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数学の哲学において、前直観主義者とは、数学の本質について同様の見解を共有していた影響力のある数学者たちに、 LEJ ブラウワーが与えた名称である。この用語は、ブラウワーが1951年にケンブリッジで行った講義の中で、自身の直観主義の哲学とそれ以前の哲学との違いを説明した際に導入されたものである。[ 1 ]
デデキント、カントール、ペアノ、 ツェルメロ、クチュラなどの「旧形式主義学派」とは全く異なる方向性を持っていたのが、ポアンカレ、ボレル、ルベーグが主に率いた直観主義以前の学派である。これらの思想家は、自然数の導入や完全帰納法の原理に関して、修正された観察的立場を維持していたようである。[ ... ]これらの学派では、古典論理によって導出された定理でさえ、言語や論理とは独立した存在と正確さを仮定し、論理的証明がなくてもその非矛盾性を確実なものとみなしていた。しかし、連続体に関しては、言語や論理とは厳密に無関係な起源を探求しようとはしなかったようである。
この定義の感覚によって、ポアンカレはジュゼッペ・ペアノの自然数の公理的理論をめぐってバートランド・ラッセルと議論することができた。
ペアノの第5公理は次のように述べている。
これは完全帰納法の原理であり、帰納法の性質が体系にとって必要不可欠であることを確立する。ペアノの公理は自然数と同じくらい無限であるため、性質Pが任意のxとx + 1 の両方に属することを証明するのは難しい。できることとしては、あるn回の試行で性質Pがxとx + 1で保存されることが示された場合、 n + 1 回の試行後もそれが真であると推論できると言うことである。しかし、これはそれ自体が帰納法である。したがって、この議論は論点先取である。
このことからポアンカレは、自然数に関するペアノの公理の一貫性を循環論法に陥ることなく確立できない場合、完全帰納法の原理は一般論理では証明できないと主張する。
したがって、算術や数学全般は分析的ではなく総合的である。こうして論理主義は否定され、直観が擁護される。ポアンカレと前直観主義者たちが共有していたのは、論理と数学の違いは言語の問題だけではなく、知識そのものの問題であるという認識であった。
ポアンカレが直観主義者と似ているとされたのは、とりわけこの主張によるものだった。しかし、ブロウワーによれば、前直観主義者たちは数学から形而上学を完全に排除するには至らず、依然として排中律（principium tertii exclusi）を用いていた。
排中律は、時に奇妙な状況を引き起こす。例えば、「明日海戦が起こる」といった未来に関する記述は、真偽がはっきりしないように見える。そのため、状況によっては記述が真か偽かのどちらかでなければならないのかという疑問が生じる。直観主義者にとって、これは排中律をペアノの悪循環と同じくらい厳密さに欠けるものと位置づけることになる。
しかし、前直観主義者にとって、これは全く異なるものを混同しているようなものだった。彼らにとって、数学は（人間の精神が生み出した混乱した発明、つまり総合的なもの）一つのものであり、論理学は（分析的なもの）別のものだったのだ。
上記の例にはポアンカレの作品のみが含まれていますが、ブロウワーは他にもボレルやルベーグといった数学者を前直観主義者として挙げています。ヘルマン・ワイル（後に直観主義に幻滅し、数学の進歩に過度の制約を課すものだと感じた）やレオポルド・クロネッカーといった他の数学者も役割を果たしましたが、ブロウワーは決定的な講演の中で彼らを引用していません。
実際、クロネッカーは「自然数は神が作ったものであり、それ以外はすべて人間の仕事である」という独特でよく引用される言葉で、前直観主義者の中で最も有名かもしれない。
クロネッカーはポアンカレとはほぼ正反対の立場を取り、自然数は信じるものの排中律は信じなかった。彼は、何かが存在しないことがあり得ないことが示せるから存在するはずだという、非構成的な存在証明に疑問を呈した最初の数学者だった。