序数演算

数学の集合論の分野では、順序演算は、順序数に対する通常の 3 つの演算、つまり加算、乗算、累乗を表します。それぞれは、演算の結果を表す明示的に順序付けられた集合を構築するか、超限再帰を使用するかの 2 つの異なる方法で定義できます。カントール標準形は、順序数を記述する標準化された方法を提供します。これらの通常の順序演算に加えて、順序数の「自然な」演算と数演算もあります。

2 つの整然とした集合SとTの合計は、直積S × {0}とT × {1}の和において、最下位の位置が最初となる辞書式順序の変形を表す順序数です。このように、 Sのすべての要素はTのすべての要素よりも小さく、S内の比較では既存の順序が維持され、T内の比較でも同様です。

加法α + βの定義は、β上の超限再帰によっても与えられます。右加数β = 0のとき、通常の加法では、任意のαに対してα + 0 = αとなります。β > 0の場合、 α + βの値は、すべてのδ < βに対して、 αとδの合計よりも確実に大きい最小の順序数です。後続順序数と極限順序数のケースを別々に書きます。

• α + 0 = α
• α + S ( β ) = S ( α + β )、ここでS は後続関数を表します。
• ${\displaystyle \alpha +\beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha +\delta )}$βが極限順序数の場合。

自然数の順序加算は、通常の加算と同じです。最初の超限順序数は、すべての自然数の集合であるωで、その後にω + 1、ω + 2などが続きます。順序数ω + ω は、通常の方法で順序付けられた自然数の2つのコピーと、最初のコピーの右側にある2番目のコピーによって得られます。2番目のコピーを0' < 1' < 2' < ...と書くと、ω + ω は次のようになります 。

0 < 1 < 2 < 3 < ... < 0' < 1' < 2' < ...

これはωとは異なります。ωでは0のみに直接的な前任者がいないのに対し、ω + ωでは0と0' の2 つの要素に直接的な前任者がいないからです。

順序加算は、一般に、可換ではありません。たとえば、3 + ω = ωです。これは、 3 + ωの順序関係が0 < 1 < 2 < 0' < 1' < 2' < ...であり、 ωに再ラベル付けできるためです。対照的に、ω + 3 はωと等しくありません。これは、順序関係0 < 1 < 2 < ... < 0' < 1' < 2'には最大要素 (つまり、2' )があり、 ωには最大要素がないためです ( ωとω + 3は等価ですが、順序同型ではありません)。

順序加算は依然として結合的です。たとえば、( ω + 4) + ω = ω + (4 + ω ) = ω + ωであることがわかります。

右辺の議論では、 加算は厳密に増加し、連続します。

${\displaystyle \alpha <\beta \Rightarrow \gamma +\alpha <\gamma +\beta }$

しかし、左の議論では同様の関係は成立しません。代わりに、次の式のみが成立します。

${\displaystyle \alpha <\beta \Rightarrow \alpha +\gamma \leq \beta +\gamma }$

順序数の加算は左相殺可能である。すなわち、α + β = α + γならば、β = γである。さらに、順序数β ≤ αに対して左減算を定義できる。すなわち、 α = β + γとなる唯一のγが存在する。一方、右相殺は機能しない。

${\displaystyle 3+\omega =0+\omega =\omega }$しかし${\displaystyle 3\neq 0}$

β ≤ αの場合でも右引き算は行われません。たとえば、γ + 42 = ωとなるγは存在しません。

α未満の順序数が加法に対して閉じていて 0 を含む場合、α はγ数と呼ばれることがあります(加法的に分解不可能な順序数を参照)。これらはまさにω ^βの形式の順序数です。

2 つの整然とした集合 S と T の直積S × Tは、最も重要でない位置を最初に置く辞書式順序の変形によって整然と並べることができます。実質的に、 Tの各要素はSの互いに素なコピーに置き換えられます。直積の順序型は、 SとTの順序型を掛け合わせた結果として得られる順序数です。

乗算の定義は、 β上の超限再帰によっても与えられます。右因数β = 0のとき、通常の乗算​​では、任意のαに対してα · 0 = 0となります。β > 0の場合、 α · βの値は、すべてのδ < βに対して、 ( α · δ ) + α以上の最小の順序数です。後続順序数と極限順序数のケースを別々に書きます。

• α ·0 = 0です。
• α・S ( β ) = ( α・β ) + α、後続序数S ( β )の場合。
• ${\displaystyle \alpha \cdot \beta =\bigcup _{\delta <\beta }(\alpha \cdot \delta )}$β が極限順序数である場合。

例として、ω · 2の順序関係は次のようになります。

0 ₀ < 1 ₀ < 2 ₀ < 3 ₀ < ... < 0 ₁ < 1 ₁ < 2 ₁ < 3 ₁ < ...、

これはω + ωと同じ順序型を持ちます。対照的に、2 · ω は次のようになります。

0 ₀ < 1 ₀ < 0 ₁ < 1 ₁ < 0 ₂ < 1 ₂ < 0 ₃ < 1 ₃ < ...

ラベルを付け直すと、これはωとまったく同じになります。したがって、ω · 2 = ω + ω ≠ ω = 2 · ωとなり、順序数の乗算は一般に可換ではないことがわかります（図を参照）。

加算の場合と同様に、自然数の順序乗算は標準の乗算と同じです。

α · 0 = 0 · α = 0であり、ゼロ積のプロパティが成り立ちます: α · β = 0 → α = 0またはβ = 0。序数 1 は乗法恒等式、 α · 1 = 1 · α = αです。乗算は結合的です( α · β ) · γ = α · ( β · γ )。右引数では乗算は厳密に増加し連続です: ( α < βおよびγ > 0 ) → γ · α < γ · β。乗算は厳密には増加しません。たとえば、 1 < 2 ですが、 1 · ω = 2 · ω = ωです。ただし、(厳密ではありませんが) 増加しています。つまり、 α ≤ β → α · γ ≤ β · γです。

順序数の乗法は一般に可換ではありません。具体的には、 1 より大きい自然数はいかなる無限順序数とも可換ではなく、 2 つの無限順序数αとβは、 α ^m = β ⁿが成り立つ場合のみ可換です(非ゼロの自然数mとnの場合)。「 αはβと可換である」という関係は、 1 より大きい順序数上の同値関係であり、すべての同値類は可算無限です。

左側の分布性が成り立ちます: α ( β + γ ) = αβ + αγ。ただし、右側の分配法則( β + γ ) α = βα + γαは一般に当てはまりません: (1 + 1) · ω = 2 · ω = ω while 1 · ω + 1 · ω = ω + ω。は異なります。左キャンセル法則があります: α > 0かつα · β = α · γの場合、β = γです。右のキャンセルは機能しません。たとえば1 · ω = 2 · ω = ωですが、1 と 2 は異なります。剰余プロパティを伴う左除算は次のとおりです。すべてのαとβについて、β > 0の場合、α = β · γ + δおよびδ < βとなるような一意のγとδが存在します。右除算は機能しません。α · ω ≤ ω ^ω ≤ ( α + 1) · ωとなるα は存在しません。

順序数は左近似半環を形成しますが、環を形成しません。したがって、順序数は環ですらないため、ユークリッド領域ではありません。さらに、ユークリッド「ノルム」は、ここで左除算を使用して順序値になります。

δ数（乗法的に分解不可能な順序数を参照）は、 0 < α < βのときは常にαβ = β となるような、 1 より大きい順序数βです。これらは、順序数 2 と、 β = ω ^{ω γ の}形式の順序数で構成されます。

順序型による累乗の定義は、順序数をすべてのより小さい順序数の集合として定義するフォン・ノイマンの定義を使うと最も簡単に説明できます。次に、順序型α ^βの集合を構成するために、有限個以外のすべての要素x ∈ βに対してf ( x ) = 0となるような関数f  : β → αの集合を考えます (基本的に、有限のサポートを持つ関数を考えます)。この集合は、最下位の位置が最初になるように辞書式に並べられています。つまり、 x ∈ βでf ( x ) < g ( x )が存在し、 x < yであるすべてのy ∈ βに対してf ( y ) = g ( y )となる場合のみ、 f < g と書きます。これは順序付けが適切であるため、順序数が得られます。

指数の定義は、指数βの超限再帰によっても与えられます。指数β = 0のとき、通常の指数では、任意のαに対してα ⁰ = 1となります。β > 0の場合、 α ^βの値は、すべてのδ < βに対してα ^δ · α以上の最小の順序数です。後続順序数と極限順序数のケースを別々に記述します。

• α ⁰ = 1 です。
• α ^{S ( β )} = ( α ^β ) · α、後続順序S ( β )の場合。
• ${\displaystyle \alpha ^{\beta }=\bigcup _{0<\delta <\beta }(\alpha ^{\delta })}$β が極限順序数である場合。

指数βが有限数の場合、両方の定義は大幅に簡素化されます。つまり、 α ^{β は}αのβ個のコピーの積に過ぎません 。たとえば、ω ³ = ω · ω · ωとなり、 ω ³の要素は、辞書式に最下位の位置が最初に来るように順序付けられた自然数の 3 つ組として見ることができます。これは、自然数の通常の累乗と一致します。

しかし、無限指数の場合、定義は明らかでない場合があります。たとえば、α ^{ω は}、適切に順序付けられたαの要素の有限シーケンスの集合と同一視できます。方程式2 ^ω = ωは、 2進数システムを使用して、ゼロと1の有限シーケンスを自然数と同一視できるという事実を表しています。順序数ω ^{ω は、}自然数の有限シーケンスの順序型と見なすことができます。つまり、ω ^ωのすべての要素（つまり、 ω ^ωより小さいすべての順序数）は、 k、n ₁、...、n _kが自然数、c ₁、...、c _kがゼロ以外の自然数、n ₁ > ... > n _kの形式で一意に記述できます。 ${\displaystyle \omega^{n_{1}}c_{1}+\omega^{n_{2}}c_{2}+\cdots +\omega^{n_{k}}c_{k}}$

一般に同じことが当てはまります。α ^βのすべての要素（つまり、 α ^βより小さいすべての順序数）は、kが自然数、b ₁、...、b _kがβより小さい順序数（b ₁ > ... > b _{k ）}、a ₁、...、a _kがαより小さい非ゼロの順序数である形式で一意に表すことができます。 この式は、 i = 1、...、kに対してb _{i を}a _iに送信し、 βの他のすべての要素を0 に 送信する関数f  : β → αに対応します。${\displaystyle \alpha ^{b_{1}}a_{1}+\alpha ^{b_{2}}a_{2}+\cdots +\alpha ^{b_{k}}a_{k}}$

序数累乗と基数累乗には同じ指数表記法が使われますが、この 2 つの演算はまったく異なるため混同しないでください。基数累乗A ^Bはすべての関数B → Aの集合の基数として定義されますが、序数累乗α ^{β に}は有限台を持つ関数β → αのみが含まれており、通常は基数がはるかに小さい集合です。序数累乗と基数累乗の混同を避けるために、前者では序数の記号 (例ω )を使用し、後者では基数の記号 (例) を使用できます。 ${\displaystyle \aleph_{0}}$

• α ⁰ = 1 です。
• 0 < αの場合、0 ^α = 0です。
• 1 ^α = 1。
• α ¹ = αです。
• α ^β · α ^γ = α ^{β + γ} .
• ( α ^β ) ^γ = α ^{β · γ} .
• ( α・β ) ^γ ≠ α ^γ・β ^γとなるα、β、γがあります。たとえば、( ω · 2) ² = ω ·2 · ω ·2 = ω ² · 2 ≠ ω ² · 4です。
• 順序指数は、右辺において厳密に増加し連続します。つまり、 γ > 1かつα < βの場合、γ ^α < γ ^βです。
• α < βの場合、α ^γ ≤ β ^{γ に}なります。たとえば、 2 < 3 でありながら2 ^ω = 3 ^ω = ω であることに注意してください。
• α > 1かつα ^β = α ^γの場合、β = γ になります。α = 1またはα = 0の場合は当てはまりません。
• すべてのαとβについて、β > 1およびα > 0の場合、 α = β ^γ · δ + ρ ( 0 < δ < βおよびρ < β ^{γ )}となるような一意のγ、δおよびρが存在します。

ヤコブスタールは、 α ≤ βであるα ^β = β ^αの唯一の解は、 α = β、またはα = 2およびβ = 4、またはαは任意の極限順序数、β = εα ( εはεより大きい数) によって与えられることを示しました。 αよりも。^[1]

テトレーション、ペンテーション、ヘキサレーションの順序バージョンを含む、加算、乗算、累乗で始まるシーケンスを継続する順序演算があります。ヴェブレン関数も参照してください。

すべての順序数αは、と一意に表すことができます。ここで、kは自然数、は非ゼロの自然数、は順序数です。 α = 0の退化ケースは、 k = 0でβもcも存在しない場合に発生します。 このαの分解は、 αのカントール正規形と呼ばれ、ω基数位数体系と見なすことができます。 最大の指数はの次数と呼ばれ、 を満たします。 この等式は、 の場合にのみ適用されます。 その場合、カントール正規形は、より小さい順序数で順序数を表しません。 これは、以下で説明するように発生することがあります。 ${\displaystyle \omega^{\beta_{1}}c_{1}+\omega^{\beta_{2}}c_{2}+\cdots +\omega^{\beta_{k}}c_{k}}$${\displaystyle c_{1},c_{2},\ldots ,c_{k}}$${\displaystyle \beta _{1}>\beta _{2}>\ldots >\beta _{k}\geq 0}$ ${\displaystyle \beta _{1}}$${\displaystyle \alpha}$${\displaystyle \beta _{1}\leq \alpha }$${\displaystyle \beta _{1}=\alpha }$${\displaystyle \alpha =\omega ^{\alpha }}$

カントール正規形のマイナーバリエーションは、通常、扱いが少し簡単になりますが、すべての数c _{i を}1 に設定し、指数を等しくすることです。言い換えると、すべての順序数 α は、 と一意に表すことができます。ここで、kは自然数、 は順序数です。 ${\displaystyle \omega ^{\beta _{1}}+\omega ^{\beta _{2}}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}}$${\displaystyle \beta _{1}\geq \beta _{2}\geq \ldots \geq \beta _{k}\geq 0}$

カントール正規形の別のバリエーションは「基数δ展開」であり、ここでω は任意の順序数δ > 1に置き換えられ、数c _iはδ未満の非ゼロ順序数です。

カントール標準形は、有限回の加算、乗算、累乗の算術演算によって自然数から構築される順序数αを一意に表現し、順序付けすることを可能にします。 言い換えると、 をカントール標準形で仮定すると、指数もカントール標準形で表現でき、 についてもαについて同じ仮定を適用し、これを再帰的に適用すると、これらの順序数の表記法が得られます (たとえば、 ${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \beta _{1}<\alpha }$${\displaystyle \beta _{i}}$${\displaystyle \beta _{i}}$

${\displaystyle \omega ^{\omega ^{\omega ^{7}\cdot 6+\omega +42}\cdot 1729+\omega ^{9}+88}\cdot 3+\omega ^{\omega ^{\omega }}\cdot 5+65537}$

序数を表します。

順序数 ε ₀（イプシロン ゼロ）は、遺伝的に非自明なカントール正規形の有限長算術式の順序値αの集合である。ここで非自明とは、0< αのときにβ ₁ < α であることを意味する。これは、 ωに関して有限算術式を持たない最小の順序数であり、 、すなわちカントール正規形で指数が順序数自体よりも小さくならない最小の順序数である。これは、数列 ${\displaystyle \varepsilon _{0}=\omega ^{\varepsilon _{0}}}$

${\displaystyle 0,\,1=\omega ^{0},\,\omega =\omega ^{1},\,\omega ^{\omega },\,\omega ^{\omega ^{\omega }},\,\ldots \,.}$

順序数 ε _{0 は}算術においてさまざまな理由で重要です (基本的には、それが第 1 階のペアノ算術の証明論的強さを測るためです。つまり、ペアノの公理は ε ₀未満の任意の順序数までは超限帰納法を示すことができますが、 ε ₀自体までは示すことができません)。

カントール標準形は順序数の和や積を計算することもできます。例えば、和を計算するには、次のことを知っておくだけで十分です（§ 加算と§ 乗算に記載されている特性を参照）。

${\displaystyle \omega ^{\beta }c+\omega ^{\beta '}c'=\omega ^{\beta '}c'\,,}$

（左辺の分配法則を適用してこれを と書き直すことができ、式がすでにカントール標準形である場合）であり、積を計算するために重要な事実は、がカントール標準形であり である場合、 ${\displaystyle \beta '>\beta }$${\displaystyle \beta '=\beta }$${\displaystyle \omega ^{\beta }(c+c')}$${\displaystyle \beta '<\beta }$${\displaystyle 0<\alpha =\omega ^{\beta _{1}}c_{1}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}c_{k}}$${\displaystyle 0<\beta '}$

${\displaystyle \alpha \omega ^{\beta '}=\omega ^{\beta _{1}+\beta '}\,}$

そして

${\displaystyle \alpha n=\omega ^{\beta _{1}}c_{1}n+\omega ^{\beta _{2}}c_{2}+\cdots +\omega ^{\beta _{k}}c_{k}\,,}$

nがゼロ以外の自然数の 場合。

カントール正規形で書かれた 2 つの順序数を比較するには、まず、 、、などを比較します。最初に不等号が現れたとき、より大きな要素を持つ順序数が、より大きな順序数となります。一方が他方より先に終了するまで同じである場合、先に終了する方が小さい順序数となります。 ${\displaystyle \beta _{1}}$${\displaystyle c_{1}}$${\displaystyle \beta _{2}}$${\displaystyle c_{2}}$

エルンスト・ヤコブスタールは、順序数が一意の因数分解定理の形式を満たすことを示しました。つまり、すべての非ゼロ順序数は、有限個の素数順序数の積として表すことができます。この素数順序数への因数分解は一般に一意ではありませんが、有限の素因数の順序を変更するまで一意である「最小」の素数への因数分解が存在します (Sierpiński 1958)。

素数順序数は、1 より大きい順序数で、2 つの小さい順序数の積として表すことができないものです。素数には、2、3、5、...、ω、ω + 1、ω ² + 1、ω ³ + 1、...、ω ^ω、ω ^ω + 1、ω ^{ω + 1} + 1、... などがあります。素数順序数には次の 3 種類があります。

• 有限素数 2、3、5、...
• 任意の順序数αに対して、形式ω ^{ω α}の順序数。これらは極限となる素数順序数であり、デルタ数、つまり乗法に対して閉じた超限順序数です。
• 任意の順序数α > 0に対して、形式ω ^α + 1の順序数。これらは無限後続素数であり、加法的に分解不可能な順序数であるガンマ数の後続素数です。

素因数分解は一意ではありません。たとえば、2×3 = 3×2、2× ω = ω、( ω +1)× ω = ω × ω、ω × ω ^ω = ω ^ωです。ただし、次の追加条件を満たす一意の素因数分解が存在します。

• すべての極限素数は、後続素数の前に出現する必要がある。
• 素因数分解の連続する 2 つの素数が両方とも極限値であるか両方とも有限である場合、2 番目の素数は 1 番目の素数以下でなければなりません。

この素因数分解は、次のようにカントール正規形を使用して簡単に読み取ることができます。

• まず、順序数を積αβとして書きます。ここで、α はカントール正規形におけるωの最小の累乗であり、 β は後続の累乗です。
• α = ω ^γの場合、 γ をカントール標準形で書くと、 αを極限素数の積として展開できます。
• ここで、 βのカントール標準形を見てみましょう。β = ω ^λ m + ω ^μ n + より小さい項の場合、β = ( ω ^μ n + より小さい項)( ω ^{λ − μ} + 1) mは、より小さい順序数と素数と自然数mの積です。 これを繰り返して自然数を素因数分解すると、 βの素因数分解が得られます。

カントール標準形順序数の因数分解は

ω ^{α ₁} n ₁ + ⋯ + ω ^{α _k} n _k ( α ₁ > ⋯ > α _k )

無限の素数と自然数の最小積は

( ω ^{ω β ₁} ⋯ ω ^{ω β _m} ) n _k ( ω ^{α _{k −1} −α _k} + 1) n _{k −1} ⋯ ( ω ^{α ₁ − α ₂} + 1) n ₁

ここで、各n _{i は、}非増加の有限素数列に因数分解して置き換えられ、

α _k = ω ^{β ₁} + ⋯ + ω ^{β _m} ( β ₁ ≥ ⋯ ≥ β _m)。

_{上で議論したように、 ε 0}未満の順序数のカントール標準形は、加算、乗算、累乗の関数記号と、各自然数およびωの定数記号のみを含むアルファベットで表現できます。定数記号 0 と後続の演算 S のみを使用することで、無限の数の数字を省くことができます (たとえば、自然数 4 は S(S(S(S(0)))) と表現できます)。これは、順序数表記法、つまり有限のアルファベット上の順序数を命名するシステムを表しています。この特定の順序数表記法のシステムは算術順序数の集合と呼ばれ、 ε ₀未満のすべての順序数を表現できますが、 ε _{0 は}表現できません。 ε _{0 を}はるかに超える順序数を表現できる他の順序表記法もありますが、有限アルファベットには有限長の文字列が可算個しか存在しないため、任意の順序表記法ではω ₁ (最初の不可算順序数) 未満の順序数は表現できません。このような順序数は、大きな可算順序数として知られています。

加算、乗算、累乗の演算はすべて原始再帰順序関数の例であり、より一般的な原始再帰順序関数を使用して、より大きな順序数を記述できます。

順序数に対する自然和 と自然積の演算は 1906 年にGerhard Hessenbergによって定義され、 Hessenberg 和(または積) と呼ばれることもあります (Sierpiński 1958)。α と β の自然和はα ⊕ β または α # βと表記されることが多く、自然 積はα ⊗ βまたはα ⨳ βと表記されることが多い。

自然和と自然積は次のように定義されます。およびをカントール標準形 (つまり、および) とします。を非増加順に並べた指数とします。このとき、 は次のように定義されます。 および の自然積は次のように定義されます。 たとえば、 およびとします。このとき、 であるのに対し、 です。また、 であるのに対し、 です。 ${\displaystyle \alpha =\omega ^{\alpha _{1}}+\cdots +\omega ^{\alpha _{k}}}$${\displaystyle \beta =\omega ^{\beta _{1}}+\cdots +\omega ^{\beta _{\ell }}}$${\displaystyle \alpha _{1}\geq \cdots \geq \alpha _{k}}$${\displaystyle \beta _{1}\geq \cdots \geq \beta _{\ell }}$${\displaystyle \gamma _{1},\ldots ,\gamma _{k+\ell }}$${\displaystyle \alpha _{1},\ldots ,\alpha _{k},\beta _{1},\ldots ,\beta _{\ell }}$${\displaystyle \alpha \oplus \beta }$$${\displaystyle \alpha \oplus \beta =\omega ^{\gamma _{1}}+\cdots +\omega ^{\gamma _{k+\ell }}.}$$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$$${\displaystyle \alpha \otimes \beta =\bigoplus _{\begin{aligned}&1\leq i\leq k\\&1\leq j\leq \ell \end{aligned}}\omega ^{\alpha _{i}\oplus \beta _{j}}.}$$${\displaystyle \alpha =\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega }$${\displaystyle \beta =\omega ^{\omega }+\omega ^{5}}$${\displaystyle \alpha \oplus \beta =\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega ^{\omega }+\omega ^{5}+\omega }$${\displaystyle \alpha +\beta =\omega ^{\omega ^{\omega }}+\omega ^{\omega }+\omega ^{5}}$${\displaystyle \alpha \otimes \beta =\omega ^{\omega ^{\omega }+\omega }+\omega ^{\omega ^{\omega }+5}+\omega ^{\omega +1}+\omega ^{6}}$${\displaystyle \alpha \beta =\omega ^{\omega ^{\omega }+\omega }+\omega ^{\omega ^{\omega }+5}}$

自然和と自然積は交換可能かつ結合的であり、自然積は自然和に対して分配されます。これらの演算は、 ならば、 ならば、かつならばという意味で単調でもあります。 ${\displaystyle \alpha <\beta }$${\displaystyle \alpha \oplus \gamma <\beta \oplus \gamma }$${\displaystyle \alpha \leq \beta }$${\displaystyle \alpha \otimes \gamma \leq \beta \otimes \gamma }$${\displaystyle \alpha <\beta }$${\displaystyle \gamma >0}$${\displaystyle \alpha \otimes \gamma <\beta \otimes \gamma }$

我々は持っています。 ${\displaystyle \underbrace {\alpha \oplus \cdots \oplus \alpha } _{n}=\alpha \otimes n}$

常におよび が成り立ちます。両方かつ の場合は です。両方かつ の場合はです。 ${\displaystyle \alpha +\beta \leq \alpha \oplus \beta }$${\displaystyle \alpha \beta \leq \alpha \otimes \beta }$${\displaystyle \alpha <\omega ^{\gamma }}$${\displaystyle \beta <\omega ^{\gamma }}$${\displaystyle \alpha \oplus \beta <\omega ^{\gamma }}$${\displaystyle \alpha <\omega ^{\omega ^{\gamma }}}$${\displaystyle \beta <\omega ^{\omega ^{\gamma }}}$${\displaystyle \alpha \otimes \beta <\omega ^{\omega ^{\gamma }}}$

右辺の議論では、自然和と自然積は連続ではありません。たとえば、 は連続ではなく、は連続ではないからです。 ${\displaystyle \lim _{n<\omega }\alpha \oplus n=\alpha +\omega }$${\displaystyle \alpha \oplus \omega }$${\displaystyle \lim _{n<\omega }\alpha \otimes n=\alpha \omega }$${\displaystyle \alpha \otimes \omega }$

自然和と自然積は、ジョン・コンウェイの超実数体の加算と乗算（順序数に限定）と同じです。

自然な演算は、井戸半順序の理論で登場します。型(最大線形化)との2 つの井戸半順序と が与えられた場合、素和の型は であり、直積の型は です。^[2] SとT を順序数αとβとして 選択することにより、この関係を自然な演算の定義としてとらえることができます。したがって、α ⊕ β は、 αとβの素和 (半順序として) を拡張する全順序の最大順序型です。一方、α ⊗ β は、 αとβの直積 (半順序として) を拡張する全順序の最大順序型です。^[3] これの便利な応用は、αとβ が両方ともより大きな全順序のサブセットである場合です。この場合、それらの和の順序型は最大でα ⊕ βになります。それらが両方とも何らかの順序付きアーベル群のサブセットである場合、それらの和の順序型は最大でα ⊗ βになります。 ${\displaystyle S}$${\displaystyle T}$${\displaystyle o(S)}$${\displaystyle o(T)}$${\displaystyle o(S)\oplus o(T)}$${\displaystyle o(S)\otimes o(T)}$

また、自然和α ⊕ β を、 αとβの同時超限再帰によって、すべての γ < β に対して α と γ の自然和よりも確実に大きい最小の順序数として定義することもできます。 [4] 同様に、自然積 α ⊗ β を、すべての ε < α および δ < β に対して、 ( α ⊗ δ ) ⊕ ( ε ^⊗ β ) < γ ⊕ ( ε ⊗ δ )となる最小の順序数γとして、αとβの 同時超限再帰によって定義できます。 [ 4 ]また、^その文脈での自然乗法の定義については超実数の記事を参照してください。ただし、ここでは順序数では定義されていない超実数減算を使用しています 。

自然和は結合法則と交換法則に従います。自然和は常に通常の和以上になりますが、厳密にそれよりも大きい場合もあります。たとえば、ωと 1の自然和はω + 1 (通常の和) ですが、これは 1 と ωの自然和でもあります。自然積は結合法則と交換法則に従い、自然和に分配されます。自然積は常に通常の積以上になりますが、厳密にそれよりも大きい場合もあります。たとえば、ωと 2 の自然積はω · 2 (通常の積)ですが、これは 2 とωの自然積でもあります 。

自然加算では、順序数はガンマ数ω ^αによって生成される自由可換モノイドの元と同一視できる。自然加算と乗算では、順序数はデルタ数ω ^{ω α}によって生成される自由可換半環の元と同一視できる。順序数は自然積の下では一意に素因数分解できない。完全な多項式環は一意に因数分解できるが、非負の係数を持つ多項式の部分集合はそうではない。例えば、x が任意のデルタ数であれば、

x ⁵ + x ⁴ + x ³ + x ² + x + 1 = ( x + 1) ( x ⁴ + x ² + 1) = ( x ² + x + 1) ( x ³ + 1)

非負の係数を持つ多項式の自然積として、それ以上分解できない 2 つの互換性のない表現があります。

序数と数値は 1 対 1 で対応しているため、序数に対して算術演算を行うことができます。数値に対する一般的な演算は、数値加算、数値乗算、最小排除 (mex)の 3 つです。数値加算は、自然数に対するビット単位の排他的論理和演算を一般化したものです。序数セットのmexは、セットに存在し ない最小の序数です。

• ordCalc 序数計算機