超有限主義

数学の哲学において、超有限主義（超直観主義、^[1] 厳密な形式主義、^{[2 ]} 厳密な有限主義、^[2] 実在主義、^[1] 述語主義、^{[2] [3]}強い有限主義とも呼ばれる）^{[2] は}有限主義と直観主義の一形態である。超有限主義と呼ばれる数学の哲学は様々ある。これらの哲学のほとんどに共通する主要な識別特性は、自然数に対するべき乗のような数論的関数の全体性に対する異議である。

他の有限主義者と同様に、超有限主義者は、自然数の無限集合 は決して完成できない（つまり、最大の自然数が存在する）という理由で、自然数の無限集合の存在を否定します。 ${\displaystyle \mathbb {N} }$

さらに、一部の超有限主義者は、大きな有限な数学的対象を構築する際の物理的制約のために、実際には誰も構築できない数学的対象を受け入れることに関心がある。したがって、一部の超有限主義者は、大きな数の存在を否定するか、受け入れることを控える。たとえば、指数関数exp (exp(exp(79)))を使用して定義される巨大な数である第1スキューズ数の床値などである。

${\displaystyle e^{e^{e^{79}}}.}$

その理由は、この実数の床面がどの自然数であるかをまだ誰も計算しておらず、それを計算するのが物理的に不可能な可能性もあるからです。同様に、(クヌースの上矢印記法) は、自然数に対応しない形式的な表現としてのみ考えられます。数学の物理的実現可能性に関係する超有限主義の一種は、しばしば現実主義と呼ばれます。 ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6}$

エドワード・ネルソンは、定義が循環的であるという理由で、自然数の古典的な概念を批判しました。古典数学では、自然数は 0 と、 0 への後続関数の反復適用によって得られる数として定義されます。しかし、自然数の概念は、反復に対してすでに想定されています。言い換えると、1 のような数を得るには、0 への後続関数を反復的に (実際には、正確に 回) 実行する必要があります。 ${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6}$${\displaystyle 2\uparrow \uparrow \uparrow 6}$

超有限主義のいくつかのバージョンは構成主義の一形態であるが、ほとんどの構成主義者は、この哲学は実行不可能なほど極端であると考えている。超有限主義の論理的根拠は不明瞭である。構成論理学者のAS Troelstra は、包括的な調査研究『数学における構成主義』 （1988 年）で、「現時点では満足のいく展開はない」と述べてこれを退けた。これは哲学的な反論というよりも、厳密な数理論理学の研究には、単に含めるに足るほど正確なものは何もないということを認めたようなものであった。

超有限主義に関する真剣な研究は、1959年から2016年に亡くなるまで、アレクサンダー・エセーニン＝ヴォルピンによって進められ、彼は1961年に超有限数学におけるツェルメロ-フランケル集合論の無矛盾性を証明するプログラムをスケッチした。このテーマに取り組んだ他の数学者には、ドロン・ツァイルバーガー、エドワード・ネルソン、ロヒト・ジヴァンラル・パリク、ジャン・ポール・ファン・ベンデゲムがいる。この哲学は、ルートヴィヒ・ヴィトゲンシュタイン、ロビン・ガンディ、ペトル・ヴォペンカ、ヨハネス・ヘルムスレーヴの信念と関連付けられることもある。

ショーガン・ラヴィンは、古典数学と一致する集合論的超有限主義の一形態を開発した。^[4] ラヴィンは、「最大の自然数は存在しない」などの算術の基本原理が、ラヴィンが「無限に大きい」数を含めることを許容していることを示した。^[4]

扱いにくい大きな数を避ける可能性に関するその他の考察は、アンドラーシュ・コルナイの明示的有限主義（大きな数の存在を否定しない）^[5]やウラジミール・サゾノフの実行可能数の概念など、計算複雑性理論に基づくことができる。

また、複雑性理論に基づく超有限主義のバージョンについても、形式的にかなりの発展がみられてきた。例えば、サミュエル・バスの有界算術理論は、 PやPSPACEなどのさまざまな複雑性クラスに関連する数学を捉えている。バスの研究は、エドワード・ネルソンの述語的算術に関する研究の延長と見なすことができる。なぜなら、 S12 などの有界算術理論は、ラファエル・ロビンソンの理論Qで解釈可能であり、したがってネルソンの意味で述語的だからである。これらの理論が数学を発展させる力は、スティーブン・A・クックやフォン・テ・グエンの著作に見られるように、有界逆数学で研究されている。しかし、これらは数学の哲学ではなく、むしろ逆数学に似た推論の制限された形式の研究である。

• トランスコンピュテーショナル問題

• Ésénine-Volpine、AS (1961)、「Le Program Ultra-intuitionniste des Fondements des mathématiques」、Infinitistic Methods (Proc. Sympos. Foundations of Math.、ワルシャワ、1959)、オックスフォード: ペルガモン、pp. 201–223、MR  0147389Kreisel, G.によるレビュー。 Ehrenfeucht, A. (1967)、「AS Ésénine-Volpine による Le Program Ultra-Intuitionniste des Fondements des Mathematiques のレビュー」、The Journal of Symbolic Logic、32 (4)、Association for Symbolic Logic: 517、doi :10.2307/2270182 、JSTOR  2270182
• Lavine, S.、1994年、「Understanding the Infinite」、マサチューセッツ州ケンブリッジ：ハーバード大学出版局。

• アンドラーシュ・コルナイによる明示的な有限主義
• 実現可能な数字について ウラジミール・サゾノフ
• 「実」解析は離散解析の退化したケースである ( Doron Zeilberger著)
• MathOverflowでの形式的基礎に関する議論
• AS トロエルストラによる 20 世紀構成主義の歴史
• エドワード・ネルソンによる述語算術
• 証明の複雑さの論理的基礎 ( Stephen A. Cookと Phuong The Nguyen著)
• Phuong The Nguyen による境界付き逆数学
• ブライアン・ロットマンの「Ad Infinitum…」をチャールズ・ペッツォルドが読む
• 計算複雑性理論