論理和

論理和

または
意味	${\displaystyle x+y}$
真理値表	${\displaystyle (1110)}$
論理ゲート
正規形
分離的	${\displaystyle x+y}$
接続詞	${\displaystyle x+y}$
ジェガルキン多項式	${\displaystyle x\oplus y\oplus xy}$
ポストの格子
0 保存	はい
1-保存	はい
単調	はい
アフィン	いいえ
自己双対	いいえ
ヴ t e

論理学において、選言 は、論理的選言、論理的または、論理的加算、包含的選言とも呼ばれ、通常 と表記され、「または」と読み上げられる論理接続詞です。たとえば、英語の文「it is sunny or it is warm」は、 が「it is sunny」を省略し、 が「it is warm」を省略すると仮定すると、選言式 を使って論理的に表すことができます。 ${\displaystyle \lor }$${\displaystyle S\lor W}$${\displaystyle S}$${\displaystyle W}$

古典論理では、選言には真理関数的意味論が与えられており、それによれば、式はとの両方が偽でない限り真である。この意味論では、選言式は、その選言の両方が真である場合に真となるため、排他的選言とは対照的に、選言の包括的解釈である。古典的な証明理論の扱いは、選言導入や選言除去などの規則に基づいて行われることが多い。選言には、アリストテレスの海戦論証、ハイゼンベルクの不確定性原理、および古典的な選言と自然言語におけるそれに最も近い同等物との間の多数の不一致などの問題に動機づけられて、数多くの非古典的な扱いも与えられている。^{[1] [2]}${\displaystyle \phi \lor \psi }$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \psi }$

選言のオペランドは選言である。^[3]

論理和は、どちらか一方または両方の部分が真である場合に選言式が真となることを意味するため、包含的選言と呼ばれます。これは、引数のどちらか一方が真であり、両方が真ではない場合に真となる排他的選言(排他的論理和、またはXORと呼ばれます) とは対照的です。

または が包括的か排他的かを明確化する必要がある場合、英語話者はand/or というフレーズを使用することがあります。論理的には、このフレーズはorと同じですが、両方が真であることを明確に示しています。

論理学および関連分野では、論理和は慣例的に挿入演算子（Unicode U+2228 ∨ LOGICAL OR）で表記される。^[1]代替表記法としては、主に電子工学で使用されるや、多くのプログラミング言語で使用される などがある。英語のor も時々使用され、大文字で表記されることが多い。Jan Łukasiewiczによる論理の接頭辞表記では、演算子は であり、ポーランド語のalternatywa（英語: alternative）の略である。 ^[4]${\displaystyle \lor }$ ${\displaystyle +}$${\displaystyle \vert }$${\displaystyle \vert \!\vert }$${\displaystyle A}$

数学では、任意の数の要素の論理和は、より大きな⋁（Unicode U+22C1 ⋁ N-ARY LOGICAL OR）を使用した反復二項演算として表すことができます。 ^[5]${\displaystyle a_{1},\ldots ,a_{n}}$

${\displaystyle \bigvee _{i=1}^{n}a_{i}=a_{1}\lor a_{2}\lor \ldots a_{n-1}\lor a_{n}}$

論理の意味論において、古典的な選言は、両方の引数が偽でない限り真理値trueを返す真理関数 演算です。その意味エントリは、標準的に次のように与えられます。^[a]

${\displaystyle \models \phi \lor \psi }$     または         、あるいは         その両方${\displaystyle \models \phi }$${\displaystyle \models \psi }$

この意味論は次の真理値表に対応する：^[1]

論理和が基本ではない古典的な論理システムでは、基本and ( ) とnot ( ) を使って次のように定義できます。 ${\displaystyle \land }$${\displaystyle \lnot }$

${\displaystyle A\lor B=\neg ((\neg A)\land (\neg B))}$。

あるいは、次のように定義するのではなく、 （）を意味する言葉で定義することもできる。^[6]${\displaystyle \to }$

${\displaystyle A\lor B=(\lnot A)\to B}$。

後者は次の真理値表で確認できます。

また、以下の点のみで定義することもできます。 ${\displaystyle \to }$

${\displaystyle A\lor B=(A\to B)\to B}$。

これは次の真理値表で確認できます。

選言には次の特性が適用されます。

• 連想性：^[7]${\displaystyle a\lor (b\lor c)\equiv (a\lor b)\lor c}$
• 可換性:${\displaystyle a\lor b\equiv b\lor a}$
• 分配性:${\displaystyle (a\land (b\lor c))\equiv ((a\land b)\lor (a\land c))}$

${\displaystyle (a\lor (b\land c))\equiv ((a\lor b)\land (a\lor c))}$

${\displaystyle (a\lor (b\lor c))\equiv ((a\lor b)\lor (a\lor c))}$

${\displaystyle (a\lor (b\equiv c))\equiv ((a\lor b)\equiv (a\lor c))}$

• べき等性:${\displaystyle a\lor a\equiv a}$
• 単調性:${\displaystyle (a\rightarrow b)\rightarrow ((c\lor a)\rightarrow (c\lor b))}$

${\displaystyle (a\rightarrow b)\rightarrow ((a\lor c)\rightarrow (b\lor c))}$

• 真理値保存: すべての変数に真理値「true」が割り当てられる解釈では、論理和の結果として真理値「true」が生成されます。
• 偽りの保持: すべての変数に「偽」の真理値が割り当てられる解釈は、選言の結果として「偽」の真理値を生成します。

論理和に対応する演算子はほとんどのプログラミング言語に存在します。

論理和はビット演算によく使用されます。例:

• 0 または 0 = 0
• 0 または 1 = 1
• 1 または 0 = 1
• 1 または 1 = 1
• 1010 または 1100 = 1110

演算子は、関連するビットが1 に設定された定数フィールドをフィールドに適用することで、ビット フィールドor内のビットを 1 に設定するために使用できます。たとえば、は最後のビットを 1 に強制し、他のビットは変更しません。^{[引用が必要]}orx = x | 0b00000001

多くの言語では、2 つの異なる演算子を提供することで、ビットごとの論理和と論理和を区別しています。C 以降の言語では、ビットごとの論理和は単一のパイプ演算子 ( ) を使用して実行され|、論理和は二重のパイプ||演算子 ( ) を使用して実行されます。

論理和は通常は短絡されます。つまり、最初の (左) オペランドが と評価された場合、2 番目 (右) オペランドは評価されません。したがって、論理和演算子は通常、シーケンス ポイントtrueを構成します。

並列（同時）言語では、両辺を短絡することが可能です。つまり、両辺は並列に評価され、一方が値 true で終了すると、もう一方は中断されます。このため、この演算子は並列またはと呼ばれます。

ほとんどの言語では論理和式の型はブール型であるため、値trueまたはのみを持つことができますが、一部の言語（ PythonやJavaScriptfalseなど）では、論理和演算子はオペランドの1つを返します。つまり、真の値に評価された場合は最初のオペランドを、それ以外の場合は2番目のオペランドを返します。^{[8] [9]これにより、}エルビス演算子の役割を果たすことができます。

カリー・ハワード対応は、構成主義的な形式の論理和をタグ付き和集合型に関連付けるものである。^{[要出典] [10]}

集合論における和集合の要素の帰属関係は、論理和によって定義される。このため、論理和は、結合法則、可換法則、分配法則、ド・モルガンの法則など、集合論的和集合と同じ恒等式の多くを満たし、論理積を集合積、論理否定を補集合と同一視する。^[11]${\displaystyle x\in A\cup B\Leftrightarrow (x\in A)\vee (x\in B)}$

自然言語における選言は古典論理におけるの解釈と正確には一致しません。特に、古典論理における選言は包括的ですが、自然言語における選言は排他的に理解されることが多く、次の英語の例が典型的です。^[1]${\displaystyle \lor }$

• メアリーはリンゴかナシを食べています。

この推論は含意として理解されることもあり、例えばアルフレッド・タルスキは、自然言語の選言は古典的解釈と非古典的解釈の間で曖昧であると示唆した。より最近の語用論の研究は、この推論は古典的に振る舞う意味表示に基づいて会話の含意として導き出せることを示した。しかし、ハンガリー語のvagy... vagyやフランス語のsoit... soitなどの選言構文は本質的に排他的であり、そうでなければ包括的な解釈を強いられる文脈では文法性を失わせると主張されてきた。^[1]

古典論理からの同様の逸脱は、自由選択選言や選言的先行詞の単純化などの場合にも指摘されており、特定の様相演算子が選言の連言のような解釈を引き起こす。排他性と同様に、これらの推論は、選言の非古典的な解釈から生じる含意と含意の両方として分析されてきた。^[1]

• リンゴか梨を食べてもいいですよ。

${\displaystyle \rightsquigarrow }$リンゴとナシを食べることはできます（ただし、両方食べることはできません）

多くの言語では、選択的表現が疑問文の形成に役割を果たします。

• メアリーは哲学者ですか、それとも言語学者ですか?

例えば、上記の英語の例は、メアリーが哲学者か言語学者のどちらであるかを問う極性の質問として解釈できるが、2つの職業のうちどちらが彼女の職業であるかを問う代替質問としても解釈できる。これらの場合の選言の役割は、代替意味論や探究的意味論などの非古典的論理を使用して分析されており、自由選択推論や単純化推論を説明するためにも採用されている。^[1]

英語では、他の多くの言語と同様に、選言は等位接続詞で表現されます。他の言語では選言の意味をさまざまな方法で表現しますが、選言自体が言語的に普遍的であるかどうかは不明です。ディルバル語やマリコパ語などの多くの言語では、選言は動詞接尾辞を使用して示されます。たとえば、以下のマリコパ語の例では、選言は接尾辞šaaで示されています。^[1]

• ジョージ・ブールは、通常の数学との類推に忠実に従い、x + y の定義の必要条件として、x と y が相互に排他的であることを前提としました。ジェヴォンズ、およびその後のほぼすべての数理論理学者は、さまざまな根拠に基づいて、相互排他性を必要としない形式での論理的加算の定義を主張しました。

• 「分離」、数学百科事典、EMS Press、2001 [1994]
• アロニ、マリア。「分離」。ザルタ、エドワード N.（編）『スタンフォード哲学百科事典』。
• Eric W. Weisstein。「Disjunction」。MathWorld より - Wolfram Web リソース