2つの局所凸TVSのテンソル積上の最も細かい局所凸位相ベクトル空間（TVS）位相で、（ を に送ることで定義される）標準写像が 別々 に 連続 と なる もの は 、 帰納的 位相または -位相と呼ばれる 。 に この 位相 が備わっている場合、それは と表され、 と の 帰納的テンソル積 と呼ばれる
バツ ⊗ はい 、
{\displaystyle X\otimes Y,}
⋅ ⊗ ⋅ : バツ × はい → バツ ⊗ はい
{\displaystyle \cdot \otimes \cdot :X\times Y\to X\otimes Y}
（ x 、 ええ ） ∈ バツ × はい
{\displaystyle (x,y)\in X\times Y}
x ⊗ ええ
{\displaystyle x\otimes y}
ι
{\displaystyle \iota}
バツ ⊗ はい
{\displaystyle X\otimes Y}
バツ
⊗
ι
はい
{\displaystyle X\otimes _{\iota }Y}
バツ
{\displaystyle X}
はい 。
{\displaystyle Y.}
予選 全体を通して 、および を局所凸位相ベクトル空間 とし 、を 線型写像とします。
バツ 、 はい 、
{\displaystyle X,Y,}
ず
{\displaystyle Z}
ら : バツ → はい
{\displaystyle L:X\to Y}
ら : バツ → はい
{\displaystyle L:X\to Y}
は、 線形かつ連続であり、 開写像 である場合に 位相準同型 または 準同型 であり、 の像は、 によって誘導される部分空間位相を持つ。
ら : バツ → 私は ら
{\displaystyle L:X\to \operatorname {Im} L}
私は ら 、
{\displaystyle \operatorname {Im} L,}
ら 、
{\displaystyle L,}
はい 。
{\displaystyle Y.}
が の部分空間である 場合 、商写像 と正準写像は両方とも 準同型です。特に、任意の線型写像は 次のように正準分解できます。 ここで、 は 全単射を定義します。
S ⊆ バツ
{\displaystyle S\subseteq X}
バツ
{\displaystyle X}
バツ → バツ
/
S
{\displaystyle X\to X/S}
S → バツ
{\displaystyle S\to X}
ら : バツ → はい
{\displaystyle L:X\to Y}
バツ → バツ
/
カー ら
→
ら
0
私は ら → はい
{\displaystyle X\to X/\operatorname {ker} L{\overset {L_{0}}{\rightarrow }}\operatorname {Im} L\to Y}
ら
0
（ x + カー ら ） := ら （ x ）
{\displaystyle L_{0}(x+\ker L):=L(x)}
連続線型写像 （連続 双線型写像 ）の集合は 、（それぞれ） で表されます。 ここで、が スカラー体である場合は、 （それぞれ ）と書くこともできます。
バツ → ず
{\displaystyle X\to Z}
バツ × はい → ず
{\displaystyle X\times Y\to Z}
ら （ バツ ; ず ）
{\displaystyle L(X;Z)}
B （ バツ 、 はい ; ず ）
{\displaystyle B(X,Y;Z)}
ず
{\displaystyle Z}
ら （ バツ ）
{\displaystyle L(X)}
B （ バツ 、 はい ）
{\displaystyle B(X,Y)}
の 連続双対空間を で表し、 代数双対空間（ 連続か否かを問わず 上のすべての線型関数のベクトル空間）を で表す。
バツ
{\displaystyle X}
バツ
′
{\displaystyle X^{\prime}}
バツ 、
{\displaystyle X,}
バツ
#
。
{\displaystyle X^{\#}.}
説明の明瞭性を高めるために、 の要素を 記号の後にプライムを付けて表記する一般的な規則を使用します (例: は の要素を表し 、導関数などを表すものではありません。また、変数 と は 、 何らかの形で関連している必要はありません)。
バツ
′
{\displaystyle X^{\prime}}
x
′
{\displaystyle x^{\prime}}
バツ
′
{\displaystyle X^{\prime}}
x
{\displaystyle x}
x
′
{\displaystyle x^{\prime}}
ヒルベルト空間からそれ自身への 線型写像は、 任意 のに対して 正写像 と呼ばれる。この場合、 の 平方根 と呼ばれる唯一の正写像が存在し 、
ら : H → H
{\displaystyle L:H\to H}
⟨ ら （ x ） 、 バツ ⟩ ≥ 0
{\displaystyle \langle L(x),X\rangle \geq 0}
x ∈ H 。
{\displaystyle x\in H.}
r : H → H 、
{\displaystyle r:H\to H,}
ら 、
{\displaystyle L,}
ら = r ∘ r 。
{\displaystyle L=r\circ r.}
が ヒルベルト空間間の連続線型写像であれば、 は 常に正である。ここで をその正の平方根と表記し、これを の 絶対値 と呼ぶ。 まず を に 設定 して まで連続的に 拡張することで を定義し 、次に を に設定して を定義し 、 この 写像 を まで線型に拡張する。 写像は 射影等長写像であり、
ら :
H
1
→
H
2
{\displaystyle L:H_{1}\to H_{2}}
ら
∗
∘ ら
{\displaystyle L^{*}\circ L}
R : H → H
{\displaystyle R:H\to H}
ら 。
{\displaystyle L.}
あなた :
H
1
→
H
2
{\displaystyle U:H_{1}\to H_{2}}
私は R
{\displaystyle \operatorname {Im} R}
あなた （ x ） = ら （ x ）
{\displaystyle U(x)=L(x)}
x = R
（
x
1
）
∈ 私は R
{\displaystyle x=R\left(x_{1}\right)\in \operatorname {Im} R}
あなた
{\displaystyle U}
私は R
¯
、
{\displaystyle {\overline {\operatorname {Im} R}},}
あなた
{\displaystyle U}
カー R
{\displaystyle \operatorname {ker} R}
あなた （ x ） = 0
{\displaystyle U(x)=0}
x ∈ カー R
{\displaystyle x\in \operatorname {ker} R}
H
1
。
{\displaystyle H_{1}.}
あなた
|
私は R
: 私は R → 私は ら
{\displaystyle U{\big \vert }_{\operatorname {Im} R}:\operatorname {Im} R\to \operatorname {Im} L}
L
=
U
∘
R
.
{\displaystyle L=U\circ R.}
線型写像は、 原点の 近傍が存在し、 その近傍が [ で プレコンパクトである場合に 、コンパクト または 完全連続と 呼ばれる。
Λ
:
X
→
Y
{\displaystyle \Lambda :X\to Y}
U
{\displaystyle U}
X
{\displaystyle X}
Λ
(
U
)
{\displaystyle \Lambda (U)}
Y
.
{\displaystyle Y.}
ヒルベルト空間において、正のコンパクト線型作用素は、 20世紀初頭にフレドホルムとF.リースによって発見された単純なスペクトル分解を持つ。
L
:
H
→
H
{\displaystyle L:H\to H}
減少し有限か0に収束する正の数列と、 （ ） の 非ゼロの有限次元部分空間の列があり 、次の性質を持つ：（1）部分空間は 対直交である；（2）すべての およびすべてのに対して ；（3）によって張られる部分空間の直交は の核に等しい
r
1
>
r
2
>
⋯
>
r
k
>
⋯
{\displaystyle r_{1}>r_{2}>\cdots >r_{k}>\cdots }
V
i
{\displaystyle V_{i}}
H
{\displaystyle H}
i
=
1
,
2
,
…
{\displaystyle i=1,2,\ldots }
V
i
{\displaystyle V_{i}}
i
{\displaystyle i}
x
∈
V
i
,
{\displaystyle x\in V_{i},}
L
(
x
)
=
r
i
x
{\displaystyle L(x)=r_{i}x}
∪
i
V
i
{\displaystyle \cup _{i}V_{i}}
L
.
{\displaystyle L.}
トポロジの表記
σ
(
X
,
X
′
)
{\displaystyle \sigma \left(X,X^{\prime }\right)}
は、あらゆる写像を連続的に作成する 際の 最も粗い位相 を表し 、 または は この位相が備わっていること を表します 。
X
{\displaystyle X}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
σ
(
X
,
X
′
)
{\displaystyle X_{\sigma \left(X,X^{\prime }\right)}}
X
σ
{\displaystyle X_{\sigma }}
X
{\displaystyle X}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
は上の 弱*位相 を表し 、 は上の弱*位相を表します。 または は上の弱 * 位相を表します 。
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
X
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle X_{\sigma \left(X^{\prime },X\right)}}
X
σ
′
{\displaystyle X_{\sigma }^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
それぞれは、 によって定義される マップを誘導しますが、これは、そのようなマップをすべて連続させる 最も粗いトポロジです 。
x
0
∈
X
{\displaystyle x_{0}\in X}
X
′
→
R
{\displaystyle X^{\prime }\to \mathbb {R} }
λ
↦
λ
(
x
0
)
.
{\displaystyle \lambda \mapsto \lambda \left(x_{0}\right).}
σ
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle \sigma \left(X^{\prime },X\right)}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
b
(
X
,
X
′
)
{\displaystyle b\left(X,X^{\prime }\right)}
は、および 上の有界収束の位相
X
{\displaystyle X}
を表します。 または、は、 この位相が備わっていること を表します 。
X
b
(
X
,
X
′
)
{\displaystyle X_{b\left(X,X^{\prime }\right)}}
X
b
{\displaystyle X_{b}}
X
{\displaystyle X}
b
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right)}
は、上の有界収束の位相
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
、または および 上の強双対位相
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
を表します 。
あるいは、 は この位相が備わっていること を表します。
X
b
(
X
′
,
X
)
{\displaystyle X_{b\left(X^{\prime },X\right)}}
X
b
′
{\displaystyle X_{b}^{\prime }}
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
いつものように、 が位相ベクトル空間として考えられているが、それがどのような位相を備えているかが明らかにされていない場合、その位相は次のように仮定される。
X
′
{\displaystyle X^{\prime }}
b
(
X
′
,
X
)
.
{\displaystyle b\left(X^{\prime },X\right).}
普遍的な財産 が局所凸空間であり、が 形式の双線型写像全体の空間から の線型写像全体の空間への標準写像であると する
。すると、の領域が（別々に連続する双線型写像全体の空間） に制限されるとき 、この制限の範囲は 連続線型作用素の空間である。
特に、の連続双対空間は、 上の別々に連続する双線型形式の空間 に標準同型である。
Z
{\displaystyle Z}
I
{\displaystyle I}
X
×
Y
→
Z
,
{\displaystyle X\times Y\to Z,}
X
⊗
Y
→
Z
.
{\displaystyle X\otimes Y\to Z.}
I
{\displaystyle I}
B
(
X
,
Y
;
Z
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}
L
(
X
⊗
ι
Y
;
Z
)
{\displaystyle L\left(X\otimes _{\iota }Y;Z\right)}
X
⊗
ι
Y
→
Z
.
{\displaystyle X\otimes _{\iota }Y\to Z.}
X
⊗
ι
Y
{\displaystyle X\otimes _{\iota }Y}
B
(
X
,
Y
)
,
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y),}
X
×
Y
.
{\displaystyle X\times Y.}
が（ この位相は と表記される ） 上の局所凸TVS位相である 場合、 が 帰納的テンソル積位相と等しいのは、次の性質を持つ場合のみである：
τ
{\displaystyle \tau }
X
⊗
Y
{\displaystyle X\otimes Y}
X
⊗
Y
{\displaystyle X\otimes Y}
X
⊗
τ
Y
{\displaystyle X\otimes _{\tau }Y}
τ
{\displaystyle \tau }
任意の局所凸TVSに対して、 が 形式の双線型写像全体の空間からのすべての線型 写像全体の空間に入る標準写像である 場合、の領域が（別々に連続する双線型写像全体の空間） に制限されるとき、この制限の範囲は 連続線型作用素の 空間である。
Z
,
{\displaystyle Z,}
I
{\displaystyle I}
X
×
Y
→
Z
,
{\displaystyle X\times Y\to Z,}
X
⊗
Y
→
Z
,
{\displaystyle X\otimes Y\to Z,}
I
{\displaystyle I}
B
(
X
,
Y
;
Z
)
{\displaystyle {\mathcal {B}}(X,Y;Z)}
L
(
X
⊗
τ
Y
;
Z
)
{\displaystyle L\left(X\otimes _{\tau }Y;Z\right)}
X
⊗
τ
Y
→
Z
.
{\displaystyle X\otimes _{\tau }Y\to Z.}
参照
参考文献
文献 ディーステル、ジョー (2008)。 テンソル積の計量理論：グロタンディークの要約の再考 。プロビデンス、ロードアイランド州：アメリカ数学会 。ISBN 978-0-8218-4440-3 . OCLC 185095773. エド・デュビンスキー (1979)。 核フレシェ空間の構造 。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。 ISBN 3-540-09504-7 . OCLC 5126156. グロタンディーク、アレクサンダー (1966)。 Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires (フランス語)。プロビデンス: アメリカ数学協会。 ISBN 0-8218-1216-5 . OCLC 1315788. Husain, Taqdir (1978)。 位相的および順序付きベクトル空間におけるバレル性 。ベルリン、ニューヨーク：Springer- Verlag。ISBN 3-540-09096-7 . OCLC 4493665. Khaleelulla , SM (1982)。 位相ベクトル空間における反例 。 数学講義ノート 。第936巻。ベルリン、ハイデルベルク、ニューヨーク： Springer- Verlag。ISBN 978-3-540-11565-6 . OCLC 8588370. ナリシ、ローレンス; ベッケンシュタイン、エドワード (2011)。 位相ベクトル空間 。純粋数学と応用数学 (第 2 版)。ボカラトン、フロリダ州: CRC プレス 。ISBN 978-1584888666 . OCLC 144216834. Nlend, H (1977)。 『ボルノロジーと機能分析: 双対性トポロジー-ボルノロジー理論と機能分析におけるその使用に関する入門コース 』。アムステルダム、ニューヨーク、ノースホランド出版。米国およびカナダの独占販売元、エルゼビア-ノースホランド 。ISBN 0-7204-0712-5 . OCLC 2798822. Nlend, H (1981). 核空間と共核空間: 双対性の観点から見た核空間と共核空間の入門コース。アムステルダム ニューヨーク ニューヨーク、NY: North-Holland Pub. Co. 米国およびカナダの独占販売代理店、 Elsevier North-Holland。ISBN 0-444-86207-2 . OCLC 7553061. ピエチュ、アルブレヒト (1972)。 核の局所的に凸状の空間 。ベルリン、ニューヨーク: Springer-Verlag。 ISBN 0-387-05644-0 . OCLC 539541. ロバートソン、AP (1973)。 位相ベクトル空間 。ケンブリッジ、イングランド：大学出版局 。ISBN 0-521-29882-2 . OCLC 589250. ライアン、レイモンド (2002)。 バナッハ空間のテンソル積入門 。ロンドン、ニューヨーク: シュプリンガー 。ISBN 1-85233-437-1 . OCLC 48092184. Schaefer, Helmut H. ; Wolff, Manfred P. (1999). Topological Vector Spaces . GTM . Vol. 8 (第 2 版). ニューヨーク、NY: Springer New York Imprint Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0 . OCLC 840278135. トレヴ、フランソワ (2006) [1967]。 トポロジカル ベクトル空間、ディストリビューション、およびカーネル 。ニューヨーク州ミネオラ：ドーバー出版。 ISBN 978-0-486-45352-1 . OCLC 853623322. ウォン (1979)。 シュワルツ空間、核空間、テンソル積 。ベルリン、ニューヨーク: Springer- Verlag。ISBN 3-540-09513-6 . OCLC 5126158.
外部リンク
