他の音程の場合、補数は上記と同じです (たとえば、完全 5 度、つまり 7 は完全 4 度、つまり 5 の補数であり、7 + 5 = 12 = 0 mod 12)。
したがって、補数の和は 12 (= 0 mod 12) です。
集合論
音楽集合論や無調理論では、補数は上記の意味（完全4度は完全5度の補数、5+7=12）と、同じ旋律音程を反対方向に加算する逆の意味（例えば、下降5度は上昇5度の補数）の両方で使用されます。[要出典]
集合補完
十二音音楽とセリアリズムにおける補数法（完全な文字通りのピッチクラス補数法）とは、ピッチクラスの集合を、それぞれが他方に欠けているピッチクラスを含む補集合に分けることである[2]。あるいはむしろ、「ある集合を別の集合と結合すると、その集合が完成する関係」である。[3]「簡単に説明すると...：ピッチクラス集合の補数は、文字通りの意味で、その集合に含まれていない十二音のクロマチック音階に残っているすべての音で構成される。」[4]
十二音技法では、これは12の音階全体の半音を、それぞれ6つの音階からなる2つのヘキサコードに分けることが多い。組み合わせ性を持つ行では、2つの12音の音列（または1つの音列の2つの順列）が同時に使用され、それによって「それぞれ最初のヘキサコードと2番目のヘキサコードの間に2つの集合体」が作成される。 [2]言い換えれば、各シリーズの最初と2番目のヘキサコードは常に、適切に選択された順列の最初の2つのヘキサコードと2番目の2つのヘキサコードと同様に、集合体として知られる半音階の12音すべてを含むように組み合わされる。
ヘキサコルダル補完法は、ヘキサコルドのペアがそれぞれ6つの異なるピッチクラスを含み、それによって集合体を完成させる可能性を利用するものである。[5]
補完の合計
たとえば、転置的に関連する集合が与えられているとします。
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 − 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 0 ___________________________________ 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
差は常に 11 です。最初のセットは P0 (トーン行を参照) と呼ばれる場合があり、その場合、2 番目のセットは P1 になります。
対照的に、「転置的に関連するセットは、対応するピッチクラスのすべてのペアに対して同じ差を示しますが、反転的に関連するセットは同じ合計を示します。」[7]たとえば、反転的に関連するセット（P0とI11）を考えると：
0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 +11 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 ___________________________________ 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11
合計は常に 11 です。したがって、P0 と I11 の場合、補数の合計は 11 になります。
抽象的な補足
[明確化が必要]集合論では、伝統的な補集合の概念は、文字通りのピッチクラス補集合として区別される。これは「特定のピッチクラス集合間で関係が成立する場合」である[3]。一方、同値集合の定義により、この概念は「その集合の文字通りの pc 補集合だけでなく、文字通りの補集合の転置または反転転置された形式も含む」[8]ように拡張される。これは抽象補集合として説明される。 [9]「集合クラス間で関係が成立する場合」[3] 。これは、P がMと同等であり、Mが M の補集合であるため、P は「論理的および音楽的な観点から」[10] 、文字通りの pc 補集合ではないにもかかわらず、M の補集合でもあるためである。考案者のアレン・フォルテ[11]はこれを「補集合関係の重要な拡張」と表現しているが、ジョージ・パールはこれを「ひどく控えめな表現」と表現している。[12]
さらに別の例として、半音セット 7-1 と 5-1 を取り上げます。7-1 のピッチクラスが C–F ♯に及び、5-1 のピッチクラスが G–B に及ぶ場合、それらは文字通りの補音です。しかし、5-1 が C–E、C ♯ –F、または D–F ♯に及ぶ場合、それは 7-1 の抽象的な補音です。[9]これらの例から明らかなように、セットまたはピッチクラスセットにラベルが付けられると、「補音関係は、補数基数のセットのペアの同じ序数によって簡単に認識されます」。[3]
参照
参考文献
- ^ Blood, Brian (2009). 「音程の反転」. Music Theory Online . Dolmetsch Musical Instruments . 2009年12月25日閲覧。
- ^ ab ウィットオール、アーノルド。2008年。『ケンブリッジ・セリアリズム入門』 、 p.272。ニューヨーク：ケンブリッジ大学出版局。ISBN 978-0-521-68200-8（ペーパーバック）。
- ^ abcd ノーラン、キャサリン（2002）。ケンブリッジ西洋音楽理論の歴史、 p.292。トーマス・ストリート・クリステンセン編。ISBN 0-521-62371-5。
- ^ パスラー、ヤン（1986年）。ストラヴィンスキーと対峙する：人間、音楽家、モダニスト、p.97。ISBN 0-520-05403-2。
- ^ ウィットオール2008、p.273。
- ^ ウィットオール、103
- ^ パール、ジョージ (1996)。十二音調性、p.4。ISBN 0-520-20142-6。
- ^ シュマルフェルト、ジャネット（1983年）。ベルクのヴォツェック：ハーモニック言語とドラマティックデザイン、 p.64および70。ISBN 0-300-02710-9。
- ^ ab Berger、Cayer、Morgenstern、Porter (1991)。Annual Review of Jazz Studies、第5巻、p.250-251。ISBN 0-8108-2478-7。
- ^ シュマルフェルト、p.70
- ^ フォルテ、アレン（1973）。無調音楽の構造。ニューヘブン。
- ^ ab Perle, George. 「ピッチクラスセット分析: 評価」、p.169-71、The Journal of Musicology、Vol. 8、No. 2 (Spring、1990)、pp. 151-172。https://www.jstor.org/stable/763567 アクセス日: 2009 年 12 月 24 日 15:07。