フレシェの不等式

確率論理では、フレシェ不等式（ブール・フレシェ不等式とも呼ばれる）は、ジョージ・ブールの研究^{[ 1 ] [ 2 ]}に暗黙的に含まれ、モーリス・フレシェ^{[ 3 ] [ 4 ]}によって明示的に導出された規則であり、ブール式や、リスク評価、エンジニアリング設計、人工知能でよく見られるフォールトツリーやイベントツリーのように、論理的に結合（AND演算）または選言（OR演算）で結び付けられた論理命題または事象に関する確率の組み合わせを規定する。これらの不等式は、独立性を仮定することなく、あるいは実際には依存関係を一切仮定することなく、確率を含む計算を制限する方法に関する規則と考えることができる。フレシェ不等式は、ブール・ボンフェローニ・フレシェ不等式およびフレシェ境界と密接に関連している。

A _{i が}論理命題または事象である場合、フレシェ不等式は次のようになります。

• 論理積の確率（${\displaystyle \land }$）$${\displaystyle \max \left(0,\,\sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (A_{k})-(n-1)\right)\leq \mathbb {P} \left(\bigwedge _{k=1}^{n}A_{k}\right)\leq \min _{k}\{\mathbb {P} (A_{k})\},}$$
• 論理的選言の確率（${\displaystyle \lor }$）$${\displaystyle \max _{k}\{\mathbb {P} (A_{k})\}\leq \mathbb {P} \left(\bigvee _{k=1}^{n}A_{k}\right)\leq \min \left(1,\,\sum _{k=1}^{n}\mathbb {P} (A_{k})\right),}$$

ここで、P( )は事象または命題の確率を表します。事象がAとBの2つしかない場合、不等式は次のように簡略化されます。

• 論理積の確率（${\displaystyle \land }$）$${\displaystyle \max(0,\,\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-1)\leq \mathbb {P} (A\land B)\leq \min(\mathbb {P} (A),\,\mathbb {P} (B)),}$$
• 論理的選言の確率（${\displaystyle \lor }$）$${\displaystyle \max(\mathbb {P} (A),\,\mathbb {P} (B))\leq \mathbb {P} (A\lor B)\leq \min(1,\,\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)).}$$

これらの不等式は、個々の事象の確率が与えられた場合に、2種類の同時事象の確率を制限します。例えば、Aが「肺がんである」、Bが「中皮腫である」場合、A  &  Bは「肺がんと中皮腫の両方である」、A  ∨  Bは「肺がんまたは中皮腫、あるいは両方の疾患である」となり、これらの不等式はこれらの事象のリスクを関連付けます。

論理積は、AND、&、∧、グラフィカルなANDゲートなど、さまざまな分野でさまざまな方法で表記されることに注意してください。論理選言も同様に、OR、|、∨、グラフィカルなORゲートなど、さまざまな方法で表記されます。事象を論理命題ではなく集合とみなすと、フレシェ不等式の集合論的バージョンは次のようになります。

• 事象の交差の確率$${\displaystyle \max(0,\,\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)-1)\leq \mathbb {P} (A\cap B)\leq \min(\mathbb {P} (A),\,\mathbb {P} (B)),}$$
• 事象の和集合の確率$${\displaystyle \max(\mathbb {P} (A),\,\mathbb {P} (B))\leq \mathbb {P} (A\cup B)\leq \min(1,\,\mathbb {P} (A)+\mathbb {P} (B)).}$$

事象 A の確率が P(A) = a = 0.7、事象 B の確率が P(B) = b = 0.8 である場合、結合、すなわち同時事象 A & Bの確率は確実に次の区間に含まれます。 $${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (A\land B)&\in [\max(0,\,a+b-1),\,\min(a,\,b)]\\&=[\max(0,\,0.7+0.8-1),\,\min(0.7,\,0.8)]\\&=[0.5,\,0.7]\end{aligned}}.}$$同様に、論理和A ∨ B の確率は確実に次の区間に含まれます。$${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbb {P} (A\lor B)&\in [\max(a,\,b),\,\min(1,\,a+b)]\\&=[\max(0.7,\,0.8),\,\min(1,\,0.7+0.8)]\\&=[0.8,\,1]\end{aligned}}.}$$

これらの区間は、独立性を仮定した確率の規則から得られた結果と対比される。その場合、結合の確率は P(A & B) = a × b = 0.7 × 0.8 = 0.56、分離の確率は P(A ∨ B) = a + b − a × b = 0.94 となる。

周辺確率が非常に小さい（または大きい）場合、フレシェ区間は独立性の下での類似の結果に対して強く非対称になります。たとえば、P(A) = 0.000002 =2 × 10 ⁻⁶および P(B) = 0.000003 =3 × 10 ⁻⁶。すると、フレシェの不等式によれば、P(A & B) は区間 [0,2 × 10 ⁻⁶ ]、P(A ∨ B) は区間 [3 × 10 ⁻⁶、5 × 10 ⁻⁶ ]。ただし、AとBが独立である場合、A & Bの確率は6 × 10 ⁻¹²であり、これは比較的フレシェ区間の下限 (ゼロ) に非常に近い。同様に、A ∨ B の確率は4.999 994 × 10 ⁻⁶は、フレシェ区間の上限に非常に近い値です。これが、信頼性理論でよく使用される稀少事象近似^{[ 5 ]}を正当化するものです。

証明は初等的です。P( A ∨ B ) = P( A ) + P( B ) − P( A & B ) であることを思い出してください。これは、P( A ) + P( B ) − P( A ∨ B ) = P( A & B ) を意味します。すべての確率は 1 以下なので、P( A ∨ B ) ≤ 1 であることがわかります。これは、P( A ) + P( B ) − 1 ≤ P( A & B ) を意味します。すべての確率は正でもあるので、同様に 0 ≤ P( A & B ) と言うことができます。したがって、max(0, P( A ) + P( B ) − 1) ≤ P( A & B ) となります。これは、連言の下限を与えます。

上限を求めるには、P( A & B ) = P( A | B ) P( B ) = P( B | A ) P( A ) であることを思い出してください。P( A | B ) ≤ 1 および P( B | A ) ≤ 1 なので、P( A & B ) ≤ P( A ) および P( A & B ) ≤ P( B ) であることがわかります。したがって、P( A & B ) ≤ min(P( A ), P( B )) となり、これが上限です。

これらの境界が最良の性質を持つことは、事象Aと事象Bの間の何らかの依存関係によって実現されるという事実から明らかである。同様に、論理和に関する同等の境界も導出される。

入力確率が区間範囲である場合、フレシェの公式は依然として確率境界分析として機能します。Hailperin ^{[ 2 ]}は、複雑な論理積と論理和で多くのイベントを含む確率的ブール式を評価する問題を考察しました。一部の^{[ 6 ] [ 7 ]}は、人工知能のさまざまなアプリケーションで不等式を使用することを提案し、イベント間の依存性に関するさまざまな仮定を考慮するようにルールを拡張しました。不等式は、モーダスポネンスを含む他の論理演算にも一般化できます。^{[ 6 ] [ 8 ]}入力確率が確率分布 によって特徴付けられる場合、入力間の依存性に関する仮定なしに論理畳み込みと算術畳み込みを一般化する類似の演算は、関連するフレシェ境界の概念に基づいて定義できます。^{[ 7 ] [ 9 ] [ 10 ]}

同様の境界は、分離可能な量子システムの場合に量子力学でも成り立ち、もつれ状態はこれらの境界を破ります。^{[ 11 ]}複合量子システムを考えます。特に、 AとBで表される 2 つの有限サブシステムで構成される複合量子システムABに注目します。サブシステムAの密度行列がわかっていると仮定します。$\displaystyle \rho ^{A}}$これはトレース1の正定値行列です$\displaystyle \mathbb {C} _{h}^{n\times n}}$（次元のエルミート行列の空間）${\displaystyle n\times n}$）、そしてサブシステムBの密度行列は、${\displaystyle \rho ^{B}.}$私たちは考えることができます$\displaystyle \rho ^{A}}$そして$\displaystyle \rho ^{B}}$これらはサブシステムAとBの周辺分布です。これらの周辺分布の情報から、結合について何かを推論したいのです。$\displaystyle \rho ^{AB}}$で${\displaystyle \mathbb {C} _{h}^{nm\times nm}.}$私たちは共同作業にのみ注目します$\displaystyle \rho ^{AB}}$分離可能なもの。複合システムの密度行列は、分離可能である。$${\displaystyle p_{k}\geq 0,\{\rho _{1}^{k}\}}$$そして${\displaystyle \{\rho _{2}^{k}\}}$これらは、それぞれのサブシステムの混合状態であり、 $${\displaystyle \rho ^{AB}=\sum _{k}p_{k}\rho _{1}^{k}\otimes \rho _{2}^{k}}$$ どこ$${\displaystyle \sum _{k}p_{k}=1.}$$

さもないと$\displaystyle \rho ^{AB}}$これは量子もつれ状態と呼ばれる。

分離可能な密度行列の場合$\displaystyle \rho ^{AB}}$で$\displaystyle \mathbb {C} _{h}^{nm\times nm}}$以下のフレシェ境界条件が成り立つ。

$${\displaystyle {\begin{cases}\rho ^{AB}\leq \rho ^{A}\otimes I_{m}\\\rho ^{AB}\leq I_{n}\otimes \rho ^{B}\\[6pt]\rho ^{AB}\geq \rho ^{A}\otimes I_{m}+I_{n}\otimes \rho ^{B}-I_{nm}\\\rho ^{AB}\gneq 0\end{cases}}}$$

これらの不等式は行列不等式であり、${\displaystyle \otimes }$はテンソル積を表し、${\displaystyle I_{x}}$次元の単位行列${\displaystyle x}$構造的には、上記の不等式は論理積の古典的なフレシェ境界の類似物であることは明らかです。また、行列が$\displaystyle \rho ^{A},\rho ^{B}}$そして$\displaystyle \rho ^{AB}}$対角行列に制限すると、古典的なフレシェ境界が得られます。

上限は量子力学では密度行列の縮小基準として知られており、 ^{[ 12 ]}によって最初に証明され、 ^{[ 13 ]}によって独立に定式化されました。下限は^{[ 11 ]で得られており、}これらの境界のベイズ解釈を提供する^{定理A.16です。}

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